三棱镜出射角和偏向角以及折射率的MATLAB可视化
2022-03-03刘天贵周群益莫云飞王培颖周艳明
刘天贵，周群益，莫云飞，王培颖，周艳明
(1．湖南大学 物理与微电子科学学院，湖南 长沙 410082；2．广州理工学院 通识教育学院，广东 广州 510540；3．长沙学院 电子信息与电气工程学院，湖南 长沙 410022)
三棱镜的折射是一个典型的光学问题，分光计是大学物理实验中重要的光学测量平台，利用分光计测量三棱镜折射率是典型的大学物理实验之一，许多物理实验教材和研究论文都有讨论[1-12]。其中有学者对偏向角与入射角以及折射率的之间的关系进行了研究[3-6]。顾菊观[3]从几何光学理论系统地讨论了棱镜偏向角与顶角的关系,并由Matlab绘出棱镜顶角与棱镜最小入射角、材料折射率的关系曲线.葛松华等[4]根据三棱镜偏向角与人射角的关系，讨论了最小偏向角和最小入射角，用MATLAB给出了偏向角与入射角的关系曲线和最小偏向角与折射率的关系曲线．李轩和张雪[5]讨论了在有出射光线的情况下，三棱镜的规格参数、棱镜顶角和折射率对入射角和折射角的影响；用MATLAB建立了偏向角与入射角、棱镜顶角及折射率之间的关系．文献[3-5]没有附计算机程序．李晓勤讨论了偏向角与入射角之间的关系，并绘制了曲线族；用表格列出了临界入射角和对应的偏向角与折射率之间的关系；还用表格列出了最小偏向角和对应的入射角与折射率之间的关系，并附加了计算程序[6]．不过，文献[6]还缺少出射角与入射角之间的关系曲线，也没有临界入射角和对应的偏向角与折射率之间的关系曲线，还没有最小偏向角和对应的入射角与折射率之间的关系曲线．在不同折射率下偏向角与入射角的关系曲线，水平部分没有意义，而三棱镜的折射率公式出现差错．虽然文献附有计算机程序，但是程序难于解读。
本文利用出射角与入射角的关系式，说明了临界入射角与折射率之间的关系，详细证明了最小偏向角的公式，说明了：当偏向角最小时，入射角与出射角关于三棱镜是对称分布的。本文用曲线族显示出射角和偏向角与入射角之间的关系，用曲线显示临界入射角和最小偏向角与折射率之间的关系，用曲面显示了折射率与入射角和出射角之间的关系。本文附有MATLAB程序，易懂也易于执行。
1 三棱镜出射角与入射角之间的关系
如图1所示，三棱镜ABC的顶角为α，取为π/3(60°)；i是镜外入射角，R是镜内折射角，I是镜内入射角，r是镜外出射角，δ是偏向角。空气的折射率取1，三棱镜折射率为n．根据折射定律可得两个折射方程。
图1 三棱镜的光路图
sini=nsinR
(1)
sinr=nsinI
(2)
在三角形ADE中，由于
所以
α=R+I
(3)
利用式(3)，式(2)可化为
sinr=nsin(α-R)=n(sinαcosR-cosαsinR)
利用式(1)，上式可化为
(4)
可见：当n一定时，出射角r是入射角i的函数。如果n=1，由上式可得
sinr=sin(α-i)
因此
r+i=α
(5)
说明：当三棱镜的折射率与空气折射率相同时，入射光将无偏折地穿过三棱镜。当r>90°时，镜内入射光将发生全反射，当r=90°时，镜外入射角是临界角iC，由式(4)可得方程
解得临界入射角为
(6)
可见：iC随着n的增加而增加。不过，要发生全反射，n不能无限制地增加．令iC=90°，由上式可得方程
解得
(7)
当α=60°时，可得nm=2；要发生全反射，必须满足条件1 利用MATLAB可设计程序，绘制不同折射率的出射角的曲线族[7](见附录)。 如图2所示，折射率n取1.1到1.9的值，间隔为0.2，出射角r随入射角i变化是单调下降的曲线，没有极值；折射率越大，入射角和出射角的范围就越小。当折射率比较小时，入射角和出射角的范围就比较大；当i或r小于零时，表示入射角或出射角在法线的另一侧。 i/° 将出射角r当作自变量，由式(4)可以解得 (8) 这是i关于r的函数，是式(4)的反函数．上式与式(4)在形式上是相同的，这是因为入射光和折射光是可逆的，即光路可逆，所以在图2中，r-i曲线族关于r=i轴是对称的。 由图1可知：三棱镜的偏向角为 δ=(i-R) + (r-I)=i+r-α (9) 将式(4)代入上式，可得 (10) 可见：当n一定时，偏向角δ是入射角i的函数。当r=π/2(90°)时，可得临界入射角所对应的偏向角 (11) 可见：iC对应的偏向角δC与临界入射角iC成线性关系．当δC=0°时，iC=α-90°；当iC=90°时，δC=180°-α．利用式(6)，上式可化为 (12) 可见：δC随着n的增加而增加。 如图3所示，临界入射角iC随着折射率n的增加而单调增加，当n→2时，iC→90°；当n→1时，iC→-30°．如果iC=0，表示入射光沿法线方向入射而产生全反射，由式(6)可得方程 n 解得 (13) 当三棱镜折射率满足1 如图4所示，不论折射率n如何，三棱镜的偏向角δ都是入射角i的先降后升的曲线族，存在极小值；临界入射角所对应的偏向角分布在一条直线上．当i=90°时，δ的值恰好等于临界值δC。折射率越大，临界入射角iC就越大，但是入射角的范围(iC,90°)就越小。 i/° 为了求偏向角的极小值，式(9)对i求导数可得 (14) 将式(1)-(3)对i求导数，可得三个微分方程 cosi=R′ncosR r′cosr=I′ncosI R′ +I′=0 由此可得 将上式代入式(14)，令δ′=0，可得1+r′=0，从而可得三角方程 cosRmcosrm=cosImcosim 利用两个折射公式消除rm和im，可得方程 cos2Rm(1-n2sin2Im)=(1-sin2Im)(1-n2sin2Rm) 上式展开后化简可得 (n2-1)sin2Rm=(n2-1)sin2Im 因此Rm=Im(取负号无意义)。将此式代入两个折射公式可得rm=im．这时，偏向角最小，用δm表示。rm=im说明：在偏向角最小的情况下，入射线和出射线关于三棱镜是对称分布的。 将rm=im代入式(9)中，可得最小偏向角公式[5,8-10] δm=2im-α (15) 这就是式(15)。这种证明δ极小值的方法最简单。 由此可见：δm与im成线性关系．当δm=0°时，im=α/2；当im=90°时，δm=180°-α。在图4中，最小偏向角δm所对应的入射角im分布在一条直线上；折射率n越大，最小偏向角δm就越大。 将rm=im代入式(4)可得三角方程 可以解得 (16) 可见：最小偏向角δm所对应的入射角im由折射率n决定。利用上式，式(15)可化为 (17) 可知：最小偏向角δm由折射率n决定．。 如图5所示，最小偏向角δm和对应的入射角im随着折射率n的增加而单调增加。当n的定义域取在(1,2)之间时，im的值域是(30°,90°)，δm的值域是(0,120°)。 n 分光计中三棱镜的位置如图6所示。 图6 分光计内外的光路图 设入射光的初始入射角为i0，如果已知折射率n，需要适当选择i0，使之满足条件iC i=i0+θ (18) 出射角r由式(4)决定，偏向角δ由式(9)或式(10)计算．由于i是θ的函数，所以r和δ都是θ的函数。 在分光计的实验中，偏向角δ将随着旋转角θ的增加而减小。当δ取极小值δm时，再增加θ，δ将增加。测得与极小值δm对应的旋转角为θm，由式(18)可得对应的入射角 im=i0+θm (19) 利用式(15)可得最小偏向角δm。 三棱镜对钠黄光的折射率为n=1.618，当i0=40°时，出射角r和偏向角δ与旋转角θ的关系如图7所示。出射角r是单调递减的曲线，偏向角δ是先降后升的曲线。当旋转角为θm=14°时，最小偏向角为δm=48°。 θ/° 如果测得某种单色光通过三棱镜中最小偏向角δm，由式(17)可得三棱镜的折射率 (20) 如图8所示，当i0=40°时，如果测得某种单色光的最小偏向角为δm=30°，则三棱镜对这种单色光的折射率为n=1.414。 θ/° 在最小偏向角难于观测的情况下，利用式(4)可以解得任意入射角i和出射角r所对应的折射率。 (21) 当r=i=im时，由上式可得 (22) 由式(15)可得im=(δm+α)/2，代入上式既得式(20)。可见：式(20)是式(21)的特例。 单色光折射率n随入射角i和出射角r的变化曲面如图9所示，n为常数的线是等高线，就是说：同一个折射率可用多个入射角和出射角测得；只有中间的曲线代表入射角和出射角相等时的折射率。如果测得某种单色光的r=i=45°时，偏向角最小，三棱镜对这种单色光的折射率为n=11.414。图9的俯视图如图2所示，当n=1时，由式(21)可得直线方程r+i=α，即式(5)，这是曲面与n=1的等高线的交线。 图9 单色光三棱镜任意入射角和出射角的折射率 MATLAB是研究大学物理光学实验的很好的工具，通过图像可以发现问题并提示解决问题的思路。在三棱镜的公式中，根据不同折射率的出射角随入射角变化的曲线族，发现所有曲线都是单调下降的，关于正比例斜轴是对称分布的，发现临界角随折射率的变化规律。根据不同折射率的偏向角随入射角变化的曲线族，发现临界入射角分布在一条直线上，最小偏向角也分布在一条直线上，进而发现最小偏向角随折射率的变化规律。当入射光方向一定时，通过旋转三棱镜，观察最小偏向角，即可求出折射率。通过折射率随入射角和出射角的曲面，说明根据任意入射和出射角都可以测量折射率，利用最小偏向角测试折射率属于特殊情况。 MATLAB编程在三棱镜实验中的应用十分广泛，不但可以显示角度的变化规律，还可以模拟三棱镜中光的偏向角变化的动画，甚至演示白光通过三棱镜的色散现象。
2 三棱镜偏向角与入射角之间的关系
3 分光计中三棱镜的最小偏向角
4 折射率的计算
5 结 语
