直角棱镜的特性研究
2011-01-25葛松华唐亚明
葛松华 唐亚明
(青岛科技大学数理学院 山东 青岛 266042)
1 引言
棱镜的一个主要功能是色散.直角棱镜又称为阿贝棱镜,由于它的设计特点,即利用全反射特性,棱镜的出射光线与入射光线具有恒偏向角,所以经常应用在光谱仪器中[1]. 现推导直角棱镜的偏向角与入射角的关系式,得到恒偏向角的结果,并讨论直角棱镜的最大入射角和最小入射角,用Matlab软件绘出最大入射角和最小入射角与折射率的变化曲线.
2 直角棱镜的恒偏向角
2.1 偏向角与入射角的关系式
δ=60°+i-i′
(1)
在AB面上由折射定律得
sini=nsinr
(2)
同理在BC面上有
sini′=nsinr′
(3)
图1 直角棱镜偏向角的光路图
从图1容易得到
r+r′=60°
(4)
所以有
sini′=nsinr′=nsin(60°-r)=
n(sin60°cosr-cos60°sinr)=
得
则
(5)
式(5)即为偏向角δ与入射角i之间关系的表达式.偏向角与折射率n和入射角i有关,表明全反射后会对颜色有选择,因而产生色散现象.
2.2 恒偏向角的条件
如果使
(6)
即
(7)
则偏向角
δ=60°
(8)
即为恒偏向角.这就是直角棱镜的重要特征,与常用的等边三棱镜不同,它是利用全反射特性制成的反射棱镜.反射棱镜经常应用在光谱仪器中,光源和观察系统的角度可以固定,旋转棱镜,即改变入射角,就能够方便地观察到不同波长的谱线.
式(7)可表示为
n=2sini
(9)
根据式(9),只要测出入射角i,就可得到折射率n.用Matlab软件画出n-i曲线,如图2所示.
图2 折射率与入射角关系曲线
实验中,旋转直角棱镜,改变入射角就可以观察特定波长的光线.所以这个装置可以经过校准,使得棱镜旋转度盘读数直接用波长标定.
3 直角棱镜全反射时的最大入射角与最小入射角
3.1 最大入射角
图3 最大入射角光路图
如图3所示,当入射光线入射到AB面上,发生折射,设入射角为i,折射角为r,折射光线又以入射角r0入射到AC面上,并恰好在AC面发生全反射.
根据折射定律,在AB面上有sini=nsinr,在AC面上有nsinr0=1 ,由图3可得
∠A=r+r0=90°
(10)
则
sini=nsinr=nsin(∠A-r0)=
n(sin∠Acosr0-cos∠Asinr0)=
此时的入射角称为直角棱镜在AC面上全反射时的最大入射角,记为imax,那么
(11)
用Matlab软件画出最大入射角与折射率的变化曲线,即imax-n曲线,如图4所示.
图4 最大入射角与折射率的关系曲线
如果入射光线大于最大入射角,则光线就不能在AC面上发生全反射,即要在AC面上产生全反射现象,入射角必须小于最大入射角.最大入射角随折射率的增大而增大.当折射率n≥1.41时,最大入射角为90°,这对玻璃棱镜和可见光而言是没问题的.所以入射光线不论以多大的入射角入射,在AC面上总能发生全反射.这就是直角棱镜的设计特点.
3.2 最小入射角
下面再来讨论BC面上的全反射问题.入射光线在AB面上入射,在AC面上全反射后,再入射到BC面上.当入射角i减小时,折射角r也会减小.由于r′=60°-r,r′会增加,如果r′增大到全反射角时,即
nsinr′=sini′=1
(12)
光线就会在BC面上发生全反射,没有出射光线.此时的入射角称为最小入射角imin,由式(2)和式(12)得
sinimin=nsinr=nsin(60°-r′)=
(13)
用Matlab软件画出imin-n曲线,如图5所示.最小入射角随折射率的增大而增大.
图5 最小入射角与折射率的关系曲线
综上所述,要在BC面上得到出射光线,入射角必须小于最大入射角和大于最小入射角.实验中小于最大入射角一般是没有问题的,只要注意大于最小入射角即可.
直角棱镜是具有60°恒偏向角的棱镜,另外还有具有90°恒偏向角的Pellin-Broca棱镜等[2].分析这些棱镜的特性,对实验来说很有意义.
参考文献
1 E·赫克特,A·赞斯著.秦克诚,詹达三,林福成译. 光学(上册)(第1版).北京:高等教育出版社,1979 .252~254
2 姚启钧.光学教程(第1版). 北京:高等教育出版社,1981 .203~204