分数阶微积分在滑模控制中的应用特性

宋申民，邓立为，陈兴林

(1. 哈尔滨工业大学 控制理论与制导技术研究中心，哈尔滨 150086；2. 哈尔滨工业大学 航天学院，哈尔滨 150001)

分数阶微积分在滑模控制中的应用特性

宋申民1，邓立为1，陈兴林2

(1. 哈尔滨工业大学 控制理论与制导技术研究中心，哈尔滨 150086；2. 哈尔滨工业大学 航天学院，哈尔滨 150001)

针对分数阶微积分算子的信息记忆与遗传特性，从分数阶滑模趋近律与分数阶滑模控制律两方面，对分数阶微积分算子在滑模控制理论中的应用特性进行了研究。首先，从传统滑模控制理论的几种趋近律入手，引出分数阶滑模趋近律并分析其收敛特性。其次，针对航天器姿态控制系统，设计了一种分数阶滑模控制器。最后，对比数值仿真验证了所设计控制器的良好性能，与传统滑模趋近律和传统滑模控制律相比，分数阶滑模趋近律具有较好的平滑特性，分数阶滑模控制律具有更好的抗干扰性与强鲁棒性。

分数阶滑模控制；分数阶滑模趋近律；分数阶微积分；航天器姿态

分数阶微积分是研究任意阶微分和积分的理论，是传统意义上整数阶微分和积分向非整数阶的推广与延伸。与传统微积分相比，分数阶微积分增加了微分与积分两个自由度的可变性，从而给控制系统设计带来了新的灵活性。近年来，利用分数阶微积分算子的记忆与遗传特性，在传统滑模控制理论中引入分数阶微积分算子而产生的分数阶滑模控制在各个领域得到了广泛地应用。文献[1]针对两自由度机械臂系统与双槽水槽系统设计了模糊分数阶滑模控制器。文献[2]针对具有不确定性的一类动力学系统设计了分数阶终端滑模控制器，但文中系统模型及不确定性部分的范数具有一定的特殊性。文献[3]研究了分数阶滑模控制中滑模面吸引域的充分条件问题，文中给出了与稳定的分数阶趋近律对应的整数阶趋近律也是稳定的。文献[4]研究了一类具有不确定性的分数阶系统的分数阶滑模观测器问题。文献[5]针对永磁同步电机的位置控制问题，设计了一种分数阶滑模控制器。文献[6]针对永磁同步电机的速度控制问题设计了参数自整定的分数阶滑模控制器。文献[7]针对四旋翼飞行器模型，研究了具有分数阶趋近律特性的积分滑模控制问题。文献[8-10]则针对不同形式的混沌类系统利用滑模控制理论进行了一系列的研究。上述文献虽然涉及了分数阶趋近律问题以及分数阶滑模控制等问题，但是还未有文献专门针对分数阶微积分在滑模控制中的应用特性进行研究。

受上述文献的启发，本文针对分数阶微积分在滑模控制理论中的应用问题，在传统滑模趋近律的基础上分析了分数阶滑模趋近律的收敛性。针对航天器姿态控制模型，设计了分数阶滑模控制器，并给出了与其对应的传统的滑模控制器。最后，以航天器姿态控制系统模型为控制对象，分别利用分数阶滑模趋近律与分数阶滑模控制律结合设计了4组不同形式的控制器进行了对比仿真验证。

1 基础理论

分数阶微积分理论研究已经有300多年的历史。在过去几十年里，这一理论问题仅仅是在数学领域进行了一定的研究，而在最近十几年里，分数阶微积分理论已经应用到工程、物理学、经济学等领域。在分数阶微积分理论的发展过程中，研究学者们给出了多种定义，其定义的合理性与科学性已经在实践中得到了检验。Caputo型分数阶微积分初始条件的定义与整数阶微积分的相一致，近年来在工程应用中得到了广泛的研究。

定义1[11-12]连续可积函数 f(t)的Caputo型分数阶微积分统一定义为：

引理 1[2]假设 x =0是式(2)分数阶非自治系统的平衡点，

式中， f (x ,t)满足 Lipschitz条件。假设存在一个Lyapunov函数 V(t, x (t))满足如下条件：

式中 a1、a2和 a3是正常数。则有系统(2)是渐近稳定的。

引理2[13]一个给定的连续系统= f(x)，f(0) =0， x ∈Rn，如果存在一个连续的正定函数V :Rn→R，a ∈R+， β∈ (0,1)，并且存在原点的一个领域 U0⊆Rn使得不等式(4)成立，

那么原点就是一个平衡点，可以在有限时间内到达。

2 分数阶滑模趋近律

到达阶段作为滑模控制的一个重要组成部分，其本质属于连续控制，基本要求是使系统状态能够到达滑模面。在这一运动过程中，常常是希望趋近速度尽可能的快，并尽可能的保证在到达时s˙不宜过大，以免引起较大的冲击，减少系统的抖振。本节在几种常见的趋近律的基础上给出一种分数阶滑模趋近律。

2.1 传统滑模趋近律

① 等速趋近律 状态点以常量 ε＞ 0的趋近速度到达切换面，其表达式为：

式中，符号sign(·)在文中均表示各列向量的符号函数组成的列向量。利用式(5)可以解出：

② 指数趋近律 状态点以指数变化规律的趋近速度到达切换面，主要特点表现在离切换面越远的状态点趋近速度越快，其表达式为：

根据s的符号变化，可以解出s的表达式为：

式中 s0是系统初始状态 t= 0时切换函数 s(x (t))的值。

③ 幂次趋近律 状态点以幂次规律的形式到达切换面，该规律主要特点体现在能够使系统的状态点在有限时间内到达切换面，而且有效消除了惯性引起的抖振，其表达式为：

可以积分得到s的表达式为：

2.2 分数阶滑模趋近律

与传统由微分方程构成的趋近律不同，分数阶趋近律由分数阶微分方程构成，通过调解系数k以及微分阶次α可以改变系统状态到达滑模面时的速度以及s˙的值，其表达式为：

证明：选取Lyapunov函数为

根据分数阶微积分定义式(1)，则有

对式(12)进行求一阶微分，并利用式(11)和式(13)可以得到：

利用 sign(D1-α(- ks ign(s) )) =-ks ign(s)[13]，可得：

因此，可以得到 V˙ ≤0 ⇒DαV≤0 ，根据引理1则有系统(11)的平衡点是渐近稳定的。

文献[3]以定理的形式说明了系统(11)的平衡点是全局吸引的。文献[12]研究了Caputo型分数阶非线性系统的稳定性问题，文中以范例形式说明了形如式(11)的分数阶系统的平衡点是渐近稳定的。本文受到文献[3, 7, 12]的启发，将形如式(11)的分数阶系统作为分数阶滑模趋近律，与传统趋近律进行对比分析。

3 分数阶滑模控制器设计

航天器姿态控制控制系统具有一定的耦合性，能够代表一大类系统，并可以对比说明分数阶滑模控制的优点所在，所以本节以航天器姿态控制系统为控制对象，设计相应的分数阶滑模控制器。

3.1 航天器姿态控制模型

考虑航天器的姿态动力学与运动学方程[14]：

式中， ω=[ω1ω2ω3]T∈R3定义为航天器本体坐标系相对于惯性坐标系，表示在航天器本体坐标系上的姿态角速度矢量； J ∈R3×3为航天器的对称正定转动惯量矩阵；u =[u1u2u3]T∈R3是作用在航天器上的三轴控制力矩矢量； d=[d1d2d3]T∈R3表示的是外干扰力矩，并存在已知常数 dmax＞ 0使得不等式＜dmax成立[14]；σ表示的是本体坐标系相对于惯性坐标系的修正的罗德里格参数描述；矩阵 G (σ)的定义为：

对于 ∀ξ= ［ξ1ξ2ξ3］T∈R3，而符号 ξ×表示如下的反对称矩阵：

航天器姿态控制问题描述：针对由(16)组成的航天器姿态控制系统，对于给定的初始姿态σ以及初始角速度ω，设计控制器u，使得当t→∞时，系统的姿态信息 σ →0以及角速度信息 ω→ 0。

3.2 分数阶滑模控制器

选取分数阶滑模面为：

利用等效控制原理可以得到等效控制部分：

选取分数阶趋近律(9)与传统趋近律结合组成变结构控制部分：

为满足稳定性要求，可以推导得到控制律为：

证明：选取Lyapunov函数为

对式(18)求导，利用式(16)和式(21)可以得到：

利用式(15)的结果，求取Lyapunov函数(22)的导数：

说明 2 控制律中符号函数会引起系统控制力矩的抖振，为避免此问题利用饱和函数对符号函数进行替换，其定义为

说明3 为了对比分析分数阶滑模控制的优点，利用传统滑模控制理论与等效控制思想设计如下的传统滑模面与控制律：

4 仿真分析

4.1 仿真参数设定

为了验证本文提出的分数阶趋近律及分数阶滑模控制的有效性，利用MATLAB进行数值仿真验证。分数阶微积分算子Dασ的数值仿真实现可以有多种方法，本文利用文献[16]中的分数阶控制工具箱FOMCON 进行仿真，在仿真中设置为改进型Oustaloup滤波算法模式，在频段（0.01 rad/s，100 rad/s）内采用2阶算法进行近似。

控制器的设计过程中虽然没有考虑转动惯量不确定性和外干扰力矩，但仍然具有很好的鲁棒性和抗干扰性。为了说明这两种特性，仿真中控制器中选用转动惯量J，而控制对象的转动惯量选用 J′；扰动力矩则选择了与航天实际工程中不符合的较大值，这样选择的主要原因是为了验证所设计的控制器具有较好的抗干扰性。本文主要研究分数阶滑模趋近律及分数阶滑模的特性，所以假设仿真中执行机构具有理想特性，即不考虑执行机构的幅值限制要求，从而在仿真结果中并未给出控制力矩曲线。航天器参数选取为：

航天器初始姿态信息及初始角速度信息为：

扰动力矩为：

指数趋近律在传统滑模控制应用最多，因而在传统趋近律中选择指数趋近律。为了对比说明分数阶趋近律与分数阶滑模控制的优势所在，对前文所提出来的趋近律及滑模控制进行组合，得到如下4组滑模面和控制器。

滑模+指数趋近律：

滑模+分数阶趋近律：

分数阶滑模+指数趋近律：

分数阶滑模+分数阶趋近律：

控制器参数选取如下：

4.2 仿真结果分析

利用4.1所提出的4组组合控制算法，采用上述仿真参数，得到如下仿真结果：图1~图4分别是4个组合控制器作用下的航天器姿态信息、角速度信息以及滑模面系统曲线。

图1 控制器 u1作用下的系统状态及滑模面Fig.1 System state and sliding mode surface in controlleru1

图2 控制器 u2作用下的系统状态及滑模面Fig.2 System state and sliding mode surface in controlleru2

图3 控制器 u3作用下的系统状态及滑模面Fig.3 System state and sliding mode surface in controlleru3

图4 控制器 u4作用下的系统状态及滑模面Fig.4 System state and sliding mode surface in controlleru4

4组组合控制器都是由滑模控制(或分数阶滑模)与滑模趋近律(或分数阶趋近律)交叉组成，控制器 u1和控制器 u2与控制器 u3和控制器 u4的主要区别在于趋近律的不同，从其仿真结果图1和图2、图3和图4对比可知，分数阶趋近律的主要特性表现在能够柔化系统运动轨迹，减少姿态σ及角速度ω的超调量。控制器 u1和控制器 u3与控制器 u2和控制器 u4的主要区别在于是否是分数阶滑模控制，从其仿真结果图1和图3与图2和图4对比可知，分数阶滑模控制的主要特性表现在良好的抗干扰性、强鲁棒性、控制高精度性。最后，从由分数阶滑模控制与分数阶滑模趋近律组成的控制器 u4及其仿真结果图4中可以看出，该控制器具有良好的平滑特性，减少了暂态过程中的超调量；与此同时也提高了系统的姿态控制精度与角速度控制精度，具有良好的综合控制性能。

5 结 论

本文针对分数阶微积分算子在滑模控制中的应用研究入手，以几种传统滑模趋近律为基础引出分数阶滑模趋近律，以此研究了分数阶微积分在滑模控制中趋近阶段所起的作用，仿真结果表明分数阶趋近律与其他传统趋近律相比具有一定的平滑特性，也就是通过调节微分阶次α可以减小到达滑模面时s˙的值，以避免引起较大的冲击。另一方面，以航天器姿态控制为研究对象，给出了基于传统趋近律的分数阶滑模控制器和基于分数阶趋近律的分数阶滑模控制器，分数阶滑模控制器能够提高系统的综合控制精度，也具有比传统滑模控制更好的抗干扰性和鲁棒性。

本文主要研究了分数阶微积分算子在滑模控制的趋近段和滑模段中所起的作用，但是文中没有考虑执行机构的限幅要求，设计具有控制输入饱和限制的分数阶滑模控制器将在航天器控制中具有重大的工程应用意义。另外一方面，分数阶趋近律的平滑特性，也就是可以调节系统趋近律的微分阶次α，从而调节系统到达滑模面时s˙的大小，这仅仅在仿真中体现，研究分数阶趋近律的作用机理，推导分数阶趋近律与到达滑模面时s˙的具体关系表达式，具有重要的意义。以上两点是以后研究工作的重点。

[1] Delavari H, Ghaderi R, Ranjbar A, et al. Fuzzy fractional order sliding mode controller for nonlinear systems[J]. Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, 2010, 15(4): 963-978.

[2] Dadras S, Momeni H R. Fractional terminal sliding mode control design for a class of dynamical systems with uncertainty[J]. Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, 2012, 17(1): 367-377.

[3] Efe M O. A sufficient condition for checking the attracttiveness of a sliding manifold in fractional order sliding mode control[J]. Asian Journal of Control, 2012, 14(4): 1118-1122.

[4] Dadras S, Momeni H R. Fractional sliding mode observer design for a class of uncertain fractional order nonlinear systems[C]//50th IEEE Conference on Decision and Control and European Control Conference. Orlando, United states, 2011: 6925-6930.

[5] Huang J C, Li H S, Chen Y Q, et al. Robust position control of PMSM using fractional-order sliding mode controller[J]. Abstract and Applied Analysis, 2012: 512703.

[6] Zhang B T, Pi Y G, Luo Y. Fractional order sliding-mode control based on parameters auto-tuning for velocity control of permanent magnet synchronous motor[J]. ISA Transactions, 2012, 51(5): 649-656.

[7] Efe M O. Integral sliding mode control of a quadrotor with fractional order reaching dynamics[J]. Transactions of the Institute of Measurement and Control, 2011, 33(8): 985-1003.

[8] Wang X Y, Zhang X P, Ma C. Modified projective synchronization of fractional-order chaotic systems via active sliding mode control[J]. Nonlinear Dynamics, 2012, 69(1-2): 511-517.

[9] Chen D Y, Zhang R F, Julien C S, et al. Synchronization between integer-order chaotic systems and a class of fractional-order chaotic system based on fuzzy sliding mode control[J]. Nonlinear Dynamics, 2012, 70(2): 1549-1561.

[10] Aghababa M P. Finite-time chaos control and synchronization of fractional-order nonautonomous chaotic (hyper-chaotic) systems using fractional nonsingular terminal sliding mode technique[J]. Nonlinear Dynamics, 2012, 69(1-2): 247-261.

[11] Efe M O. Fractional fuzzy adaptive sliding-mode control of a 2-DOF direct-drive robot arm[J]. IEEE Transactions on Systems, Man, and Cybernetics, Part B: Cybernetics, 2008, 38(6): 1561-1570.

[12] Delavari H, Baleanu D, Sadati J. Stability analysis of Caputo fractional-order nonlinear systems revisited[J]. Nonlinear Dynamics, 2012, 67(4): 2433-2439.

[13] 邓立为，宋申民. 基于分数阶滑模的挠性航天器姿态跟踪鲁棒控制[J]. 航空学报, 2013, 34(8):1915-1923. DENG Li-wei, SONG Shen-min. Flexible spacecraft attitude robust tracking control based on fractional order sliding mode[J]. Acta Aeronautica et Astronautica Sinica, 2013, 34(8): 1915-1923.

[14] Liang H Z, Wang J Y, Sun Z W. Robust de-centralized coordinated attitude control of spacecraft formation[J]. Acta Astronautica, 2011, 69(5-6): 280-288.

[15] 吕建婷，李传江，马广富. 卫星姿态调节的滑模PID控制器设计[J]. 哈尔滨工业大学学报, 2008, 40(7): 1009-1012. LV Jian-ting, LI Chuan-jiang, MA Guang-fu. Sliding mode PID controller design for satellite attitude regulation [J]. Journal of Harbin Institute of Technology, 2008, 40(7): 1009-1012.

[16] Tepljakov A, Petlenkov E, Belikov J. Fractional order modeling and control toolbox for MATLAB[C]//18th International Conference Mixed Design of Integrated Circuits and Systems. Gliwice, Poland, 2011: 684-689.

Application characteristics of fractional calculus in sliding mode control

SONG Shen-min1, DENG Li-wei1, CHEN Xing-lin2
(1. Center for Control Theory and Guidance Technology, Harbin Institute of Technology, Harbin 150086, China; 2. School of Astronautics, Harbin Institute of Technology, Harbin 150001, China)

In view of the information memory and genetic characteristics of fractional calculus operator, the application characteristics of fractional calculus operator in sliding mode control theory were studied from two aspects: i.e. the allotted fractional order sliding mode reaching law and the fractional order sliding mode control law. Firstly, a fractional order sliding mode reaching law was deduced based on several reaching laws of conventional sliding mode control theory, and then the convergence characteristics of this law was proved. Secondly, a fractional order sliding mode control was designed for spacecraft attitude control system. Finally, numerical simulations and comparative analysis were conducted to validate the exceptional performance of the proposed controller, which show that, compared with the traditional reaching laws and traditional sliding mode control law, the fractional reaching law has good smoothness characteristics, and the fractional sliding mode control law has better anti-interference and strong robustness.

fractional order sliding mode control; fractional order reaching law; fractional calculus; spacecraft attitude

宋申民（1968—），男，博士，教授，博士生导师，主要研究方向为航天器轨道机动与姿态控制、非线性鲁棒控制与智能控制、先进滤波方法与组合导航等。Email：songshenmin@hit.edu.cn

1005-6734(2014)04-0439-06

10.13695/j.cnki.12-1222/o3.2014.04.004

V448.25

A

2014-02-13；

2014-05-15

国家自然科学基金（61174037）；国家自然科学基金创新群体项目（61021002）；国家“973”计划（2012CB821205）