模糊数学在审计固有风险评估中的运用

陈和平+刘亚男

【摘 要】 无论在现在还是未来，固有风险的评估始终是一个难点。传统的固有风险评估采用的是定性分析方法，以风险因素分析法、特尔斐法为代表。随着模糊数学在经济管理领域的应用，固有风险的评估引入了运用模糊数学原理的模糊综合评价法、模糊熵法、模糊层次分析法。文章在对常用的固有风险评估方法比较分析的前提下，重点对模糊数学原理的固有风险评估方法在实践中的具体运用进行了探讨。

【关键词】 固有风险； 评估方法； 比较； 运用

中图分类号：F239.1 文献标识码：A 文章编号：1004-5937（2014）29-0077-04

固有风险是指在考虑相关的内部控制之前，某类交易、账户余额或披露的某一认定易于发生错报（该错报单独或连同其他错报可能是重大的）的可能性。虽然2006年新的审计准则引入重大错报风险，我国的审计方法逐渐转向风险导向审计，但是在实际操作中，对被审计单位固有风险的评估还是比较重要的，且是一个难点。在这期间，理论界对固有风险评估方法的研究也不断发展，由最初的定性分析方法到现在比较流行的定量和定性结合的分析方法。

一、现有固有风险评估方法的比较

现有的固有风险评估方法主要有：以定性分析为代表的风险因素分析法和特尔斐法；以定量分析为代表的模糊综合评价法、模糊熵法、模糊层次分析法。

（一）风险因素分析法和特尔斐法的对比分析

风险因素分析法是指对可能导致风险发生的因素进行评估分析，从而确定风险发生概率大小的风险评估方法；特尔斐法是指用书面形式广泛征询专家意见以预测某项专题或某个项目未来发展的方法。两者都不能够对固有风险的风险水平进行准确的评估，但是特尔斐法的准确度要高。固有风险的各个影响因素对其影响程度是不同的，在风险因素分析法中，审计人员通过以往的经验或专家的意见给不同的因素设置不同的权数，然后在其基础上确定总体的固有风险水平，这就使得固有风险的评估存在很大的主观随意性，比较依赖审计人员或专家的经验，审计的效果也不太好。特尔斐法较之风险因素分析法相对减少了固有风险评估的主观随意性，这种比较系统的方法并没有把固有风险评估的主观方法转变为客观方法，而是着眼于更好地利用审计人员或专家的经验，使审计人员对固有风险的评估规范化、统一化、标准化，减少了随意性，但前提还是要依赖审计人员或专家的经验。

（二）模糊综合评价法、模糊熵法、模糊层次分析法的对比分析

模糊综合评价法是根据模糊数学的隶属度理论把定性评价转化为定量评价，在专家对固有风险影响因素分析评价的基础上运用模糊数学的原理将固有风险水平确定为一个具体的数值或评价。模糊熵法是用“熵”来度量一个模糊集合所含有的模糊性的大小，运用模糊数学的原理将固有风险水平确定为一个具体的数值或评价。与模糊综合评价法相比，模糊熵法只是对影响固有风险的各影响因素的权重计算方法不一样。模糊综合评价法是利用相对比较法、层次分析法、特尔斐法、连环比率法等确定各影响因素的权重；模糊熵法是利用“熵”的计算方法确定各影响因素的权重，结果更为科学。模糊层次分析法是将模糊数学的理论方法与层次分析法结合起来，将固有风险的影响因素分解为各层次，在此基础上利用模糊数学原理确定固有风险水平的一种方法。与模糊综合评价法和模糊熵法相比：首先，模糊层次分析法运用层次分析原理将影响固有风险的因素划分得更为合理、具体；其次，模糊层次分析法根据三角模糊数的计算原理，用三角模糊数构成模糊判断矩阵，大大减少了模糊判断的主观性；最后，模糊层次法运用模糊综合评价原理计算出层次的单排序和总排序，从而确定最后的评价结果，使得计算的准确性大大提高。

（三）定性和定量分析方法的对比分析

与风险因素分析法和特尔斐法两种定性分析方法相比，模糊综合评价法、模糊熵法和模糊层次分析法三种定量分析方法在分析风险因素的影响程度时更全面、详细、具体，评估固有风险的水平时也更为客观、准确，受审计人员的主观影响程度更低，是一种适应性很强的决策方法。但是，这些方法操作起来比较麻烦，实际应用中会受到成本、客户的客观条件等因素的限制，如果所审计项目固有风险的影响因素比较稳定，规模较大的情况下，还是比较好的方法。

二、模糊数学在固有风险评估中的运用

（一）模糊综合评价法

1.模糊综合评价法的基本原理

设U={u1，u2，…，um}为刻画被评价对象的m种因素，V={v1，v2，…，vn}为刻画每一因素所处状态的n种决断。这里存在两类模糊集，以主管赋权为例，一类是标志因素集U中诸元在人们心中的重要程度，表现为因素集U上的模糊权重向量A=（a1，a2，…，an）；另一类是U×V上的模糊关系，表现为m×n模糊矩阵R，这两类模糊集都是人们价值观念或偏好结构的反映。再对这两类集施加某种模糊运算，便得到V上的一个模糊子集B=（b1，b2，…，bn）。因此，模糊综合评价是寻找模糊权重向量A=（a1，a2，…，an）∈F（V），据此构造模糊矩阵R=[rij]m×n∈F（U×V），其中rij表示因素ui具有评语vj的程度，进而求出模糊综合评价B=（b1，b2，…，bn）∈F（V），其中bj表示被评价对象具有评语vj的程度，即vj对模糊集B的隶属度。由此可见，模糊综合评价的数学模型涉及三个要素：因素集U={u1，u2，…，um}；决断集V={v1，v2，…，vn}；单因素判断f：U→F（V），ui→f（ui）=（ri1，ri2，…，rin）∈F（V）。由f可诱导模糊关系Rf∈F（U×V），其中Rf（ui，vj）=f（ui）（vj）=rij，而由Rf可构成模糊矩阵：

R=

2.模糊综合评价法在固有风险评估中的运用

第一步：确定固有风险的影响因素。

不论是在制度基础审计方法下，还是在风险导向审计方法下，固有风险的影响因素都相差不大。总的来说，固有风险的影响因素主要分为：被审计单位的行业环境（U1）、被审计单位的业务性质（U2）、被审计单位财会人员的品行和能力（U3）、被审计单位管理人员遭受的异常变动（U4）、被审计单位财会人员的变动情况（U5）、容易产生错漏报的财务报表项目（U6）、重要的业务或事项的复杂程度（U7）、需要运用估计和判断的财务报表项目（U8）、易遭受损失或被盗用的资产（U9）、会计期间特别是会计期末发生的异常复杂业务（U10）、难以审查的账户或交易（U11），这些影响因素组成了模糊综合评价的指标体系。endprint

第二步：依据第一步中的影响因素构建因素集、评语集（即决断集）。

因素集：U={U1，U2，…，U11}

评语集：V={V1，V2，V3，V4，V5}，可以分别代表{高，较高，中等，较低，低}

第三步：确定权重集。

在评价指标中，每个指标相对其上一级指标的重要程度即为权重。一般可以采用相对比较法、层次分析法、特尔斐法、连环比率法等确定指标权重。

各个因素对应的权重集为：A={a1，a2，…，a11}，且ai=1

第四步：通过各因素模糊评价获得模糊综合评价矩阵。

各因素的模糊评价是从一个因素的角度出发进行评价，以确定评价对象对评价集V的隶属程度。

其中，rij（i=1，2，…，n；j=1，2，…，5）为隶属度，即第i个因素隶属于第j个评价等级的程度。

第五步：利用合适的模糊乘法算子①将R与A合成，得到最终的模糊综合评价结果B。

B=A·R

还要对B进行归一化处理，即令Bi=Bi÷（B1+B2+B3+B4+B5）

第六步：分析评价结果。

隶属向量（B1，B2，B3，B4，B5）即为模糊综合评价法确定的综合评价结果，它直接反映了各评级指标隶属的评语等级。根据最大隶属度法，若Vi=max（B1，B2，B3，B4，B5），则评价结果为Vi。

（二）模糊熵法

1.模糊熵的基本原理

1947年德拉卡把“熵”推广到模糊情形，即模糊集的熵。考虑一个系统的n个状态e1，e2，…，en，它们各自的概率分别为：p1，p2，…，pn，则把这个系统的熵定义为：H（p1，p2，…，pn）=- pilnpi

下面给定一个模糊集A，并用向量表示为：

A=（μA（x1），μA（x2），…，μA（xn））

命πA（xi）=μA（x1）/μA（Xi）

则定义：

H（πA（x1），πA（x2），…，πA（xn））=（-1/ln（n））×（Xi）ln（πA（xi））（i=1，2，…，n） （1）

2.模糊熵在固有风险评估中的运用

模糊熵在固有风险评估中的应用只是用来计算模糊集中每个元素的模糊熵，利用每个元素的模糊熵进行再计算得出来的数据就组成了模糊集的权数矩阵W。其基本步骤和模糊综合评价法一样，即根据评价要求构造模糊集、决断集，然后对各风险因素进行单独评价建立模糊综合评价矩阵R。模糊综合评价矩阵由各指标对各固有风险可能最终值的支持程度定量化的结果组成。不同的是模糊熵法是根据模糊综合评价矩阵R，使用模糊熵的计算公式确定各个指标的权数，最后和模糊综合评价法第五步一样，利用合适的模糊算子将模糊集的权数矩阵W与模糊综合评价矩阵R合成得出评价结果，所以本文只介绍利用模糊熵计算各指标权重这一步骤。

计算步骤：

根据模糊综合评价法第四步中建立的模糊综合评价矩阵R，利用公式（1），计算第i个指标的模糊熵ei。

再计算差异性系数gi，gi=1-ei

最后利用公式Wi=gi/gi（i=1，2，…，n）计算各个因素的权数Wi，各因素的权数Wi构成权数矩阵W。

（三）模糊层次分析法（简称Fuzzy AHP）

1.模糊层次分析法的基本原理

（1）三角模糊数的定义

记F（R）为R上的全体模糊集，设M∈F（R）。

M的隶属函数μM：R→[0，1]定义如下：

μM （x ）=x/（m-l）-l/（m-l），x∈[l，m]

x/（m-u）-u/（m-u），x∈[m，u]

0， 其他 （2）

式（2）中l≤m≤u，l和u分别表示M所支撑的下界和上界，m为M的中值，称M为三角模糊数。一般地，三角模糊数M可记为（l，m，u）。l，u表示了判断的模糊程度，（u-l）越大表示模糊程度越高。

如果M1=（l1，m1，u1），M2=（l2，m2，u2），则下列三角模糊数M的运算法则成立：

（l1，m1，u1） [+]（l2，m2，u2）=（l1+l2，m1+m2，u1+u2） （3）

（l1，m1，u1） [×]（l2，m2，u2）=（l1l2，m1m2，u1u2） （4）

λ∈R，λM=λ（l，m，u）=（λl，λm，λu） （5）

（l，m，u）-1≈

，

， （6）

（2）层次排序的定理

M1≥M2的可能性程度定义为：

V（M1≥M2）=1， m1≥m2

，m1

0， 其他

（7）

由三角模糊数组成的模糊判断矩阵A，记为A=（aij）m×n，aij=[lij，mij，uij]。

模糊矩阵A为正反矩阵，即aji=aij-1=

，

，

（3）计算模糊综合程度值

a=（l，m，u），其中：i，j=1，2，…，nk；t=1，2，…当有T位专家进行判断时，aij为综合三角模糊数，T为第t个专家给出的三角模糊数，据公式（8）求得第k层的综合三角模糊数，由此得到k层全体因素对第k-1层第h个因素的综合模糊矩阵。再据公式（9）求出模糊集s，s，…，s，它们分别刻画了第k层各个因素相对于第k-1层第h个因素的模糊综合程度。

M= [+]（a+a+…+a） （8）

S=M [×]（M）-1，i=1，2，…，nk （9）

利用公式（7）计算层次的单排序，经归一化处理后得：

P=（P，P，…，P）T （10）

表示第k层上各因素对第k-1层上第h个因素的单排序。

（4）层次总排序

如果k-1层对总目标的排序权重向量为：Wk-1=（W，W，…，W）T，那么第k层上全体元素对总目标的合成排序W由下式给出：

Wk=（W，W，…，W）=PkWk-1 （11）

（5）计算固有风险的综合评估值

Z=Wfiai （12）

其中，i为固有风险影响因素的个数，ai为固有风险在第i项指标上的三角模糊数，Wfi为第i项指标的层次总排序值，即权重。

2.模糊层次分析法在固有风险评估中的应用

第一步：根据问题的总目标，建立固有风险的指标评价体系（详见图1）。

第二步：建立模糊判断矩阵。

由专家对固有风险的指标评价体系中的元素进行两两比较，并采用三角模糊数定量表示，其中三角模糊数的打出可参考AHP的1-9标度打分原则。如果多名专家进行决策，则利用公式（8）计算评级指标的综合三角模糊数，从而得到三个模糊判断矩阵A，A1，A2。

第三步：计算模糊综合重要程度值。

根据模糊判断矩阵A，A1，A2，利用公式（9）计算出每层每个元素的模糊综合重要程度值。由矩阵A，A1，A2得出的模糊综合重要程度值分别为：S1，S2，S11，S12，S13，S14，S15，S21，S22，S23，S24，S25，S26。

第四步：进行层次单排序。

根据每个元素的模糊综合重要程度值，利用公式（7）分别求出每层各元素重于其他元素的可能程度P，再将由P组成的向量W'进行归一化处理，便得到权重向量W，即层次的单排序，分别为：V（U1），V（U2），V（U11），V（U12），V（U13），V（U14），V（U15），V（U21），V（U22），V（U23），V（U24），V（U25），V（U26）。得到各层的权重向量分别为：

W=（V（U1），V（U2））

W1=（V（U11），V（U12），V（U13），

V（U14），V（U15））

W2=（V（U21），V（U22），V（U23），

V（U24），V（U25），V（U26））

第五步：层次总排序。

根据已求出的层次单排序及其各自的权重向量，利用公式（11）求出层次的总排序，即Wfi（i=1，2，…，11）。

第六步：计算固有风险的综合评估值。

由专家对某一项审计项目的固有风险的各评价指标进行评估打分，给出每项因素的三角模糊数ai。根据层次的总排序向量Wfi和ai，利用公式（12）计算出固有风险的综合评估值Z。

结 语

固有风险的评估是一项重要而复杂的工作。影响固有风险的因素很多，而被审计单位的情况又各不相同，所以要充分利用审计人员或专家的智慧和经验进行定性分析。同时，量化固有风险水平也是一个大的趋势。因为审计人员或专家的判断具有不确定性及很强的主观性，需要运用模糊数学的方法降低这种不确定性和主观性。总之，在充分利用专家定性分析的基础上，运用量化风险评估模型，是固有风险评估的一种很好的方法。

【参考文献】

[1] 陈关亭，李可.固有风险——特尔斐法[J].审计研究，2001（3）：47-48.

[2] 李雷.基于AHP-Fuzzy模型的企业环境绩效综合评价[J].会计之友，2013（4）：14-19.

[3] 秦寿康.综合评价原理与应用[M].电子工业出版社，2003.

[4] 费军.模糊层次分析法在审计固有风险评估中的应用[J].数学的实践与认知，2005（12）：44-50.

[5] 费爱华，杜维.模糊熵在固有风险评估中的应用探讨[J].商业研究，2006（6）：55-57.

[6] 常大勇，张丽丽.经济管理中的模糊数学方法[M].北京经济学院出版社，1995.endprint

利用公式（7）计算层次的单排序，经归一化处理后得：

P=（P，P，…，P）T （10）

表示第k层上各因素对第k-1层上第h个因素的单排序。

（4）层次总排序

如果k-1层对总目标的排序权重向量为：Wk-1=（W，W，…，W）T，那么第k层上全体元素对总目标的合成排序W由下式给出：

Wk=（W，W，…，W）=PkWk-1 （11）

（5）计算固有风险的综合评估值

Z=Wfiai （12）

其中，i为固有风险影响因素的个数，ai为固有风险在第i项指标上的三角模糊数，Wfi为第i项指标的层次总排序值，即权重。

2.模糊层次分析法在固有风险评估中的应用

第一步：根据问题的总目标，建立固有风险的指标评价体系（详见图1）。

第二步：建立模糊判断矩阵。

由专家对固有风险的指标评价体系中的元素进行两两比较，并采用三角模糊数定量表示，其中三角模糊数的打出可参考AHP的1-9标度打分原则。如果多名专家进行决策，则利用公式（8）计算评级指标的综合三角模糊数，从而得到三个模糊判断矩阵A，A1，A2。

第三步：计算模糊综合重要程度值。

根据模糊判断矩阵A，A1，A2，利用公式（9）计算出每层每个元素的模糊综合重要程度值。由矩阵A，A1，A2得出的模糊综合重要程度值分别为：S1，S2，S11，S12，S13，S14，S15，S21，S22，S23，S24，S25，S26。

第四步：进行层次单排序。

根据每个元素的模糊综合重要程度值，利用公式（7）分别求出每层各元素重于其他元素的可能程度P，再将由P组成的向量W'进行归一化处理，便得到权重向量W，即层次的单排序，分别为：V（U1），V（U2），V（U11），V（U12），V（U13），V（U14），V（U15），V（U21），V（U22），V（U23），V（U24），V（U25），V（U26）。得到各层的权重向量分别为：

W=（V（U1），V（U2））

W1=（V（U11），V（U12），V（U13），

V（U14），V（U15））

W2=（V（U21），V（U22），V（U23），

V（U24），V（U25），V（U26））

第五步：层次总排序。

根据已求出的层次单排序及其各自的权重向量，利用公式（11）求出层次的总排序，即Wfi（i=1，2，…，11）。

第六步：计算固有风险的综合评估值。

由专家对某一项审计项目的固有风险的各评价指标进行评估打分，给出每项因素的三角模糊数ai。根据层次的总排序向量Wfi和ai，利用公式（12）计算出固有风险的综合评估值Z。

结 语

固有风险的评估是一项重要而复杂的工作。影响固有风险的因素很多，而被审计单位的情况又各不相同，所以要充分利用审计人员或专家的智慧和经验进行定性分析。同时，量化固有风险水平也是一个大的趋势。因为审计人员或专家的判断具有不确定性及很强的主观性，需要运用模糊数学的方法降低这种不确定性和主观性。总之，在充分利用专家定性分析的基础上，运用量化风险评估模型，是固有风险评估的一种很好的方法。

【参考文献】

[1] 陈关亭，李可.固有风险——特尔斐法[J].审计研究，2001（3）：47-48.

[2] 李雷.基于AHP-Fuzzy模型的企业环境绩效综合评价[J].会计之友，2013（4）：14-19.

[3] 秦寿康.综合评价原理与应用[M].电子工业出版社，2003.

[4] 费军.模糊层次分析法在审计固有风险评估中的应用[J].数学的实践与认知，2005（12）：44-50.

[5] 费爱华，杜维.模糊熵在固有风险评估中的应用探讨[J].商业研究，2006（6）：55-57.

[6] 常大勇，张丽丽.经济管理中的模糊数学方法[M].北京经济学院出版社，1995.endprint

利用公式（7）计算层次的单排序，经归一化处理后得：

P=（P，P，…，P）T （10）

表示第k层上各因素对第k-1层上第h个因素的单排序。

（4）层次总排序

如果k-1层对总目标的排序权重向量为：Wk-1=（W，W，…，W）T，那么第k层上全体元素对总目标的合成排序W由下式给出：

Wk=（W，W，…，W）=PkWk-1 （11）

（5）计算固有风险的综合评估值

Z=Wfiai （12）

其中，i为固有风险影响因素的个数，ai为固有风险在第i项指标上的三角模糊数，Wfi为第i项指标的层次总排序值，即权重。

2.模糊层次分析法在固有风险评估中的应用

第一步：根据问题的总目标，建立固有风险的指标评价体系（详见图1）。

第二步：建立模糊判断矩阵。

由专家对固有风险的指标评价体系中的元素进行两两比较，并采用三角模糊数定量表示，其中三角模糊数的打出可参考AHP的1-9标度打分原则。如果多名专家进行决策，则利用公式（8）计算评级指标的综合三角模糊数，从而得到三个模糊判断矩阵A，A1，A2。

第三步：计算模糊综合重要程度值。

根据模糊判断矩阵A，A1，A2，利用公式（9）计算出每层每个元素的模糊综合重要程度值。由矩阵A，A1，A2得出的模糊综合重要程度值分别为：S1，S2，S11，S12，S13，S14，S15，S21，S22，S23，S24，S25，S26。

第四步：进行层次单排序。

根据每个元素的模糊综合重要程度值，利用公式（7）分别求出每层各元素重于其他元素的可能程度P，再将由P组成的向量W'进行归一化处理，便得到权重向量W，即层次的单排序，分别为：V（U1），V（U2），V（U11），V（U12），V（U13），V（U14），V（U15），V（U21），V（U22），V（U23），V（U24），V（U25），V（U26）。得到各层的权重向量分别为：

W=（V（U1），V（U2））

W1=（V（U11），V（U12），V（U13），

V（U14），V（U15））

W2=（V（U21），V（U22），V（U23），

V（U24），V（U25），V（U26））

第五步：层次总排序。

根据已求出的层次单排序及其各自的权重向量，利用公式（11）求出层次的总排序，即Wfi（i=1，2，…，11）。

第六步：计算固有风险的综合评估值。

由专家对某一项审计项目的固有风险的各评价指标进行评估打分，给出每项因素的三角模糊数ai。根据层次的总排序向量Wfi和ai，利用公式（12）计算出固有风险的综合评估值Z。

结 语

固有风险的评估是一项重要而复杂的工作。影响固有风险的因素很多，而被审计单位的情况又各不相同，所以要充分利用审计人员或专家的智慧和经验进行定性分析。同时，量化固有风险水平也是一个大的趋势。因为审计人员或专家的判断具有不确定性及很强的主观性，需要运用模糊数学的方法降低这种不确定性和主观性。总之，在充分利用专家定性分析的基础上，运用量化风险评估模型，是固有风险评估的一种很好的方法。

【参考文献】

[1] 陈关亭，李可.固有风险——特尔斐法[J].审计研究，2001（3）：47-48.

[2] 李雷.基于AHP-Fuzzy模型的企业环境绩效综合评价[J].会计之友，2013（4）：14-19.

[3] 秦寿康.综合评价原理与应用[M].电子工业出版社，2003.

[4] 费军.模糊层次分析法在审计固有风险评估中的应用[J].数学的实践与认知，2005（12）：44-50.

[5] 费爱华，杜维.模糊熵在固有风险评估中的应用探讨[J].商业研究，2006（6）：55-57.

[6] 常大勇，张丽丽.经济管理中的模糊数学方法[M].北京经济学院出版社，1995.endprint