浅谈《数学分析》教学中的证伪

李宝德

摘 要： 在《数学分析》的教学中应以培养学生证实的思维训练为主，但培养学生证伪的思维训练也是有益的补充.通过反例证伪，可以使学生澄清对某些概念和性质的模糊认识，加深对命题成立条件的认识，克服对数学知识理解的偏差和负迁移.在引导学生证伪的过程中，在合理创设问题情境中自由发挥想象，构造反例证伪，可以很好地培养学生思维的缜密性、发散性、灵活性、深刻性和创新性，从而激发起他们学习数学的兴趣和刻苦钻研数学问题的热情和毅力.

关键词： 数学分析教学 极限 证伪

引言

生活中的实际问题需要人们通过判断真假然后做出选择.同样的，一个问题建立数学模型时，也需要我们不断地证实与证伪，去伪存真，然后得出正确的结论.《数学分析》作为教材，陈述概念的背景、内容，并进一步给出它的性质、定理和例题，以论述正确结论为主，即以证实为主.从形式上看，学生会以为数学就是不断地证实的过程.实则不然，一个数学问题的解决过程是被分解为许多真假未知的命题，即需要证实确认真命题，也需要证伪否定假命题，最终才能得出正确的结论.在教学过程中，引导学生发现问题，分析问题，大胆假设，小心求证，或严格地证明一个真命题，或举出一个反例推翻一个伪命题.

1.注重证伪，揭示概念的本质

《数学分析》中的概念都是用抽象的语言给予形式化的描述，学生在初学这些概念时常常不能抓住它的本质属性，只是机械地记忆概念名称及定义，容易造成理解上的混乱.所以在教学过程中，不仅要从正面引导学生准确把握这些概念的外延和内涵，概念与概念之间的联系，以及概念的正确应用，而且为了准确地把握概念，弥补正面教学的不足，对概念中容易引出的错误命题也可以通过证伪加以否定.

例如：在介绍无穷大量时，学生容易把它和无界量混淆在一起，尽管老师正面强调了两者在定义上的不同，即对无穷大量■f（x）要求对任意的正数M，都存在领域U（a，δ），使得对任意的x∈U（a，δ），都有|f（x）|>M.而对U（a，δ）上的无界量f（x），是指对任意的正数M，都存在x■∈U（a，δ），使得|f（x■）|>M[1].但学生对这两个概念的理解还是比较浅显，直觉上认为无界量就是无穷大量.那就不妨对命题“无界量是无穷大量”引导学生构造出一个反例来证伪.从简单的无穷大量开始探索：如f（x）=1/x在x→0时是最典型的无穷大量，f（x）=1/x也是U（0，δ）内的无界量，而根据无界量的定义，对任意M>0，在U（0，δ）中只需存在某个点，使得|f（x）|在此点处的值大于M即可，所以在f（x）=1/x的旁边可以乘一个随x→0时函数值在0与非0值之间不断发生周期变化的函数，使得1/x乘以一个这样的辅助函数后在U（0，δ）中仍为无界变量，但在0点任意邻域中的函数值都有0点而成为非无穷大量.通过这样的启发，学生自然会想到有周期性及有界性的三角函数sin1/x是最符合要求的辅助函数，从而构造出函数1/xsin1/x即是我们要找的U（0，δ）中的无界量，却不是x→0时的无穷大量.在证伪的过程中，引导学生从简化的问题入手，针对无界量与无穷大量中关于定义中自变量的存在性与任意性的差别及三角函数的周期性，分析构造出所需的反例，不仅让学生深刻地理解了概念“无穷大量”与“无界量”的区别，而且让学生体会到了分析中逻辑的力量和创新的快乐.

2.注重证伪，防止知识负迁移

《数学分析》中的很多知识点的理念是相通的，通过知识的正迁移会让学生的学习过程事半功倍，触类旁通.但某些知识容易使学生产生知识的负迁移，导出错误的认识.我们可以通过证伪纠正一些感性认识上容易产生知识负迁移的错误理解.

例如：函数f在闭区间[a，b]上连续，则f在[a，b]上一定有界.对于这个定理，学生容易产生知识的负迁移：若函数f在（a，b）上连续，则f在（a，b）上也一定有界.即定理的条件中去掉了函数在点a的右连续条件和在点b的左连续性，结论似乎仍然成立.那么，教师就可以引导学生举出反例推翻这个伪命题.首先注意到函数失去了端点的连续性，那反例就应该从寻找端点不连续且无界的函数中寻找突破口，从而启发学生想到端点为无穷间断点的函数，即f（x）=1/x，x∈（0，1）或f（x）=lnx，x∈（0，1）等函数在（0，1）上连续却是无界的.这样在证伪的过程中，不仅帮助学生加深对闭区间上函数的有界性定理和函数间断点概念的深入理解，而且启发学生用科学的思维方式判断命题的真伪，防止感性认识造成知识的负迁移.

3.注重证伪，培养学生思维的灵活性和深刻性

《数学分析》中要做好数学思维的逻辑演绎训练，大量的数学命题的证明是必不可少的.在讲授习题的过程中，引导学生大胆灵活假设各种求证方法，培养学生思维的灵活性.如著名的康托尔定理：若函数f在闭区间[a，b]上连续，则它在[a，b]上一致连续.为了强调定理中一些条件的重要性，也为了培养学生思维的灵活性，可以让学生通过举反例证一下伪命题：若函数f在开区间（a，b）上连续，则它在（a，b）上一致连续.通过提示此时f在开区间（a，b）的两个端点处连续性遭到破坏.那么，为了构造反例，学生就会想到寻找在（a，b）上连续，却在一个端点处不连续的函数，或在端点为无穷间断点的函数，会进一步想到函数f（x）=1/x，x∈（0，1）.再进一步通过定义验证出此函数的确为此伪命题的反例.为了培养学生思维的深刻性，那可以再追问学生一个问题：此伪命题再附加什么条件后就能成为真命题吗？此时，学生受刚才老师的启发，会发现能构造出反例，主要是依赖于函数在开区间的两个端点处的不连续性，那将此命题修正为真命题的方法自然是增加函数f在左端点的右连续性及在右端点的左连续性，从而进一步得到函数f在（a，b）上的一致连续性.这样的练习可以使学生加深对康托定理的理解，也培养学生思维的灵活性和深刻性.让学生知道某些命题的证伪却能为下一步改正此命题提供突破口和思路.

结语

在《数学分析》的教学中通过反例证伪，可以使学生澄清对某些概念和性质的模糊认识，加深对命题成立条件的认识，克服对数学知识理解的偏差及负迁移.在引导学生证伪的过程中，通过合理创设问题情境，也可以很好地培养学生思维的缜密性、发散性、灵活性和深刻性[2].另外，也应注意到，《数学分析》的教学仍以证实为主，以基本概念、基本方法和基本定理为主线，严格地证实为主，证伪教学只是一种辅助手段.教师应该精心挑选，掌握好伪命题的难度，切忌让学生构造技术难度较大的反例，以免浪费不必要的教学时间和精力，让学生产生挫败感.

参考文献：

[1]沈春芳.浅谈《数学分析》教学中的反例[J].合肥师范学院学报，2010，28（3）：21-22.

[2]陈思.运用反例教学培养学生创新思维[J].青海师专学报（教育科学），2005（5-6）：136-137.

基金号：国家自然科学基金（No.11161044）。endprint