化归思想在中学数学中的作用

丁亚辉

[内容摘要]化归是转化和归纳的简称。化归不仅是一种重要的解题思想，也是一种重要的策略。所谓的化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而达到解决的一种方法。

[关键词]化归；数学素质；解题思想

化归是转化和归纳的简称，最早由匈牙利数学家罗沙？彼特提出来的。罗沙？彼特曾经问了这样一个问题：“假如在你面前有煤气灶、水龙头、水壶和火柴，现在的任务是要烧水，你应当怎样去做？”答案是：“在水壶中放上水，点燃煤气，再把水壶放到煤气灶上。”罗沙又问：“假如其它条件都不变，只是水壶中已有足够的水，这时你应该怎么做？”对此，人们往往回答说：“点燃煤气，再把水壶放在煤气灶上。”但是，罗沙认为这不是最好的回答。因为，“只有物理学家才会这样做，而数学家则会倒去水壶中的水，并且声称我已经把后一个问题化归为先前的问题了。”

“把水倒掉！”的比喻有点夸张，但它的确表明了数学家思考与解决问题的一个特点：化归，即将已知问题化成以前已经会的问题。在化归思想方法指导下，我们常常将不熟悉和难解决的问题转化为熟知的、易知的、易解的或已经解决的问题；将抽象的问题转化为具体的、直观的问题；将复杂的问题转化为简单的问题；将一般性的问题转化为直观的、特殊的问题；将实际问题转化为数学问题，使问题得以解决。

化归在数学解题中几乎无处不在，如未知向已知转化，复杂问题向简单问题转化，新知识向旧知识的转化，命题之间的转化，数与形的转化，空间向平面的转化，高维向低维转化，多元向一元转化，高次向低次转化，超越式向代数式的转化，函数与方程的转化等，都是转化思想的体现。化归的基本功能是：陌生的化成熟悉的，复杂的化成简单的，抽象的化成直观的，不会的化成会的。说到底，化归的实质就是以运动变化发展的观点，以及事物之间相互联系、相互制约的观点看待问题，善于对所要解决的问题进行变换转化，使问题得以解决。实现这种转化的方法有：高次的转化为低次，多元的转化为一元，空间的的转换为平面，配方法，整体代人法以及化动为静，由抽象到具体等转化思想，这也是辩证唯物主义的基本观点。

例1 ：鸡兔同笼。笼中有头40，有足140，问鸡、兔各有几只？

分析：化归的实质是不断变更问题，这里可以先对已知成分进行变形。每只鸡有2只脚，每只兔有4只脚，这是问题中不言而喻的已知成分。现在对问题中的已知成分进行变形：“一声令下”，要求每只鸡悬起一只脚（呈金鸡独立状），又要求每只兔悬起两只前脚（呈玉兔拜月状）。那么，笼中仍有头40，而脚只剩下70只了，并且，这时鸡的头数与足数相等，而兔的足数与兔的头数不等。有一只兔，就多出一只脚，现在有头40，有足70，这就说明有兔30只，有鸡10只。

化归思想教学在中学数学教材中体现得较为宽广。数学中可以实现化归的方法很多，会解一元一次方程以后再解二元一次方程组的时候，只需消元把二元化为一元；掌握了三角形内角和是180°以后，要求多边形内角和只需把多边形分割成三角形就可以了；空间两条异面直线所成的角，只须通过作平行线转化成大家所熟悉的两相交直线所成的角。又如复杂的三角函数的最值问题有时也可以通过换元转化为熟悉的二次函数最值问题，再如还可以用三角法解决几何量的最值问题。

化归不仅是一种重要的解题思想，也是一种最基本的策略。在生活中，我们面对一座郁郁葱葱长满树木的高山，通往山顶的道路有很多，而我们熟悉的只有一条，这时候把你放在半山腰处，向上有几条未知的道路，而向下有一条直通山底的道路，这时你的目标是到达山顶，你应该怎么办？我们常常有很多种选择，有的人为了省力、省时，向上走去，有些人可以到达山顶，也有些人到不了山顶。有的人为了保险，回到山底，从我们熟悉的道路到达山顶，化归思想为我们提供了比较稳妥的上山策略。

铭刻于头脑中的数学精神、数学思维方法和研究方法就是数学素质。数学作为各门科学的重要基础， 作为人类文明的重要支柱，在很多领域中起着关键性的作用。当今社会， 运用数学已成为每一个公民应具备的素质。随着社会信息反馈的不断深入， 出现用概率统计方式播报的天气预报、用图表表示的工作速度、用正态分布图表示的生产工艺水平等。作为数学教师， 既要熟悉数学内部的系统结构、知识之间的联系， 以及数学知识的背景、地位、作用和蕴含的数学文化，也要精通数学的基础理论知识，加深对数学教材的认识，提高分析教材的能力。还应该具备高一级的数学知识，了解与数学知识有关的扩展内容、数学思想和方法， 拓宽知识领域， 丰富自己的知识储备， 有比较开阔的数学视野，这样才能在教学中以发展的眼光设计自己的课堂教学，避免犯科学性错误。

化归思想是中学数学解题的重要思想方法，但并非万能的方法，即并不是所有的问题都可以通过化归而得到解决的。化归思想的成功应用是以“数学发现”为前提的。数学教师不能只停留在化归的分析，而必须有创新的精神，不断地进行新的研究，在研究中获得新的方法和理论。

参考文献：

[1]张雄，李得虎.数学方法论与解题研究[M].高等教育出版社，2003，（08）.

[2]陈鼎兴.数学思维与方法[M].东南大学出版社，2003，（10）.

[3]郜舒竹.数学教学基础[M].教育科学出版社，2007，（03）.

（责任编辑 史玉英）