强序半群的伴随KS－代数

杨闻起

（宝鸡文理学院数学系，陕西 宝鸡 721013）

1 预备知识

定义1［1］设S是一个半群，S上有偏序≤，如果∀a，b，c∈S，有

则称S是序半群.如果序半群S还满足左、右消去律：

则称序半群S是强序的.设S是序半群，∅≠A⊆S.如果：

则称A是序半群S的理想.

1966年，日本数学家K.Iséki以逻辑运算和集合的差运算为背景，引入了BCK－代数和BCI－代数，文献［2］将其定义简化.

定义2［2］设集X 上有运算＊及常元0，∀x，y，z∈X.如果：

则称X是一个BCI－代数，记为（X，＊，0），简记为X.如果BCI－代数X还满足

则称X是BCK－代数.

在BCK（BCI）－代数X中规定：x≤′y⇔x＊y＝0，那么≤′是X 上的偏序，叫做X的自然偏序，且0为该偏序的最小元（极小元）.

引理1［2］设BCK－代数（X，＊，0）的自然偏序为≤′，那么∀x，y，z∈X.有：

（6）0≤′x，即0为该偏序的最小元.

1993年，韩国数学家田英培（Young Bae Jun）等通过在BCK（BCI）－代数上再赋予半群结构，又建立了BCK（BCI）－半群，后来称为 KS－代数（IS－代数）.文献［3］系统论述了 KS（IS）－代数理论，文献［4－5］则给出了IS－代数与半环的关系.

定义3［3］设X是非空集合，它带有两种二元运算＊和·及一个常元0.如果：

（1）（X，＊，0）是BCK（BCI）－代数；

（2）（X，·）是半群；

（3）·对＊的左、右分配律成立，即∀x，y，z∈X，有

则称X 关于这两种运算和常元0是一个BCK（BCI）－半群，也简称为 KS－代数（IS－代数），记为（X，＊，·，0），在不致混淆时，简记为X.为了书写方便，还把x·y简记为xy.另外，把BCK－代数（X，＊，0）的自然偏序≤′也叫做KS－代数的自然偏序.

设A是KS－代数（X，＊，·，0）中的非空子集.如果：

（1）∀x∈X，∀a∈A，有xa，ax∈A；

（2）∀x∈X，∀a∈A，由x＊a∈A可推出x∈A.称A是X的I－理想，简称为理想.

显然，KS（IS）－代数（X，＊，·，0）的非空子集A是它的理想当且仅当A 是半群（X，·）的理想且是BCK－代数（X，＊，0）的理想.

引理2［3］在 KS（IS）－代数X 中，≤′是其中的自然偏序，∀x，y，x∈X，有：

（1）0x＝x0＝0；

（2）如果x≤′y，那么zx≤′zy，xz≤′yz.

由引理2知，X关于偏序≤′必是一个以0为最小元（极小元）的序半群，称之为KS－代数的自然序半群.另外，设A是KS－代数（X，＊，·，0）的理想，任取a∈A，则0＝0a∈A，故KS－代数的任意理想都包含0.

偏序集与半群的交融形成了序半群，BCK－代数与半群的交融形成了KS－代数，本文试图讨论序半群与KS－代数的关系.

2 概念和基本性质

那么，（X，＊，·，0）必是一个 KS－代数.

证明 首先，我们证明（X，＊，0）是BCK－代数.任取x∈X，如果0≤x，则0＊x＝0；如果0≤/x，由（1）式也有0＊x＝0.总之，∀x∈X，都有0＊x＝0.下面只需验证（X，＊，0）是BCI－代数.

（1）如果x≤0，由于0为极小元，故x＝0，从而x＊0＝0＝x；如果x≤/0，则x＊0＝x.总之∀x∈X，有x＊0＝x.

（2）再任取y，z∈X，如果x≤y，则x＊y＝0，又由于0＊（x＊z）＝0，故得

如果x≤/y，但x≤z，则z≤/y，从而x＊y＝x，x＊z＝0，z＊y＝z，有

如果x≤/y，且x≤/z，即x＊y＝x，x＊z＝x，有

所以，∀x，y，z∈X，都有（（x＊y）＊（x＊z））＊（z＊y）＝0.

（3）如果x＊y＝y＊x＝0，则x≤y或x＝0，且y≤x或y＝0；如果x≤y且y≤x，由于“≤”为偏序，

本文将以0为极小元的序半群记为（X，≤，·，0）.

定理1 在强序半群（X，≤，·，0）中，定义运算＊：故x＝y.如果x≤y，y＝0，由于0是极小元，故x＝0＝y.如果x＝0，y≤x，即y≤0，但0为极小元，故y＝0＝x.如果x＝0，y＝0，显然x＝y.所以，只要x＊y＝y＊x＝0，就有x＝y.所以（X，＊，0）必是BCK－代数.

其次，我们证明分配律成立.∀x，y，z∈X，有：

（1）如果y≤z，即y＊z＝0，则xy≤xz，故x（y＊z）＝x0＝0，（xy）＊（xz）＝0，从而x（y＊z）＝（xy）＊（xz）.

（2）如果y≤/z，则y＊z＝y，即x（y＊z）＝xy.又由于≤是一个强序，从而xy≤/xz，故（xy）＊（xz）＝xy，则x（y＊z）＝（xy）＊（xz）.同理可得（y＊z）x＝（yx）＊（zx），故（X，＊，·，0）必是一个 KS－代数.

定义4 设（X，≤，·，0）是以0为极小元的强序半群，把按照（1）式给出运算＊而得的KS－代数（X，＊，·，0）叫做该强序半群的伴随 KS－代数，记为（X，＊，·，0）.

由于BCK－代数（X，＊，0）的自然偏序≤′为x≤′y⇔x＊y＝0，故两个偏序≤，≤′显然不同，它们之间的关系如下：

定理2 设强序半群（X，≤，·，0）的伴随 KS－代数（X，＊，·，0）的自然偏序为≤′，∀x，y∈X，x≤′y当且仅当x≤y或者x＝0.

定理3 设（X，≤，·，0）是以0为最小元的强序半群，则它的伴随KS－代数的（X，＊，·，0）的自然偏序与序半群的偏序一致.

证明 设KS－代数（X，＊，·，0）的自然偏序为≤′，∀x，y∈X，设x≤y，由定理2知，x≤′y.反过来，设x≤′y，由定理2知，x≤y或者x＝0，而当x＝0时，由于0为最小元，故0≤y，总之都有x≤y，从而两个偏序≤，≤′相同.

文献［1］和文献［3］分别给出了序半群同构和KS－同构的概念：设f是由序半群（X，≤，·，0）到（X′，≤′，·′，0′）的双射，如果f既保持乘法又保持偏序，称f是由（X，≤，·，0）到（X′，≤′，·′，0′）的序半群同构映射；如果有一个双射f，使f和f－1都是同构映射，称（X，≤，·，0）与（X′，≤′，·′，0′）是序半群同构.

如果存在 KS－代数（X，＊，·，0）到（X，＊′，·′，0′）的双射f，使得∀x，y∈X，有

称（X，＊，·，0）与（X，＊′，·′，0′）是 KS－同构.

定理4 设以0为最小元的强序半群（X，≤，·，0）的伴随KS－代数为（X，＊，·，0），以0′为最小元的强序半群（X′，≤′，·′，0′）的伴随 KS－代数为（X，＊′，·′，0′），那么，序半群（X，≤，·，0）与（X′，≤′，·′，0′）是序半群同构当且仅当（X，＊，·，0）与（X，＊′，·′，0′）是 KS－同构.

证明 设f是序半群（X，≤，·，0）到（X′，≤′，·′，0′）的序半群同构映射，由于0，0′都是最小元，故f（0）＝0′.∀x，y∈X，首先f（x·y）＝f（x）·′f（y），其次有：

（1）如果x≤y，从而f（x）≤′f（y），即x＊y＝0，f（x）＊′f（y）＝0′，故有

（2）如果x≤/y，从而f（x）≤/′f（y），故x＊y＝x，f（x）＊′f（y）＝f（x），则f（x＊y）＝f（x）＝f（x）＊′f（y），故f是（X，＊，·，0）与（X，＊′，·′，0′）的 KS－同构映射.

设f是（X，＊，·，0）与（X，＊′，·′，0′）的 KS－同构映射，则有f（0）＝0′.设x≤y，则x＊y＝0，故f（x）＊′f（y）＝f（x＊y）＝0′.则f（x）≤′f（y），或者f（x）＝0′，如果f（x）＝0′，由于0′为最小元，故也有f（x）≤′f（y），从而f是保序的.同理，f－1也保序.又由于f（x·y）＝f（x）·′f（y），故（X，≤，·，0）与序半群同构.

定理5 设强序半群（X，≤，·，0）的伴随 KS－代数为（X，＊，·，0），则∀x，y，z∈X，有

证明 如果x≤y，那么（x＊y）＊y＝0＊y＝0＝x＊y.如果x≤/y，那么

又由于y＊z≤′y，故

3 强序半群及其伴随KS－代数的理想

定理6 设强序半群（X，≤，·，0）的伴随KS－代数为（X，＊，·，0），I是X 的非空子集，那么I是强序半群（X，≤，·，0）的理想当且仅当I是伴随 KS－代数（X，＊，·，0）的理想.

证明 如果I是KS－代数（X，＊，·，0）的理想，设x≤y，且y∈I，则x＊y＝0∈I，从而x∈I，又由于∀x∈X，∀a∈I，有ax，xa∈I，故I是强序半群（X，≤，·，0）的理想.反过来，如果I是强序半群（X，≤，·，0）的理想，设x＊y，y∈I，若x≤y，则x∈I；若x≤/y，则x＝x＊y∈I，又由于∀x∈X，∀a∈I，有ax，xa∈I，故I是 KS－代数（X，＊，·，0）的理想.

定理7 设强序半群（X，≤，·，0）的伴随 KS－代数为（X，＊，·，0），I是半群（X，·）的理想，那么，I是强序半群（X，≤，·，0）的理想当且仅当由（x＊y）＊z∈I，y＊z∈I可推出x＊z∈I.

证明 设I是强序半群（X，≤，·，0）的理想，由定理6知，I必是KS－代数（X，＊，·，0）的理想，设（x＊y）＊z∈I，y＊z∈I，由定理5知，（x＊z）＊（y＊z）＝（x＊y）＊z∈I，由于y＊z∈I，故x＊z∈I.

反过来，设x≤y∈I，则（x＊y）＊0＝x＊y＝0∈I，但是y＊0＝y∈I，故x＝x＊0∈I，所以I是强序半群（X，≤，·，0）的理想.

［1］谢祥云.序半群引论［M］.北京：科学出版社，2001：5－9.

［2］HUANG YISHENG.BCI－algebra［M］.Beijing：Science Press，2006：11－33.

［3］杨闻起.BCI－代数与半群［M］.北京：科学出版社，2011：108－127.

［4］杨闻起.IS－代数的伴随半环［J］.东北师大学报：自然科学版，2012，44（3）：46－51.

［5］杨闻起.IS－代数的伴侣半环［J］.山东大学学报：理学版，2011，46（12）：66－69.