回到数学原点 澄清知识本质

胡晓敏(执教)+任敏龙(点评)

【教学内容】

人教版教材五年级下册 “２，５的倍数特征”，Ｐ１７－Ｐ１８

【教学目标】

１．让学生经历“举例—猜想—检验—说理”探索２的倍数特征的过程，总结方法用以探索５的倍数特征，为进一步探索其他数的倍数特征做好学法准备。

２．让学生经历从“数的倍数特征与各个数位上数字有关”到“２、５的倍数特征只与数的个位数字有关”的探索过程，为今后探索其他数的倍数特征做好思路铺垫。

３．让学生体会论证的力量，感受数学知识之间的广泛联系，掌握２、５的倍数特征，能解决简单的问题，进而理解同时为２、５倍数的数的特征。

【教学过程】

一、谈话引入

师：上一节课我们已经学习了“因数和倍数”，这节课我们来学习有关“２和５的倍数”的知识。先来研究２的倍数有什么特征。

二、展开探究

１．举例归纳，形成猜想

师：请同学们写出一些２的倍数。（学生边说教师边板书）观察这些数，它们有什么共同的特征？

生１：个位上的数字都是０，２，４，６，８。

生２：个位上的数字都是２的倍数。

师：你们的意思是个位上是０，２，４，６，８的数都是２的倍数？（板书：猜想“个位上是０，２，４，６，８的数都是２的倍数”）

２．检验猜想，丰富例证

师：刚才大家列举的数都比较小，如果是四位数或更大的数，是不是也必须符合这样的条件呢？下面，就请同学们写出一些个位是０，２，４，６，８的四位数或者更大的数，然后用计算器算一算，它们到底还是不是２的倍数？

（学生举例验证，汇报：都是２的倍数）

师：有没有同学写出的数个位是０，２，４，６，８的，但又不是２的倍数的？（学生面面相觑，表示没有找到这样的数）

师：看来，确实很有可能凡是个位数字是０，２，４，６，８的数就是２的倍数。那么，是不是２的倍数的个位数字必须是０，２，４，６，８呢？举例试试看。（板书：猜想“２的倍数的个位数是０，２，４，６，８”）

（学生举出个位数字不是０，２，４，６，８的数，即个位数字是１，３，５，７，９的数，经检验都不是２的倍数）

师生（小结）：经检验，个位数字是０，２，４，６，８的数是２的倍数；２的倍数的个位数是０，２，４，６，８。

【评析：２的倍数特征实际上是一个含有充要条件的命题，一方面“个位上的数字是０，２，４，６，８的数是２的倍数”，另一方面“２的倍数的个位数字是０，２，４，６，８”，前者需要举的例子是个位上的数字是０，２，４，６，８的数，后者要举的例子是个位上的数字不是０，２，４，６，８（即１，３，５，７，９）的数都不是２的倍数，这当中的逻辑严谨性往往是容易被我们忽视的。因此，尽管学习的经历已经让学生累积了一些２的倍数特征的感性经验，教学还是选择了让学生完整经历举例、猜想、验证的过程，在让学生有更加充分的时间梳理已有知识经验的同时，感受数学推理的完整性和严密性。】

３．聚焦数位，说理论证

师：要证明这两个猜想是否正确，一种办法是对所有的数进行验证，这显然是不可能的。有没有其他的办法能一劳永逸地证明２的倍数只与个位数字有关，与其他数位上的数字无关呢？（停顿片刻）按理来说能否成为一个数的倍数应该与这个数的各个数位上的数字有关，而不仅仅是个位数字。这是怎么回事呢？（停顿片刻）我们能不能把一个具体的数拆成由各个数位上的数组成的数，比如，３２４＝３００＋２０＋４（板书），看看里面到底藏着怎样的 “２的倍数的秘密”？请大家按下面要求，先独立思考，再小组交流：（１）举例：每个小组选择５个或以上的数（含几个不是２的倍数）；（２）分析：拆成“各个数位上数之和”的形式，２的倍数与和中的哪些数有关？（３）讨论：为什么２的倍数特征，只要看这些数的个位数字？

学生小组汇报情况如下。

小组１：２３４＝２００＋３０＋４，５７＝５０＋７，５３６８＝５０００＋３００＋６０＋８，１３７＝１００＋３０＋７，９９９＝９００＋９０＋９，除了个位数外，其余数位上的数字所代表的数的个位都是０，已经是２的倍数，所以只要看个位就可以了。

小组２：３３＝３×１０＋３，１５７＝１５×１０＋７，７６５４＝７６５×１０＋４，２５８＝２５×１０＋８，８５４６＝８５４×１０＋６，这些数可以表示成□×１０＋□的形式，□×１０肯定是２的倍数，所以只要看个位就可以判断了。

小组３：所有的数都能拆成“……＋□×１０００＋□×１００＋□×１０＋□”的形式，除了个位外，其他的数位上数字所代表的数都已经是２的倍数了，所以，判断一个数是不是２的倍数，只要看这个数的个位数字是不是２的倍数。

……

师（小结）：通过刚才的交流、讨论，我们知道了一个数是不是另一个数的倍数，实际上跟这个数的每一位上的数字有关，对于２来说，个位前面的那些数字所代表的数都已经是２的倍数，所以判断一个数是不是２的倍数只要看个位数字是不是２的倍数，如果个位数字是２的倍数，那么，这个数就是２的倍数。反过来说，如果一个数是２的倍数，则这个数的个位数字必须是２的倍数。

【评析：归纳推理（不指数学归纳法）属合情推理，通常有助于形成猜想，却往往不能保证结论正确。保证结论的正确需要演绎推理。通常认为，“不完全归纳”是小学生学习数学法则、规律的主要方式，教材关于２、５、３的倍数特征中的教学也作了这样的安排。先学２、５的倍数特征给了学生研究数的倍数特征先看个位的印象，待学习３的特征时，学生很自然就去看个位，虽然很快发现这个方法行不通，但又不知进一步的研究从何而入，教师也不知道接下来究竟该怎么办，只好挖好“陷阱”让学生往“与各个数位上的数字有关”里跳，这基本上就是在“已知事实”暗示下进行的“伪归纳”。最后，学生不知道２、５的倍数为什么看个位，３的倍数为什么要看各个数位，只能记住而已。这就需要回到数学的原点思考解决问题的方法。事实上，研究一个数的倍数特征，正常的思维是先全面考察这个数各个数位上的数字（基于位值原则的拆数是一个重要的视角），再从中找出规律（如果学生有兴趣探究“４、８、２５”的特征，则更应如此），这就为后续的探索研究作了知识和思路的铺垫，进而帮助学生澄清知识本质。本课通过“为什么只要看这些数的个位数字”的问题引发留有恰当停顿的连续提问，引导学生尝试将数进行逐位拆分，通过观察、比较发现：所有的自然数都能表示成“……□×１００＋□×１０＋□”的形式，进而证明结论的正确性。】

４．基本练习，体会优越

教师多媒体出示：下面各数中，哪些是２的倍数？

３３９８３５５９８４０１２３３６７８

８０８９１０００６５５５６５６８８１

让学生体会直接利用特征判断的优越性。

三、学法迁移

１．提出问题，小结学法

师：掌握倍数的特征能帮助我们快速地解决问题。接下来“５的倍数特征”该怎么研究呢？（停顿）我们是不是先来总结一下研究“２的倍数特征”的方法？

生：先举例，再形成猜想，再举例验证，最后拆数说明为什么与个位数字有关的道理。

师（板书：举例—猜想—检验—说理）：下面我们就尝试用这种方法来研究“５的倍数特征”。

２．学法迁移，探索新知

学习要求：（１）举例、猜想、验证，归纳出５的倍数特征；（２）说理：为什么有这样的特征？（３）小组交流，并准备汇报。

小组汇报情况如下。

生１：我们发现５的倍数特征就是个位数字是０或５的数。因为除个位之外，其他数字所代表的数都已经是１０的倍数，也就是５的倍数，所以，只要看个位就行了。

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生２：我们认为个位是０或５的数，就一定是５的倍数。所有的数都能拆成“……＋□×１０００＋□×１００＋□×１０＋□”的形式，因为十位、百位、千位上的数字所代表的数都已经是１０的倍数，即５的倍数，所以只要判断个位就可以了。

……

【评析：从归纳到演绎，这是数学发现的一般规律。这一环节，在小结“２的倍数特征”研究方法的基础上，进行迁移应用——用这种方法来研究５的倍数特征，巩固了学法，为后续探究其他数的倍数特征奠定了基础。】

四、巩固提高

１．及时巩固，适当拓展

呈现问题：将下面的数按要求填在相应的圈内。

２４、３５、６７、９０、９９、１５６０、６０、７５、１０６、１３０、５２１、２

■

师：这两个交叉圆圈分别表示什么意思？

生１：左边的区域是填２的倍数，右边的区域是填５的倍数，中间交叉区域填的既是２的倍数，又是５的倍数。

师：观察这些既是２的倍数，又是５的倍数的数，你们又有什么发现？

生２：个位是０的数既是２的倍数，又是５的倍数。

师：为什么？

生２：２的倍数个位数字是０，２，４，６，８；５的倍数的个位数字是０和５，那么，既是２的倍数，又是５的倍数的数个位数字只能是０。

（板书：画两个交叉圆，一个表示２的倍数特征，一个表示５的倍数特征，填入相应的个位数字）

生３：一个数既是２的倍数，又是５的倍数，就一定是１０的倍数，１０的倍数个位上必须是０。

师：很好，像这些个位是０，２，４，６，８的数，也就是２的倍数的数又叫做偶数；个位是１，３，５，７，９的数，也就是说不是２的倍数的数又叫做奇数。（板书：偶数、奇数）

２．综合应用，培养能力

问题：把□□□４、３□５、３１□也填入上图的区域中。

生４：□□□４，无论□填什么数都是２的倍数，因为只要个位是０、２、４、６、８的数，一定都是２的倍数。

师：那么３□５又应该放到哪个区域呢？为什么？

生４：３□５因为个位是５，所以一定是５的倍数。

师：３１□呢？

生５：如果３１□的□里写０、２、４、６、８，那就是２的倍数，如果□里写０或５就是５的倍数。

生６：我来补充，如果３１□的□写０，那就是３１０，这个数既是２的倍数，也是５的倍数，填在中间这个区域。

【评析：练习的第１题起到了及时强化２和５倍数特征的作用，并适时引入了“偶数和奇数”的概念，同时还巧妙地利用维恩图的表示功能，形象直观地揭示了同时是２和５的倍数的特征，学生再次经历现象归纳、演绎说理的过程。第２题则是第１题的深化，借助三个“不确定”的数，培养学生在干扰的情境中正确使用概念和解决问题的能力，增添学习乐趣。】

五、小结质疑（略）

（责编金铃）

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生２：我们认为个位是０或５的数，就一定是５的倍数。所有的数都能拆成“……＋□×１０００＋□×１００＋□×１０＋□”的形式，因为十位、百位、千位上的数字所代表的数都已经是１０的倍数，即５的倍数，所以只要判断个位就可以了。

……

【评析：从归纳到演绎，这是数学发现的一般规律。这一环节，在小结“２的倍数特征”研究方法的基础上，进行迁移应用——用这种方法来研究５的倍数特征，巩固了学法，为后续探究其他数的倍数特征奠定了基础。】

四、巩固提高

１．及时巩固，适当拓展

呈现问题：将下面的数按要求填在相应的圈内。

２４、３５、６７、９０、９９、１５６０、６０、７５、１０６、１３０、５２１、２

■

师：这两个交叉圆圈分别表示什么意思？

生１：左边的区域是填２的倍数，右边的区域是填５的倍数，中间交叉区域填的既是２的倍数，又是５的倍数。

师：观察这些既是２的倍数，又是５的倍数的数，你们又有什么发现？

生２：个位是０的数既是２的倍数，又是５的倍数。

师：为什么？

生２：２的倍数个位数字是０，２，４，６，８；５的倍数的个位数字是０和５，那么，既是２的倍数，又是５的倍数的数个位数字只能是０。

（板书：画两个交叉圆，一个表示２的倍数特征，一个表示５的倍数特征，填入相应的个位数字）

生３：一个数既是２的倍数，又是５的倍数，就一定是１０的倍数，１０的倍数个位上必须是０。

师：很好，像这些个位是０，２，４，６，８的数，也就是２的倍数的数又叫做偶数；个位是１，３，５，７，９的数，也就是说不是２的倍数的数又叫做奇数。（板书：偶数、奇数）

２．综合应用，培养能力

问题：把□□□４、３□５、３１□也填入上图的区域中。

生４：□□□４，无论□填什么数都是２的倍数，因为只要个位是０、２、４、６、８的数，一定都是２的倍数。

师：那么３□５又应该放到哪个区域呢？为什么？

生４：３□５因为个位是５，所以一定是５的倍数。

师：３１□呢？

生５：如果３１□的□里写０、２、４、６、８，那就是２的倍数，如果□里写０或５就是５的倍数。

生６：我来补充，如果３１□的□写０，那就是３１０，这个数既是２的倍数，也是５的倍数，填在中间这个区域。

【评析：练习的第１题起到了及时强化２和５倍数特征的作用，并适时引入了“偶数和奇数”的概念，同时还巧妙地利用维恩图的表示功能，形象直观地揭示了同时是２和５的倍数的特征，学生再次经历现象归纳、演绎说理的过程。第２题则是第１题的深化，借助三个“不确定”的数，培养学生在干扰的情境中正确使用概念和解决问题的能力，增添学习乐趣。】

五、小结质疑（略）

（责编金铃）

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生２：我们认为个位是０或５的数，就一定是５的倍数。所有的数都能拆成“……＋□×１０００＋□×１００＋□×１０＋□”的形式，因为十位、百位、千位上的数字所代表的数都已经是１０的倍数，即５的倍数，所以只要判断个位就可以了。

……

【评析：从归纳到演绎，这是数学发现的一般规律。这一环节，在小结“２的倍数特征”研究方法的基础上，进行迁移应用——用这种方法来研究５的倍数特征，巩固了学法，为后续探究其他数的倍数特征奠定了基础。】

四、巩固提高

１．及时巩固，适当拓展

呈现问题：将下面的数按要求填在相应的圈内。

２４、３５、６７、９０、９９、１５６０、６０、７５、１０６、１３０、５２１、２

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师：这两个交叉圆圈分别表示什么意思？

生１：左边的区域是填２的倍数，右边的区域是填５的倍数，中间交叉区域填的既是２的倍数，又是５的倍数。

师：观察这些既是２的倍数，又是５的倍数的数，你们又有什么发现？

生２：个位是０的数既是２的倍数，又是５的倍数。

师：为什么？

生２：２的倍数个位数字是０，２，４，６，８；５的倍数的个位数字是０和５，那么，既是２的倍数，又是５的倍数的数个位数字只能是０。

（板书：画两个交叉圆，一个表示２的倍数特征，一个表示５的倍数特征，填入相应的个位数字）

生３：一个数既是２的倍数，又是５的倍数，就一定是１０的倍数，１０的倍数个位上必须是０。

师：很好，像这些个位是０，２，４，６，８的数，也就是２的倍数的数又叫做偶数；个位是１，３，５，７，９的数，也就是说不是２的倍数的数又叫做奇数。（板书：偶数、奇数）

２．综合应用，培养能力

问题：把□□□４、３□５、３１□也填入上图的区域中。

生４：□□□４，无论□填什么数都是２的倍数，因为只要个位是０、２、４、６、８的数，一定都是２的倍数。

师：那么３□５又应该放到哪个区域呢？为什么？

生４：３□５因为个位是５，所以一定是５的倍数。

师：３１□呢？

生５：如果３１□的□里写０、２、４、６、８，那就是２的倍数，如果□里写０或５就是５的倍数。

生６：我来补充，如果３１□的□写０，那就是３１０，这个数既是２的倍数，也是５的倍数，填在中间这个区域。

【评析：练习的第１题起到了及时强化２和５倍数特征的作用，并适时引入了“偶数和奇数”的概念，同时还巧妙地利用维恩图的表示功能，形象直观地揭示了同时是２和５的倍数的特征，学生再次经历现象归纳、演绎说理的过程。第２题则是第１题的深化，借助三个“不确定”的数，培养学生在干扰的情境中正确使用概念和解决问题的能力，增添学习乐趣。】

五、小结质疑（略）

（责编金铃）

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