微动结合部的一次加载过程

田红亮, 赵春华, 方子帆, 刘芙蓉, 朱大林

(三峡大学 机械与动力学院，湖北 宜昌 443002)

辨识微动结合部法向接触刚度的解析法离不开经典的赫兹弹性理论[1-7]、GW接触模型[8]、MB分形模型[9]、WK分形理论[10-12]、YK分形分析[13]五套成熟理论的基础性支持。机械结合部法向接触刚度分形模型[14 -18]存在3个共同缺陷：① 推导微凸体顶端曲率半径R的计算原理存在不足，起始频率指数n1=1在如下点点不可微的WM分形函数

(1)

中对应的一项是

(2)

然后按照曲率半径的下列计算公式求解微凸体顶端的曲率半径

(3)

式(3)的正确表达式[19]应改为

(4)

再按照文献[9]的式(4)得

(5)

故MB分形模型[9]依旧沿用欧几里得的《几何原本》[20]，且式(5)与经典赫兹弹性公式[6-7]πRδ=a之间有倍数π的误差。② 推导法向接触刚度的方法不通用。③ 假设粗糙表面的微观形貌各向同性[21-23]。

本文按照刻画各向异性分形表面特征的带随机相位Ausloos-Berman函数，仿真两个接触表面不同纹理方向的轮廓，根据赫兹弹性理论反求分形表面微凸体顶端曲率半径，应用表面微凸体承担法向压强的光滑性和连续性原理，修正临界变形量和临界弹性变形微接触截面积，建立微动结合部整体法向总接触载荷、法向接触刚度的理论模型。

1 各向异性分形几何理论

1.1 弹性变形时单个微凸体承担的法向接触载荷

AB函数为

(6)

式中:γ为分形粗糙面尺度因子;M为构造表面重叠隆起部的个数;Am为控制表面几何各向异性的量值;j为虚数单位;k0为分形粗糙表面空间波数;n为频率指数;ρ为极径;θ为极角;αm为在方位角的方向偏置隆起部的任意角度;φm,n为在区间[0，2π]内生成均匀分布的M×(nmax+1)维随机相位矩阵的任一元素;D为表面轮廓分形维数。

式(6)的实部即为表面轮廓的高度

(7)

式(7)中的未知参数可具体化[13]

(8)

(9)

Am=(2π)2-DGD-1

(10)

(11)

(12)

式中:G为分形粗糙度;L为取样长度。

将式(8) ～ (12)代入式(7)得

(13)

在实际工程中表面轮廓的评定长度为有限值，式(13)中的频率指数n有上下限，故

(14)

其中

(15)

式中:nmax为频率指数上限;int为对数值向负无穷大方向取整。

式(14)不同于文献[30]的式(1)，由于随机相位φm,n的作用，式(14)能刻画具有不同纹理方向的三维表面形貌，不同纹理是各向异性的一个特征。各方向的比例因子不为常数是各向异性的另一个特征，这涉及到赫兹接触区域是一个椭圆，如轧钢机械滚动轴承中椭圆离心率e未知，在知道两弹性体在接触点的主曲率的情况下，可以计算主曲率和、主曲率函数和椭圆离心率，实际工程中由赫兹接触区域为椭圆而引起比例因子不是1的各向异性是后续重点研究的内容，后文的式(30) ～ (32)涉及到这种各向异性。

当γ=1.5，L=0.61 μm，G=1.36×10-5μm，D=1.4，M=10和nmax=30时，式(14)模拟的各向异性三维表面形貌如图1所示。

图1 非稳态三维随机表面形貌

式(14)的初始极限为

(16)

设M=1，则m=1时，式(14)简化为

(17)

式(17)不依赖于y，可仿真图1中沿x轴方向的表面轮廓，以计算微凸体顶端的法向变形量。

当γ=1.5，L=0.61 μm，G=1.36×10-5μm，D=1.4和nmax=30时，式(17)模拟的各向异性二维表面形貌如图2所示。

图2 非稳态二维随机表面形貌

接触基波长微凸体相应的频率指数n0满足

(18)

式(18)在式(17)中对应的余弦差为

(19)

将φ1,n0=2π与x=3r′代入式(19)可得微凸体波峰值为

(20)

将x=2r′代入式(19)可得微凸体波谷值为

z0valley(x=2r′)=0

(21)

在图3中，半球体微凸体在法向接触载荷作用下，半球体微凸体与刚性光滑平面作相对运动，刚性光滑平面从经过点e的水平面运动到经过直线cd的水平面，x轴与直线cd平行，z轴与直线eo平行，半球体微凸体被压扁，其从波谷位置点e连续跃迁到波峰位置点c的增加量，即为单个微凸体顶端的法向变形量

δ=z0peak(φ1,n0=2π,x=3r′)-z0valley(x=2r′)=

(22)

式(22)可改写为

(23)

其中

a′=πr′2

(24)

式中:a′为单个微凸体微接触截面积

单个半球体微凸体与刚性光滑平面的弹性接触如图3所示，pe为单个微凸体承担的法向弹性接触载荷，R为单个微凸体顶端的曲率半径，r为单个微凸体实际微接触面积的半径。

图3 半球体微凸体与刚性光滑平面的弹性接触

在图3的直角三角形△ocd中，根据勾股定理得

(R-δ)2+r′2=R2

(25)

(26)

宏观母体几何尺寸R与单个微凸体顶端的细观变形量δ相比，很大，可假设2R≫δ，则存在近似等式

(27)

(28)

将式(23)代入式(28)可得微凸体曲率半径为

(29)

考虑x与y轴方向的比例因子不同，即假定赫兹接触区域是一个椭圆，椭圆的半长轴[6]为

(30)

其中

(31)

(32)

式中:E(e)为第二类完全椭圆积分;e为椭圆离心率;∑ρ为曲率和函数；E1，E2为硬质环、软质环材料弹性模量;μ1，μ2为硬质环、软质环材料泊松比;Rij为物体i在主平面j上的曲率半径，i,j=1,2。

(33)

式(33)即为在图3中单个微凸体实际微接触面积的赫兹圆形接触区域半径r

(34)

其中

(35)

由式(34)得

(36)

在图3中，单个微凸体承担的法向弹性接触载荷也能写成二元函数

(37)

二元函数式(37)不同于文献[9]的一元函数式(12)pe(δ)。

令式(36)和(37)相等得

r2=Rδ

(38)

将式(27)代入式(38)得

(39)

根据式(39)与(24)，单个微凸体处于弹性变形时，其实际微接触面积为

ae=πr2=0.5πr′2=0.5a′

(40)

将式(39)代入式(36)得

(41)

将式(24)代入式(41)得

(42)

将式(29)代入式(42)可得一元函数

(43)

1.2 完全塑性变形时单个微凸体承担的法向接触载荷

实际微接触面积为

a=πR(2δ-δc)

(44)

式中:δc为单个微凸体的临界变形量。

当2δ≫δc时，单个微凸体处于完全塑性变形时，其实际微接触面积为

afp=2πRδ

(45)

将式(39)代入式(24)得

a′=2πr2

(46)

将式(38)代入式(46)得

a′=2πRδ

(47)

凭借式(45)和(47)得

afp=a′

(48)

所以单个微凸体处于完全塑性变形时，单个微凸体承担的法向塑性接触载荷为

pp(a′)=Kσyafp=Kσya′

(49)

式中:K为硬度与屈服强度之比而成的相关因子;σy为较软材料的屈服强度。

式(49)不同于文献[17]的式(18)。

1.3 微动结合部承担的整体法向总接触载荷

微凸体对应的临界变形量为

(50)

式中:b为尚等待确定无量纲正系数。

将式(29)代入式(50)得

(51)

其中

(52)

式中:φ为屈服强度与综合弹性模量之比而成的材料性能参数。

式(23)与(51)之商为

(53)

令δ=δc，可得临界弹性变形微接触截面积为

(54)

将式(54)代入式(53)得

(55)

(56)

(57)

(58)

(59)

令式(57)与(59)相等，即

(60)

将式(54)代入式(60)得

(61)

将式(61)代入式(51)得

(62)

将式(61)代入式(54)得

(63)

当D=1.19，γ=1.5，G=1.36×10-11m，K=1和φ=0.23时，单个微凸体的变形情况如图4所示。

图4 微凸体变形区域分布

微接触截面积的概率分布密度[10]为

(64)

微动结合部的整体实际接触面积为

(65)

将式(40)和(64)代入式(65)得

(66)

微动结合部承担的整体法向总接触载荷为

(67)

将式(43)及(49)代入式(67)得

(68)

将式(64)代入式(68)得

式(69)不同于文献[28]的式(24)。

将下列2个关系式

(70)

(71)

代入式(66)和(69)分别得

(72)

P(Ar>Arc)=

(73)

其中

(74)

式中:Arc为实际临界接触面积。

依靠式(72)得

(75)

将式(75)代入式(73)得

P(Ar>Arc)=

式(76)的无量纲形式为

其中

(78)

(79)

(80)

(81)

式(77)不同于文献[28]的式(28)。

2 微动结合部整体法向刚度修正算法

2.1 文献[32]两微凸体间法向刚度的错误算法

根据式(37)得

(82)

2.2 两微凸体间法向刚度经典算法的缺陷

由式(37)得

(83)

将式(38)代入式(83)得

(84)

将式(40)代入式(84)得

(85)

将式(40)代入式(85)得

(86)

在一般情况下，下面不等式成立

(87)

2.3 两微凸体间法向刚度的合理算法

由式(23)得

(88)

将式(88)代入式(43)得

(89)

取E′=205 GPa，γ=1.5和G=1.36×10-5μm时，法向弹性载荷与法向变形量之间的加载曲线如图5所示。

图5 法向弹性载荷与法向变形量的关系

根据式(89)得

(90)

将式(23)代入式(90)可得两个微凸体之间互相影响的法向接触刚度为

(91)

式(91)不同于经典解式(86)。

若令式(91)与(86)相等得

(92)

D=0

(93)

式(93)明显不合理，再次证明经典解式(86)的求解原理是错误的。按照式(90)得

2.4 微动结合部整体法向弹性接触刚度

微动结合部整体法向总弹性接触刚度为

(95)

将式(91)代入式(95)得

将式(64)代入式(96)得

将式(70)及(71)代入式(97)得

Kn(Ar>Arc)=

将式(75)代入式(98)得

Kn(Ar>Arc)=

(99)

式(99)的无量纲形式为

(100)

各分形参数要满足下列不等式

(101)

图6 某两实践粗糙表面的实际接触情况=0.1)

3 实际接触面积影响因素分析

3.1 表面轮廓分形维数D对的影响

图7 表面轮廓分形维数D对接触率的影响曲线

3.2 无量纲分形粗糙度G*对的影响

3.3 无量纲法向载荷P*对的影响

图9 无量纲法向接触载荷P*对接触率的影响曲线

4 法向接触刚度影响因素分析

4.1 无量纲实际接触面积对的影响

图10 接触率对无量纲法向接触刚度的影响曲线

4.2 无量纲法向接触载荷P*对的影响

图11 无量纲法向接触载荷P*对无量纲法向接触刚度的影响曲线

4.3 表面轮廓分形维数D对的影响

图12 表面轮廓分形维数D对无量纲法向接触刚度的影响曲线

图13 表面轮廓分形维数D对无量纲法向接触刚度的影响曲线

图14 表面轮廓分形维数D对无量纲法向接触刚度的影响曲线

4.4 无量纲分形粗糙度G*对的影响

图15 无量纲分形粗糙度G*对无量纲法向接触刚度的影响曲线

4.5 相关因子K对的影响

图16 相关因子K对无量纲法向接触刚度的影响曲线

4.6 材料性能参数φ对的影响

图17 材料性能参数对无量纲法向接触刚度的影响曲线

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