竖向混合结构模态阻尼比计算研究

黄 维，钱 江，周 知

(同济大学 土木工程防灾国家重点实验室，上海 200092)

竖向混合结构由采用不同材料的子结构竖向串联组成，其沿竖向变化的抗侧刚度能较好的适应结构的变形需求。例如上海环球金融中心大厦内部的核心筒采用了竖向混合的方案，其79层以下核心筒为钢筋混凝土筒体，为减轻结构自重、增加延性，79层以上核心筒用内置钢框架的钢筋混凝土筒体，而在95层以上则改变为空间钢桁架筒体形式，如图1所示[1]。在这类结构中，上、下部分采用不同材料，各部分振动阻尼机理和特性不同，这使得整体结构的阻尼性能难以估计。当前的建筑抗震设计规范(GB50011-2010)[2]没有关于该类结构的分析建议，而工程师进行结构抗震设计时常采用两种简化方法：① 对上下部结构人为分开计算(如图2所示)，此方法忽略了结构的变形协调，理论和实验都证明存在缺陷；② 采用包络的思路进行结构设计，分别把结构当成钢结构和混凝土结构进行结构设计，然后求得一个折算的等效阻尼比，但其合理性有待进一步验证[3]。

图1 环球金融中心

图2 计算模型

对于采用两种或两种以上的不同材料串联组成的竖向混合结构，由于不同材料在结构的不同部分提供的能量损失机制差别很大，导致结构的整体阻尼矩阵为非比例阻尼矩阵。Clough等[4-5]基于Rayleigh模型从理论上构造了适合混合结构的阻尼矩阵，整体阻尼矩阵可由分块阻尼矩阵合成，各子块阻尼矩阵可按不同模型确定。

非比例阻尼矩阵构造如下：

式中:[cs]=αs[ms]+βs[ks]为上部子结构的阻尼矩阵；[cc]=αc[mc]+βc[kc]为下部子结构的阻尼矩阵。αs,αc,βs,βc可由Rayleigh模型计算。

X为结构两部分的公共边界，即先将竖向混合结构构造成两个独立的子结构(上部钢结构和下部混凝土结构)，公共边界部分可仿造有限元整体刚度矩阵的集成方法处理[6]；ωm,ωn为整体结构的自振频率；ξs,ξc分别为上部子结构和下部子结构的阻尼比。

目前，对于非比例阻尼结构的分析方法主要有：直接积分法、强迫解耦法、等效阻尼法及复模态分析方法等[7-9]。直接积分法避开了模态阻尼矩阵[C]的解耦问题，直接进行迭代求解，计算精度高。在复模态空间中，非比例阻尼体系是解耦的，是一种比较精确的方法[10]。对于一般工程结构而言，这两种方法计算量大，特别是后者难以为广大工程设计人员接受。强迫解耦法就是人为地忽略掉模态阻尼矩阵[C]中的非对角元素，将非比例阻尼问题转化为比例阻尼问题。方法简单便捷，但是对于非比例阻尼体系，由于人为地忽略了模态阻尼矩阵中的非对角元素，当这些元素对计算影响较大时，将会使计算结果产生较大的误差[6]。等效阻尼比实质是将非经典阻尼简化为经典阻尼的不同于强迫解耦的另一种近似方法。倘若采用模态叠加法进行分析，采用所谓的“等效阻尼比”的概念是合理和简便的。

国内外许多学者对等效阻尼比进行了研究，Roesset等[11]提出了等效阻尼比为损耗能量和总储存能量的比值，该表述是基于能量的阻尼性能宏观描述，其物理意义明确。Hwang等[12]提出了模态应变能比(MSE)，如式(1)，其将能量的形式特指为结构的弹性应变能，即结构损耗的弹性应变能与储存的弹性应变能的比值，该表达式物理意义清楚且形式简单，因此被广泛的应用[13-14]。模态应变能模型反映了耗能相等的物理本质，该模型被美国、日本的规范建议用于隔震结构等效阻尼比的确定[15-16]。

(1)

式中:ξeq,j为第j阶模态的模态阻尼比;ξi为第i个单元的阻尼比; {φ}j表示第j阶模态的位移向量;[k]i表示第i个单元的抗侧刚度。

虽然基于模态应变能模型能较好的反映结构的能量消耗，但是其计算过程较为繁琐。寻求简便的方法得到该类竖向混合结构的模态阻尼比，为该类结构分析提供一个可靠的工具。

1 基于复阻尼理论的模态阻尼比

复阻尼又称“滞变阻尼”，是一种与速度同相而与位移成比例的阻尼力，滞变阻尼力可表示为：

fD(t)=iζku(t)

(2)

式中：虚数单位i表示与力具有速度的相位，ζ是滞变阻尼系数或复阻尼系数。对于小阻尼材料，材料复阻尼系数ζ近似为其临界阻尼比ξ的2倍[4-5]。

一般竖向混合结构阻尼系统的运动方程可写成：

(3)

式中：M、K分别为多自由度体系的质量和刚度，D′代表竖向混合结构的滞后阻尼矩阵，可以表达为：

(4)

式中：Kc、Ks分别为上下子结构的刚度矩阵，kc、ks分别为上下子结构耦合边界的刚度，ζc、ζs分别为上下子结构对应的材料复阻尼系数。D′为非比例阻尼矩阵，因此方程(3)不能在模态坐标系中解耦，但该方程可以直接由坐标变换解耦[17]。

式(3)的特征方程为：

(5)

可以解得n个互异的复特征值λ2，假设λ2=(α+iβ)2，并代入方程(5)中，令实部和虚部为0，得：

(6)

式(6)可以分别看作质量为M，刚度矩阵为K的结构1和质量为M，刚度矩阵为D′的结构2的无阻尼特征方程，其结构1和结构2的第j阶无阻尼自振频率ω0,j和ωd,j分别为：

(7)

现若假设该类结构的等效材料复阻尼比系数为ζeq，则运动方程(3)的特征方程可以表示为：

(8)

设该方程的n个互异的复特征值为λ′2=(α′+iβ′)2，代入方程(8)中，令实部和虚部为0，得：

(9)

式(9)也可以看作两个特征方程，其第j阶无阻尼自振频率分别为：

(10)

在复阻尼理论中，结构在谐振荷载作用下一周能量的损失不依赖于激振频率，而与结构特性有关[4]。如果采用“等效阻尼”的概念来得到结构耗能情况，那么在特征方程(8)和特征方程(5)中，结构阻尼系统特征值应具有相同的特征意义[17]，即有λ≈λ′;α≈α′;β≈β′，代入式(7)和式(10)可得：

(11)

即可得竖向混合结构的第j阶模态阻尼比为：

(12)

2 竖向混合结构模态阻尼比计算和评价

2.1 模态阻尼比计算

本文基于同济大学进行的12层S/RC竖向混合结构实验[14,18]，验证该模态阻尼比的计算公式。12层S/RC框架包括上部4层钢框架，中间1层钢骨混凝土框架，下部7层RC框架，而楼盖部分采用现浇混凝土楼盖，结构尺寸和配筋如图3所示。本文采用有限元软件ANSYS按照实验尺寸建立该12层S/RC框架有限元模型，模型结构自振频率的计算值与实验值列于表1中。从前3阶X向频率的对比可见，计算频率与模型实测频率差别不大，误差在10%以内，这表明该有限元模型在宏观上反应结构的动力特性，采用该模型对12层S/RC结构进行数值模拟具有一定的可靠性。

图3 12层S-RC框架结构尺寸和配筋

实验测得下部混凝土结构和上部钢结构阻尼比分别为4.91%和3.24%，采用本文提出的求解模态阻尼比的方法求得整体结构X向的前两阶模态阻尼比，如表2所示，为了说明该方法的有效性，本文还按照模态应变能比方法计算的模态阻尼比。由表2的结果看出，两种途径所获得的模态阻尼比接近真实测量的结果。

表1 X向结构模态频率(Hz)

表2 S/RC结构整体阻尼比(%)

2.2 模态阻尼比评价

为了验证本文提出计算模态阻尼比方法的有效性，本文分别采用直接积分法、整体结构等效阻尼分别取为2%和5%、以及本文提出计算的模态阻尼比的等效法对该12层S/RC竖向混合框架结构进行的地震作用下的弹性时程分析。

时程分析中采用EI-Centro波、Kobe波以及SHW2波，从频谱特性可知，该3条波分别代表了Ⅱ类、Ⅲ类和Ⅳ类场地的频谱特征，因此采用这3条地震记录进行分析能够对结构的阻尼模型的适用性进行较为全面的评价。由于该竖向混合框架两个水平方向基本对称(X向略弱)，两个水平方向地震响应性态相似，故以下仅以X方向输入的时程分析为例进行讨论，由结构实验的相似关系，输入地震动峰值取0.09 g。

图4和图5分别为结构的最大楼层位移变形和对应的层间位移角。可以看到在不同地震动作用下，由于结构在第八层有明显的刚度突变，结构楼层位移变形出现了显著地变化，因为钢结构较混凝土结构柔，其变形幅值较明显。设计分析中对该类竖向混合结构取阻尼比为2%或5%会低估或高估结构的耗能情况，而采用本文方法计算得到的模态阻尼比能较合理的反映该类结构的地震响应。而取不同阻尼比对下部钢筋混凝土结构的楼层位移变形影响较小，对上部钢结构的楼层位移变形影响较大；这说明阻尼比的取值对材料阻尼比较小的钢结构的影响明显大于材料阻尼比较大的混凝土结构，这与各子结构的耗能性能有关。下部钢筋混凝土结构最大层间位移角出现在第2层，而上部钢结构最大层间位移角出现在第10层，《建筑抗震设计规范GB50011-2010》中规定，钢筋混凝土框架弹性层间位移角限值为1/550，而多、高层钢结构限值为1/250。由于上部和下部结构的抗震性能评定标准不同，如何对该类结构进行抗震评估，现在还没有统一的规定，需要进行进一步的研究。

图4 最大位移响应图

图5 层间位移角

3 结构各部分对模态阻尼比的影响

为了研究竖向混合结构上、下两子结构各自特性对整体阻尼比的影响情况，本文采用基于复阻尼理论的模态阻尼比和基于应变能模态阻尼比对此进行分析。将竖向组合结构等效为两自由度结构模型，如图6所示。

图6 等效两自由度结构模型

分别定义频率比Rω和质量比Rm为下式：

(13)

式中:ωc和ω0,j分别为上、下部子结构的频率，Ms和Mc分别为上、下部子结构的质量。

图7～图10为各子结构取固定阻尼比时，对应不同Rω-Rm时结构模态阻尼比等高线图；图7，图9和图10采用本文提出的方法计算，图8采用应变能模态阻尼比方法。从图7和图8可以看出，本文方法计算的模态阻尼比在整体分布上与于应变能计算的模态阻尼比分布相似，且模态阻尼比的范围在ξc和ξs之间；本文方法的等高线起点集中在Rω=1.25左右，而应变能法的等高线起点集中在Rω=1.00左右。在频率比Rω较高时(Rω>1.5)，整体结构的第一阶模态阻尼比与ξc较接近，而第二阶模态阻尼比与ξs较接近。当Rω为定值时，质量比Rm在大于0.5时，整体结构模态阻尼比几乎不随Rm的增大而变化，在图中出现水平等高线趋势；而当Rm为定值时，整体结构模态阻尼比随Rω的增大而增大。

图7 本文方法的模态阻尼比等高线图(ξc=5%、ξs=2%)

图9 本文方法的模态阻尼比等高线图(ξc=5%、ξs=4%)

取不同的ξc和ξs值，从图7、图9和图10可以看到，随着ξc和ξs的增大，整体结构的阻尼比增大趋势明显，频率比Rω在1.00～1.50的范围内，结构模态阻尼比受ξc和ξs取值影响较大。显然本文提出的基于频率特性计算的阻尼比方法比基于应变能计算的模态阻尼比方法更较为方便，且吻合度较好。

4 结 论

本文基于复阻尼理论，推导了竖向混合结构的模态阻尼比简便计算方法。将该方法计算得到的结构模态阻尼比与一12层竖向混合框架试验实测阻尼比结果进行对比；然后采用不同阻尼比对该混合结构进行了弹性时程分析，对该方法的有效性进行检验。最后用该方法和基于应变能计算的等效阻尼比研究了竖向混合结构上、下两子结构各自特性对整体阻尼比的影响情况，其主要结论如下:

(1) 设计中对该类竖向混合结构取阻尼比为2%或5%会低估或高估结构的耗能情况，而采用本文的方法计算的模态阻尼比能较合理的反映该类结构的地震响应；

(2) 本文提出的计算模态阻尼比的方法与实测结果误差在10%以内，而本文方法计算简便，效率高，为该类结构设计时阻尼比的取值提出了一个简便的方法；

(3) 整体结构的模态阻尼比处于上、下部结构各自阻尼比之间，在频率比较高时，整体结构的第一阶模态阻尼比与下部结构阻尼比较接近，而第二阶模态阻尼比与上部结构阻尼比较接近。

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