磁聚焦问题中“最小面积”的探讨

(山西省太原市第十二中学校，山西 太原 030002)

通常把通过磁场的作用，使一束带电粒子流会聚于一点的过程叫做磁聚焦，这种作用类似于凸透镜使平行光线聚焦于透镜的焦点.高中物理有不少以磁聚焦为背景的问题,让我们先来看一道海南省的高考题:

图1

如图1，ABCD是边长为a的正方形.质量为m、电荷量为e的电子以大小为v0的初速度，沿纸面垂直于BC边射入正方形区域.在正方形内适当区域中有匀强磁场.电子从BC边上的任意点入射，都只能从A点射出磁场.不计重力，求：

(1)此匀强磁场区域中磁感应强度的方向和大小；

(2)此匀强磁场区域的最小面积.

情形1:电子先做匀速直线运动，后做匀速圆周运动

图2

(2)由(1)中决定的磁感应强度的方向和大小，可知自C点垂直于BC入射的电子在A点沿DA方向射出，且自BC边上其它点垂直于入射的电子的运动轨道只能在BAEC区域中.因而，圆弧AEC是所求的最小磁场区域的一个边界.

情形2:电子先做匀速圆周运动，后做匀速直线运动

以上考虑的是电子先做匀速直线运动，进入磁场再做匀速圆周运动直到从A点穿出.我们很自然地想到,电子也可能先在磁场中做匀速圆周运动，再离开磁场做匀速直线运动，并通过A点.

图3

图4

图5

由曲线APB与x轴围成的面积

两种情形的结果完全相同!所以在情形2阴影区域的面积也应该是该题所求的最小面积，只不过情形2中磁场区域的形状与情形1中的不同，可见该题的答案不是唯一的.为什么会出现这两种不同的情况?事实上处在BC右侧同一高度的电子在两种不同形状的“最小磁场”中的偏转角度完全相同.如从C进入的电子偏转角度都是90°，从B进入的都未发生偏转，也易算得从BC中点进入的电子偏转角度都是30°.其实两个不同形状的磁场面积实际上是所有从BC边界进入的电子的轨迹构成的面，把图2中所有轨迹向右平移到BC边界就是图5中最小面积的形状.通过对本题两种不同的解的对比，不难看出“先直线运动，后圆周运动”与“先圆周运动，后直线运动”体现了物理过程的对称之美；而两解“最小面积”完全相同，则体现了物理学的多样统一之美.