建立关系模型 沟通新旧知识

蒋望雷+汤骥

【课前思考】

1.在学生已有的知识结构中，与“小数乘法”最具关联的内容是什么？

现代认知心理学认为：人的知识是以点、线、网状等形式储存在大脑中的，如果新学的知识结构与学生原有的知识结构相关联，那么储存在大脑中的知识就会很快地被唤醒，并为新的知识提供解释。

学生在学习小数乘整数之前已经具备了整数乘法的算理结构、积的变化规律与小数意义的表征方式，然对于“小数乘法”这部分教学内容来说，笔者认为：最能被激活的应该是学生已有的“整数乘法的算理结构”。

2.从教材的编写来看，贯穿“小数乘法”整个单元教学的支撑点是什么？

小数实质上是十进分数，要让学生理解小数乘法的意义，本应从分数乘法的意义入手，但这样显然不能支撑整个单元。小数乘整数时，利用“计数单位的运算”来解释算理或许可以（倘若想利用图形表征，一般也仅选用纯小数，否则图形的描述与单位的转换操作会更麻烦），但考虑到后续学习“小数乘小数”时，在理解上，对学生来说又像换了根“拐杖”。基于以上认识，深入分析教材的编写意图，笔者认为应是淡化意义而突出算法的教学。关键点或者说是整个单元的支撑点是沟通“小数乘法”与“整数乘法”的密切联系，用积的变化规律来解释小数乘法的算理，并由此总结出小数乘法的一般规律。

3.从儿童的认知特点分析，怎样的教学设计更契合学生的认知基础？

教学中寻找一种适合学生认知水平的思维“脚手架”非常重要，“小数乘整数”这节课过程展开的主线无非就是两种：一是从学生已有的整数算理结构出发，利用积的变化规律来建构小数乘整数的算理结构，突出的是“转化的思想”； 二是从学生对小数意义本质的理解出发，利用整数乘法的原理帮助建构小数乘整数的算理结构[如4.3×3理解为43个0.1×3=（43×3）个0.1=129个0.1=12.9]，突出的是“类比推理”的思想。相比之下，“转化”的方法学生在学习和生活中接触得更为广泛。结合教材编写的意图：从货币单位之间的转化切入，找到整数乘法与小数乘整数的内在连接，再通过概括提升小数乘整数的意义与方法，这样的设计充分依据儿童的认知特点，符合绝大部分学生的认知基础。

【课堂前测】

通过教学前测，我们发现学生都能自觉地应用所学知识，采用多种方法计算出简单的小数乘整数算式的结果并进行相对合理的解释。存在的问题主要有以下三点。

1.采用的方法往往只局限于解决简单的小数计算问题（如整数是一位数的），对于小数乘法不具有普适性，无法有效建立积的变化规律与小数乘法的联系。

2.“知其然，不知其所以然”，能算出结果，但对算理无法准确地理解和表述（对于答案的判断更多的是出于一种感觉）。

3.能自觉地采用“小数计数单位的运算”来解释算理的学生很少，反映在以此种思路设计的课堂实践中，教师能够明显感觉到学生大多只是被动地接受教师的“灌输”。

【教学思路】

在经过“教材分析—课前思考—教学前测—尝试教学”等实践环节之后，笔者确定了从学生已有的整数算理结构出发，利用积的变化规律来建构小数乘整数的算理结构，突出“转化思想”的总体思路。教学设计和实践过程如下：

一、教学目标：

1.通过具体的生活情境，引导学生自主探索小数乘整数的计算规则，从而进一步理解和掌握小数乘整数的一般方法，能正确笔算。

2.使学生经历探索小数乘整数计算方法的过程，从中感受转化思想，体会数学知识之间的联系。

二、教学重难点：

重点：掌握小数乘整数的笔算方法，能正确笔算。

难点：理解将小数乘法转化为整数乘法的计算方法。

三、教学过程：

课前谈话：同学们，上虞有个被誉为中国的“罗密欧与朱丽叶”的故事，故事的主人公梁山伯与祝英台最后化作了美丽的蝴蝶。今天蒋老师也带来了一只蝴蝶，不过这只蝴蝶可不是梁祝化成的，看着黑板上的两幅图（蝴蝶与蛹），你想到了什么？

师：我们看到这美丽的蝴蝶，就不由得想到了它的前身是蛹，不是有个成语叫……（化蛹成蝶）。在我们的生活中，还有哪些类似的事情？（学生举例）

师：是啊，如果我们能在学习和生活中始终用一种联系的眼光去看待新的事物、新的问题，这将会使我们的认识更深刻，解决问题更简便。

（设计意图：用学生熟识的动人故事引入，激发学生的学习兴趣，唤起学生“用联系的眼光看待新事物”的意识，迅速拉近知识与学生的距离，同时渗透“转化”的思想。）

（一）利用情境，提出问题

师：请同学们仔细观察，从图中你知道了哪些数学信息？根据这些信息你能提出哪些数学问题？（直接利用教材主题图，学生展开交流）

（设计意图：通过“放风筝、购风筝”的生活情境引入，直奔计算教学主题，激发学生的学习兴趣，渗透数学来源于生活、应用于生活的思想，培养学生从生活情景中发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力。）

（二）探究算法，理解算理

1.自主探索，感知算法。

师：你能解决图中的问题吗？买3个燕子风筝（3.5元/个）要多少钱？请你先独立思考，然后试着把你的计算过程完整地写下来。你还可以用其他的方法来验证你的结果是否正确吗？（学生独立计算，教师巡视）

师：请把你的想法先在小组内交流。（学生交流）

师：谁能来汇报一下你的算法？（预设：①连加； ②利用计量单位化聚解答问题；③整数部分和小数部分分别相乘再相加；④竖式笔算3.5元×3=10.5元。）

师：（根据学生不同的反馈，抓住一个共同点进行评价）其实大家都是利用了以前的知识来解决今天的新问题，就像刚才讲的由“蝴蝶”联想到了“蛹”。endprint

（设计意图：让学生运用原有的知识和生活经验，在独立思考的基础上自主计算，鼓励学生大胆地将个性化的方式充分展现，兼顾不同层次学生的学习状态。利用教材给出的“3.5×3”作为探究算法的材料，便于学生利用“货币单位的化聚”来解释算理并能自觉采用多种方法验证自己的计算结果，同时也便于引导学生体会小数乘法与整数乘法的密切联系。通过交流，让学生在自我验证的基础上最大程度地获得多样化的解释，促进自我反思。再通过教师的引导，初步获得运用 “转化”的思想方法去探究新知的意识。）

2.强调“转化”，探明算理。

师：刚才有同学用竖式计算出了3.5×3的结果是10.5，而且我们也用多种方法验证了这一结果是正确的，但老师想知道这位同学在算的过程中是怎么想的？

（预设生汇报：把3.5先看成35，这样3.5×3就变成了35×3，然后算出得数是105，再把积除以10，就得到10.5。）

师：哦，你是先把它想成了整数乘法35×3来计算，那你是怎么把3.5变成35的呢？然后又是怎么变回原来的积的呢？

师：这是利用了我们之前学过的什么知识呢？（师根据学生的叙述，逐步板书竖式如下图。）

师： 大家一起来看，这两个式子和黑板上的两张图片对应，你发现了什么？（生答：小数乘法对应蝴蝶，整数乘法就是蛹）是啊，“蛹”是我们已经学会的本领，我们就是用“原来的知识”来解决“新的问题”，这真是一种非常好的办法。

（设计意图：让学生在多种方法中感悟相通之处，提炼出“化小数乘法为整数乘法”的主要思路，并引导学生利用“积的变化规律”来解释小数乘法的算理，提高学生的推理能力。教学中运用“蝴蝶与蛹”的关系模型，帮助学生建构了用“原来的知识”来解决“新的问题”的认知模型，比较明显地突出了转化思想，也使学生感受到了方法的优越性。）

师：那请同学们接着用刚才的方法算一算“0.35×3”等于多少？你为什么能较快地得出结果？

师：算“0.35×3”我们也想到了“35×3”这一整数乘法，那么现在因数和积又是怎么变的呢？（生叙述，教师逐一板书）

（设计意图：依据学情调整教学，补充可以转化为同一整数乘法的“0.35×3”作为变式练习，能较明显地突出小数乘法计算中“算小数乘法想整数乘法”的关键步骤。进一步强化了用整数乘法这一“蛹”来解释小数乘法的算理结构，便于总结小数乘整数的一般方法。）

3.比较写法，理解算理。

（1）第一次对比：整数乘法竖式与小数乘法竖式的对比。

师：你能很快写出这两组题的得数吗？看一看，他们有什么联系？你能从中联系到“蝴蝶”和“蛹”吗？（重点讨论小数乘法和整数乘法的联系与区别。）

（2）第二次对比：小数乘法竖式的不同写法的对比。（竖式出示3.2×13）

师：看到这个算式后，你头脑中首先想到的是什么？请在你的纸上用竖式算一算。（预设：①在小数乘法竖式的旁边写一个整数乘法竖式，小数乘法竖式没有中间计算过程；②一个竖式，但中间过程有小数点；③算小数乘法，想整数乘法，中间过程为整数。）根据学生练习分别加以呈现：

师：你觉得哪一种最简洁、最方便，算起来速度也比较快？展开讨论，逐步引导学生形成共同体会：第一种算法比较费时、记录比较麻烦；第二种算法，既然已经看成整数乘法了，算的过程就是整数乘法的过程，所以没有必要在过程中出现小数点；第三种方法相对比较简洁，并能很好地记录“算小数想整数”的算法。

师：那么你能在这个竖式中找到“蛹”吗？请你把它框出来。看来这个竖式不但能算出结果，而且能很好地记录我们的想法，也就是既有我们要算的“蝴蝶”，也有我们想到的“蛹”，真是“蝶蛹合体”了。

（设计意图：通过第一次对比，沟通小数乘法与整数乘法的联系，有利于学生将新知纳入到已有的认知系统中，便于学生自觉地将整数乘法的经验迁移到小数乘法中来。组织第二次对比交流，引导学生对算理作进一步理解和表述，让学生体会第三种方法的简洁、方便，进一步理解算理，为总结小数乘法的一般算法打下基础。

从因数是一位数上升到因数是两位数的乘法，目的就是充分暴露学生用竖式计算小数乘法的思考过程，检测学生“算小数想整数”的转化思想是否已经成为自觉的想法。教学实践中，采用“看蝶想蛹”来构造小数乘整数的算法模型、用“蝶蛹合体”来搭建小数乘法竖式的结构模型，使学生记忆深刻。）

4.课堂小结，归纳算法。

师：请同学们回忆刚才的学习过程，结合黑板上的板书，说一说“小数乘整数”到底该怎么算？（教师适时给出课题：小数乘整数）

（生展开讨论交流。预设：①小数乘整数按什么方法进行计算？②积的小数点如何确定？③积末尾的0怎么处理？）

师：大家说得很好，小数乘整数，先把小数看成整数算出积，再看因数发生了什么变化，就按照积的变化规律再把积进行退还。这一过程像不像是“化蛹为蝶”呢？

（设计意图：让学生回忆学习过程，结合例题、板书等材料自己来总结算法，培养学生的归纳概括和语言表达能力，发展学生的数学思维。小结中用“化蛹为蝶”一词来解释“转化思想”，学生容易形成较为深刻的印象。）

（三）巩固练习，熟练算法

1.辨错题。师：同学们刚才总结了小数乘整数的一般方法，下面我们来看这位同学做得是否正确？（如右图）

（预设：①学生用估算就能很快判别错误；②根据因数的变化来确定积的小数位数这一步发生了错误；③先去“0”再点小数点发生的错误。）

2.补充算式。师：同学们看这组题，你认为做完了吗？在题中你能不能找到“蛹”？你能将算式补充完整吗？（逐步出示题组，学生展开讨论）

（设计意图：通过练习，让学生从依据“积的变化规律”来确定小数点的位置，逐步熟练到“只要看因数中的小数位数”就能确定小数点的位置，为后续概括小数乘小数的计算方法打好基础。第二组练习引入“因数是整十、整百数”的小数乘整数乘法，丰富小数乘整数的“原型”，同时 “你能不能找到‘蛹？”，再次激发学生思考寻找整数乘整数这个“蛹”，进一步沟通整数乘法与小数乘整数之间的联系，巩固小数乘整数算法的理解与掌握。）endprint

（3）变式练习。师：同学们，如果我们把今天新学的“小数乘整数”看作是“蝴蝶”的话，那么“蛹”是什么？

师：老师这里有一只“蛹”，你能化作几只“蝴蝶”呢？看谁化得多？

（设计意图：把枯燥的练习融入到富有趣味和挑战性的活动中，使学生始终以饱满的热情参与学习，形成了在活动中练习、在练习中巩固、在交流中拓展思维的良好课堂氛围。“化蛹为蝶”形象地展示了利用一个“整数乘法”原型可以解决不同“小数乘法”的主要思路。此外，开放的设计形式，兼顾了不同层次学生的发展。）

（四）全课总结，布置作业

师：同学们，今天这节课你有什么收获？跟大家分享一下好吗？

【课后反思】

本堂课充分尊重学生的认知发展水平和已有的知识经验，努力体现以学定教、学为中心的教学理念。面向全体学生，注重启发和因材施教，较好地实现了知识的迁移，引导学生将整数乘法的经验迁移到小数乘法中来。

1.创设和运用了“蝴蝶与蛹”这一关系模型，唤起学生用联系的眼光思考问题、解决问题的意识。通过“看蝶想蛹”“由蝶找蛹”“化蛹为蝶”等活动，引导学生自主探索解决情境中的数学问题，再通过对几种不同解题思路、不同算法的比较和分析，让学生感受方法的合理性，体会“转化”的思想。用“看蝶想蛹”来构造小数乘整数的算法模型，用“蝶蛹合体”来搭建小数乘法竖式的结构模型，使学生记忆深刻、理解透彻，从而熟练地掌握计算方法，实现运算教学的理想目标：基于“理解”的“熟能生巧”。

2.创造性地使用教材，不拘泥于教材，从调整教学内容入手，将教材中的例题2改编为0.35×3，通过解答与比较，有利于学生理解掌握小数乘整数的计算方法；在此基础上，出示“3.2×13”，将因数由一位数上升到因数是两位数的乘法，既有利于学习内容的拓展，又是基于突破教学难点的需要。教学过程中充分展示不同层次学生用竖式计算小数乘法的思考过程，并有针对性地展开积极有效的分析讨论交流。这既充分显示了因材施教、以学定教、以生为本的教学理念，更有利于学生总结形成小数乘整数的竖式计算方法。整个教学设计浑然一体、严谨缜密。

3.练习设计有层次，有梯度。本课练习的设置遵循了由易到难，呈螺旋式上升的规律，且形式多样。将原本枯燥的练习与富有趣味的活动相融，由兴趣激发动力，从而巩固了本课知识，拓展了数学思维。

（浙江省诸暨市新世纪小学 311800

浙江省诸暨市教育局教研室 311800）endprint

（3）变式练习。师：同学们，如果我们把今天新学的“小数乘整数”看作是“蝴蝶”的话，那么“蛹”是什么？

师：老师这里有一只“蛹”，你能化作几只“蝴蝶”呢？看谁化得多？

（设计意图：把枯燥的练习融入到富有趣味和挑战性的活动中，使学生始终以饱满的热情参与学习，形成了在活动中练习、在练习中巩固、在交流中拓展思维的良好课堂氛围。“化蛹为蝶”形象地展示了利用一个“整数乘法”原型可以解决不同“小数乘法”的主要思路。此外，开放的设计形式，兼顾了不同层次学生的发展。）

（四）全课总结，布置作业

师：同学们，今天这节课你有什么收获？跟大家分享一下好吗？

【课后反思】

本堂课充分尊重学生的认知发展水平和已有的知识经验，努力体现以学定教、学为中心的教学理念。面向全体学生，注重启发和因材施教，较好地实现了知识的迁移，引导学生将整数乘法的经验迁移到小数乘法中来。

1.创设和运用了“蝴蝶与蛹”这一关系模型，唤起学生用联系的眼光思考问题、解决问题的意识。通过“看蝶想蛹”“由蝶找蛹”“化蛹为蝶”等活动，引导学生自主探索解决情境中的数学问题，再通过对几种不同解题思路、不同算法的比较和分析，让学生感受方法的合理性，体会“转化”的思想。用“看蝶想蛹”来构造小数乘整数的算法模型，用“蝶蛹合体”来搭建小数乘法竖式的结构模型，使学生记忆深刻、理解透彻，从而熟练地掌握计算方法，实现运算教学的理想目标：基于“理解”的“熟能生巧”。

2.创造性地使用教材，不拘泥于教材，从调整教学内容入手，将教材中的例题2改编为0.35×3，通过解答与比较，有利于学生理解掌握小数乘整数的计算方法；在此基础上，出示“3.2×13”，将因数由一位数上升到因数是两位数的乘法，既有利于学习内容的拓展，又是基于突破教学难点的需要。教学过程中充分展示不同层次学生用竖式计算小数乘法的思考过程，并有针对性地展开积极有效的分析讨论交流。这既充分显示了因材施教、以学定教、以生为本的教学理念，更有利于学生总结形成小数乘整数的竖式计算方法。整个教学设计浑然一体、严谨缜密。

3.练习设计有层次，有梯度。本课练习的设置遵循了由易到难，呈螺旋式上升的规律，且形式多样。将原本枯燥的练习与富有趣味的活动相融，由兴趣激发动力，从而巩固了本课知识，拓展了数学思维。

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（3）变式练习。师：同学们，如果我们把今天新学的“小数乘整数”看作是“蝴蝶”的话，那么“蛹”是什么？

师：老师这里有一只“蛹”，你能化作几只“蝴蝶”呢？看谁化得多？

（设计意图：把枯燥的练习融入到富有趣味和挑战性的活动中，使学生始终以饱满的热情参与学习，形成了在活动中练习、在练习中巩固、在交流中拓展思维的良好课堂氛围。“化蛹为蝶”形象地展示了利用一个“整数乘法”原型可以解决不同“小数乘法”的主要思路。此外，开放的设计形式，兼顾了不同层次学生的发展。）

（四）全课总结，布置作业

师：同学们，今天这节课你有什么收获？跟大家分享一下好吗？

【课后反思】

本堂课充分尊重学生的认知发展水平和已有的知识经验，努力体现以学定教、学为中心的教学理念。面向全体学生，注重启发和因材施教，较好地实现了知识的迁移，引导学生将整数乘法的经验迁移到小数乘法中来。

1.创设和运用了“蝴蝶与蛹”这一关系模型，唤起学生用联系的眼光思考问题、解决问题的意识。通过“看蝶想蛹”“由蝶找蛹”“化蛹为蝶”等活动，引导学生自主探索解决情境中的数学问题，再通过对几种不同解题思路、不同算法的比较和分析，让学生感受方法的合理性，体会“转化”的思想。用“看蝶想蛹”来构造小数乘整数的算法模型，用“蝶蛹合体”来搭建小数乘法竖式的结构模型，使学生记忆深刻、理解透彻，从而熟练地掌握计算方法，实现运算教学的理想目标：基于“理解”的“熟能生巧”。

2.创造性地使用教材，不拘泥于教材，从调整教学内容入手，将教材中的例题2改编为0.35×3，通过解答与比较，有利于学生理解掌握小数乘整数的计算方法；在此基础上，出示“3.2×13”，将因数由一位数上升到因数是两位数的乘法，既有利于学习内容的拓展，又是基于突破教学难点的需要。教学过程中充分展示不同层次学生用竖式计算小数乘法的思考过程，并有针对性地展开积极有效的分析讨论交流。这既充分显示了因材施教、以学定教、以生为本的教学理念，更有利于学生总结形成小数乘整数的竖式计算方法。整个教学设计浑然一体、严谨缜密。

3.练习设计有层次，有梯度。本课练习的设置遵循了由易到难，呈螺旋式上升的规律，且形式多样。将原本枯燥的练习与富有趣味的活动相融，由兴趣激发动力，从而巩固了本课知识，拓展了数学思维。

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