三人行 必有我师——同伴互助式数学教师专业发展

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(宁波中学 浙江宁波 315100)

●杨樟松

(衢州第二中学 浙江衢州 324000)

俗话说:“要给学生一杯水，教师得有一桶水.”可见教师自身的专业素养的重要性.那么如何提高教师的专业素养呢？为此学校、教育局每年都为教师提供各种各样的培训．但要从根本上提高教师的专业素养还是要靠日积月累，反思日常教学中的点点滴滴.波斯纳提出“教师的成长=经验+反思”，就是一条教师的专业成长之路．教师的专业发展需要教师成为反思型、学习型、创新型人才，而同伴互助、相互交流，是实现这个目标的一条好途径．

1 提出问题,直观解答

在解决数学问题和数学教学过程中我们总会遇到一些困惑，而这些困惑在大家的讨论中总可以得到解决，我们也能从中得到启迪．在同伴互助的过程中,教师的专业素养得到了发展．

某一天，教师A提出了一个关于空间轨迹的问题．

图1

问题如图1，已知正方体ABCD-A1B1C1D1，点M是棱CC1的中点，P是平面ABB1A1内的点，且满足∠PDB1=∠MDB1，则点P的轨迹是

( )

A．圆 B．椭圆

C．抛物线 D．双曲线

教师X的想法是：当截面与圆锥的一条母线平行时，截得的曲线是抛物线．因为满足∠PDB1=∠MDB1的点P的轨迹在以DB1为轴、轴截面顶角为2∠MDB1的圆锥面上，又点P在平面ABB1A1内，所以点P的轨迹是平面截圆锥所得的曲线．又因为DM∥ABB1A1，所以点P的轨迹是抛物线．

2 得出矛盾，另辟蹊径

然而参考答案是D，即轨迹是双曲线．于是教师J也来参与这个问题的讨论．

教师J采用空间向量的方法解决了它．如图1，建立空间直角坐标系D1-xyz，设正方体棱长为2，且P(2,x,y)，则

由于∠PDB1=∠MDB1，由向量夹角公式得

代入坐标得

整理得

2x2+5xy+2y2-20x+2y-4=0,(1)

对于方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0，当Δ=B2-4AC<0时，方程代表的曲线是椭圆；当Δ=B2-4AC>0时，方程代表的曲线是双曲线；当Δ=B2-4AC=0时，方程代表的曲线是抛物线．而方程(1)中

Δ=52-4×2×2=9>0，

因此点P的轨迹是双曲线．当然也可作旋转变换

代入整理得点P的轨迹方程为

图2

3 生疑释疑，再得矛盾

由此得出了2个矛盾的答案，但是好像都找不到各自解题的破绽．于是教师C也加入这个研究行列．教师C首先肯定了教师X的想法，并给出了如下结论：

结论如图2，已知A1B1⊥AB，O1K∥母线SA，A1B1与O1K构成的截面设为α，可证平面α截圆锥所得曲线为抛物线．

证明设P为截线上一点，在圆锥内部放1个球O，使得它与圆锥侧面和截面α相切，球O与截面α切于点F，与母线SA切于点M，作MK∥AB交O1K于点K，过点M作平行于底面的平面交SP于点E，过点P作平行于底面的平面β交母线SA于点N，在平面α内作CK⊥O1K，K是垂足，过点P作CK的垂线，交CK于点C，联结MC，则PC∥O1K∥SA．因为A1B1⊥AB,A1B1⊥SO1，所以A1B1⊥平面SAO1，从而A1B1⊥SA.又因为O1K∥SA，得A1B1⊥O1K，又CK⊥O1K，所以CK∥A1B1，从而平面MCK∥底面，所以平面MCK∥平面β．平面MNPC与平面MCK、平面β分别交于MC,NP，从而MC∥NP，于是四边形MNPC是平行四边形，故MN=PC．

又因为MN=PE(圆台的母线长相等)，PE=PF(球外一点的切线长相等)，从而PF=PC，即曲线上任意一点P到定点F和定直线CK的距离相等，所以点P的轨迹是抛物线．

经过反复检查后我们肯定教师J的解法是正确的，但教师C的证明似乎又是合理的，那么问题到底出在哪里呢？

4 寻根究源，解决问题

第2天，我们接着讨论．找到有关圆锥面被平面截得交线方面的书籍，仔细研读后，终于发现了问题所在.

我们知道，用一个垂直于圆锥的旋转轴的平面截圆锥，截得的曲线是圆．用不垂直于圆锥的旋转轴的平面截圆锥，当截面与旋转轴的夹角不同时，可以得到椭圆、双曲线、抛物线．教材第42页的探究与发现中“为什么截口曲线是椭圆”证明了为什么一个平面截圆锥所得曲线是椭圆，但是没有说明满足什么条件的平面截得的曲线是椭圆．于是我们开始研究：一个平面以什么样的角度去截圆锥，可以使所得曲线分别为圆、椭圆、双曲线、抛物线？

图3

经过共同努力，我们查证到文献[1]中记载：抛物线、椭圆和双曲线统称为圆锥曲线，因为它们都可以用不经过圆锥顶点的平面去截圆锥面得到．如图3,设圆锥面的半顶角为α，截面和圆锥面的旋转轴所夹的角为θ，则

(3)当θ=α时，截得的交线为抛物线；

(4)当0≤θ<α时，截得的交线为双曲线．

在教师C的证明过程中，虽然截面平行于某一母线，但因为截面α与平面SAO1垂直，所以截面α与圆锥轴的夹角正好等于半顶角，从而截口为抛物线．而问题中的截面与轴的夹角为∠DB1A，显然小于半顶角∠B1DM，由此可得点P的轨迹确实是双曲线．

教师X，J起初显然没有从截面与旋转轴的夹角上来考虑，而是从平面与母线是否平行来考虑，他们认为：当截面与轴截面的2条母线相交时，截得的交线为椭圆；当截面与旋转轴平行时，截得的交线为双曲线；当截面与旋转轴垂直时，截得的交线为圆；当截面与母线平行时，截得的交线为抛物线.因为这个结论是从教材的章首图像中直观得出的，并没有作过深入的研究，从而导致了对其认识的片面性．

5 举一反三，探究规律

为了让学生能充分掌握这个问题，经共同研究后将上面的问题作了如下变式：

变式1如图4，已知正方体ABCD-A1B1C1D1，平面ABB1A1内的点P满足∠PDB1=∠C1DB1，则点P的轨迹是抛物线．

图4 图5 图6

变式2如图5，已知正方体ABCD-A1B1C1D1，点M是棱B1C1的中点，平面ABB1A1内的点P满足∠PDB1=∠MDB1，则点P的轨迹是椭圆．

变式3如图6，已知正方体ABCD-A1B1C1D1，平面A1BC1内的点P满足∠PDB1=∠C1DB1，则点P的轨迹是圆．

6 反思

新课程改革更加注重提高教师的专业素养，浙江省的教师培训、学校的校本培训等等都是通过专家、名师的引领来提高教师的专业素养，为教师提供最新的教育理念、教育信息以及各种操作技能．他们的教学中蕴含着深刻的教育理念、深厚的文化底蕴、高超的驾驭技巧.故向他们学习是我们提高专业素养的途径之一，但是这样的学习机会并不多．因为在教学中接触最多的是同伴，所以同伴互助是提高专业素养的另一途径．同伴互助作为一种新的教学策略和学习方式，它适用于教师和学生；适用于数学及各个学科的教学和学习．通过同伴交流，解决问题，引起反思，共同分享经验，进行专业切磋，可以不断促进教师共同成长．

当然要实现同伴的交流，需要良好的研讨氛围，在教学过程中找到值得探究的问题，如数学问题，课堂的教学问题.提出一个问题就是一个研讨的抓手，如教师C提出的问题：“学生熟练掌握了二次函数的平移，而对一次函数的左右平移却经常出错.”教师G提出的问题“为什么学生对解题的技巧重视程度大大超过对解题方法的重视程度？”对诸如此类的问题,我们都做过认真的研讨，有时找学生，让学生谈谈自己的思考过程和想法.有不明白的地方，找书籍、杂志等学习.这样的讨论既可以提高专业水平，也会带来快乐.

新课改提倡要注重数学知识的实际背景，让学生体验知识的产生和发展的过程，教师在备课过程中深入了解概念，明白概念的来龙去脉,学习解决问题的方法，通过交流解决是再好不过的方式.当你把一个思想与他人交流时,有时可以得到2个思想,交流可以让思想碰撞出火花.同伴互助不仅可以解决问题，也应成为教师的一种生活方式.

参 考 文 献

[1] 周荣理．截得的交线是怎样的圆锥曲线[J]．成功(教育),2008(6):55-58.

[2] 左璜,黄甫全．国外同伴互助学习的研究进展与前瞻[J]．外国教育研究,2010(4):53-59.

[3] 徐曼．教师同伴互助的问题及研对策研究[J]．科学咨询(教育科研),2009:45-47.

[4] 朱莲莲．教师专业素养哪里来[J]．福建论坛(社科教育版),2008(3):67-68.