基本功显内力 创造力解新题——例析导数背景下如何证明与正整数有关的不等式问题

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(黄陂一中盘龙校区 湖北武汉 430312)

在导数问题背景下证明含有正整数的不等式问题，一般都设置有几个小题，最后证明不等式.这类问题一般可以用数学归纳法或者不等式适当放缩进行证明.命题者通常还有一个重要意图是利用前几个小题中已经得出的结论，充分发挥学生的创造力，把函数中的变量x用含有n的式子进行替换，再通过适当变形证明不等式.但是如何替换及变形对学生来说是难点，应该怎样突破呢？下面归类分析,帮助学生解决这个问题.

1 证明含有二元正整数的不等式

(1)求实数a的值；

分析(1)a=1.

(2)g(x)的单调增区间为(0,1)，(1,+∞)．

亦即

得

因为m>n>1，由第(2)小题可知g(x)在(1,+∞)上单调递增，所以

g(m)>g(n)，

即

点评含2个变元的不等式，通过变形(2边取对数、取倒数等)，把它变形为一个函数f(x)背景下2个函数值的大小f(m)≥f(n)(或f(m)≤f(n))形式，再根据函数的单调性得出结论.

2 证明含有一元正整数的不等式

2.1 直接替换，再求和

(1)当a=2时，试比较f(x)与1的大小；

分析(1)当a=2时，

①当x>1时，f(x)>1；

②当0

③当x=1时，f(x)=1．

(2)根据第(1)小题的结论，当x>1时，

即

从而

又

于是

点评含有一元正整数不等式的证明，且是求和形式，可联想

2.2 替换，放缩，再求和

分析(1)实数k的取值范围为(-∞,2].

(2)由第(1)小题，当x≥1时，

即

从而

将以上不等式2边分别相加，得

但与所证结果有“距离”，再从右边观察推理，需将替换后的式子进行一次放缩，即

再2边求和，不等式得证.

2.3 “巧”替换，“活”变形，再求和

例4已知函数f(x)=ex-ax-1(其中a>0，e为自然对数的底数).

(1)求函数f(x)的最小值；

(2)若f(x)≥0对任意的x∈R恒成立，求实数a的值；

(3)在第(2)小题的条件下，证明：

分析(1)f(x)的最小值为

f(lna)=elna-alna-1=a-lna-1.

(2)f(x)≥0对任意的x∈R恒成立,即在x∈R上，f(x)min≥0，易得a=1.

(3)由第(2)小题知，因为a=1，所以对任意实数x均有

ex-x-1≥0，

即

1+x≤ex.

得

e-(n-1)+e-(n-2)+e-(n-3)+…+e-2+e-1,

e-(n-1)+e-(n-2)+e-(n-3)+…+e-2+e-1+1=

此时“顺序颠倒”着出现结果，不等式得证.

2.4 替换，变形，添(减)项

(1)用a表示b，c；

(2)若f(x)≥lnx在[1,+∞)上恒成立，求实数a的取值范围；

(2010年湖北省数学高考理科压轴题)

解得

其中x≥1，当x=1时取到等号.当x>1时，

即

依次令k=1,2，3,…，n,得

…

各式相加得

原不等式得证.

2边求和得到不等式

2.5 执果索因，恰当替换，“活”变形，“巧”构造

例6已知函数g(x)=x2-(2a+1)x+alnx.

(1)当a=1时，求函数g(x)的单调递增区间；

(2)若函数g(x)在区间[1,e]上单调递增，求a的取值范围；

(3)在第(1)小题的条件下，设f(x)=g(x)+4x-x2-2lnx，证明：

(参考数据：ln2≈0.693 1.)

(2)函数g(x)在区间[1,e]上单调递增，则a≤1.

由x∈[2,+∞)，h′(x)<0,得

即

又

k-f(k)=lnk，

此时右边如何得到是难点.从要证明的结果分析，要“善”变形，如

也即

“巧”构造函数

2.6 “灵活”变形，“恰当”赋值，“叠加”求和

例7设n是正整数，r是正有理数.

(1)求函数

f(x)=(1+x)r+1-(r+1)x-1

(其中x>-1)的最小值；

(2)证明：

(2013年湖北省数学高考理科压轴题)

分析(1)f′(x)= (r+1)(1+x)r-(r+1)=

(r+1)[(1+x)r-1],

从而f(x)在(-1,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增,得

f(x)min=f(0)=0.

(2)由第(1)小题知：当x>-1时，

(1+x)r+1>(r+1)x+1(伯努利不等式),

所证不等式即为

若n≥2,则

nr+1-(r+1)nr<(n-1)r+1,

从而

(1)

因为

所以

故式(1)成立.

若n=1,则nr+1-(r+1)nr<(n-1)r+1显然成立.由

nr+1+(r+1)nr<(n+1)r+1，

得

(2)

因为

所以

故式(2)成立.原不等式成立.

(3)由第(2)小题可知：当k∈N*时，

210.225,

210.9,

于是

[S]=211.

再用叠加法求和.

在导数背景下含正整数的证明问题，作为压轴题其解答方法虽然很多，但是在高考中能新颖别致、颇具创意地完整解答的学生很少，大部分学生会采用通性通法.压轴题的命题思路，往往是环环相扣，“递进”式设问，既能考查学生的功力，又能考查学生的灵性,让优秀的学生能脱颖而出.但是在高考有限时间内真正能做对做全的学生极少，学生常常在关键位置“迷路”.因此教师应加强对压轴题的研究，帮助学生逐步掌握解答压轴题的策略，学生也就不会望而生畏，更不会果断放弃.学生在平时的备考复习中要增强信心，多思考、多积累，从而提高压轴题的得分率.