巧用降维策略 破解数学难题

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(北仑中学 浙江宁波 315800)

1 从一道高考试题谈起

2014年浙江省数学高考结束后,绝大多数考生觉得试题太难了,有许多高中数学教师也认为它是浙江省近5年数学高考试题中最难的一套试题.事实上,其中的解答题没有特别难的地方,考生感到难的主要原因是有几道选择题和填空题不是很“厚道”，其中的第10题(选择题压轴题)成了许多考生的“滑铁卢”，有的考生花费了很多时间，但是答案还是“千呼万唤不出来”；有的考生经过漫长的推算，最后终于得到正确答案，但由于耗时过多，影响了后面试题的解答．文献[1]中介绍了对这一试题的2种解法，但这2种解法都要经过大量的推算才能得到结论，也是许多考生在考场上所采用的解法.笔者认为这2种解法都不是命题教师所希望看到的解法．

等价转化思想是中学数学中最重要的数学思想方法之一.许多所谓的数学难题，一般可以通过等价转化的方法，把它化归为相对简单的问题；其中数学难题之所以是难题的一个重要原因是参变量的个数太多，即“维数”太高所致；若能通过合法、有效的途径减少参变量的个数，把“三维”问题“二维”化，“二维”问题“一维”化，则往往能找到解题的通途．

对于这道选择题压轴题，事实上只要考察所涉及的函数图像在y轴上的投影，即把“二维”问题“一维”化，问题就很容易解决了.也许这才是命题教师所希望看到的解法！

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A.I1

C.I1

(2014年浙江省数学高考理科试题第10题)

图1

(1)由于f1(x)=x2是[0,1]上的增函数，因此I1=u1=1.

综上所述可得I2

2 降维对策的应用举例

例2以正100边形的顶点为顶点的两两不全等的三角形的个数为______.

解(第1次转化)正100边形的顶点将其外接圆分成100等份,设三角形的3个顶点之间的弧分别含x,y,z等份,则x+y+z=100,且原问题等价于不定方程x+y+z=100(x≤y≤z)的正整数解(x,y,z)的个数,也等价于不定方程x+y+z=97(x≤y≤z)的非负整数解(x,y,z)的个数.

(第2次转化)如图2,在空间直角坐标系中,设A(97,0,0),B(0,97,0),C(0,0,97),则平面AB的方程为

x+y+z=97,

图2 图3

(计算答案)如图3,作F0G⊥OB于点G，则△OGF0内(包括边界)中整点的个数为

则△E0GF0内(包括边界)中整点的个数为

△OE0F0内部(包括边界)中整点的个数为561+272=833，因此不全等的三角形的个数为833个．

评注当问题化归为：“求不定方程x+y+z=100(其中x≤y≤z)的正整数解(x,y,z)的个数”以后，也可通过代数方法解决，但对运算能力的要求较高，且较难验证结论的正确性.本解法运用数形结合的思想，把问题化归为“求△CEF内部(包括边界)中整点的个数”(在三维空间中)，再化归为“求△OE0F0内部(包括边界)中整点的个数”(在二维空间中)，最终得到结论，思路自然、过程清晰、形象直观．

分析本题是一个关于a,b,c的三元函数最值问题，因此把条件化归为关于a,b,c的不等式组后，若能化为二元函数，甚至是一元函数的最值，问题就容易解决了．

图4

设过点A(1,-2)的曲线x2=4y的切线的斜率为k(k>0)，则其方程为y=k(x-1)-2,代入x2=4y整理得

x2-4kx+4k+8=0.

由Δ=16k2-16(k+2)=0(其中k>0),得k=2，从而kAP的最小值为2，故umin=3．

看不清试题的本质所在是造成解题困难的重要原因之一.若能通过等价转化的方法，剥去问题的“过度包装”，显露其本质所在，再注意减少问题的参变量个数，即注意降维策略的使用，则往往能使问题“柳暗花明”．

参 考 文 献

[1] 徐丽华.2014年浙江省高考数学理科卷选择题压轴题解析[J].数学通讯,2014(7)(下半月):52-54.