3+1维Burgers方程的Painlevé性质和Bäcklund变换及严格解*

金 艳, 贾 曼

(1.宁波教育学院,浙江 宁波 315010;2.宁波大学 理学院，浙江 宁波 315211)

0 引 论

在非线性科学领域，1+1维的Burgers方程

ut=2uux+uxx

(1)

是最重要的数学物理模型之一,它被广泛地应用于物理学和其他自然科学的各个领域，如流体力学、大气动力学和交通流,等等[1].Burgers方程(1)的各种性质及其严格解已经被许多学者研究.如文献[2]利用重复对称性约化的方法给出了式(1)的无穷多的严格解；文献[3]发展了一个一般的tanh函数展开法求解Burgers方程(1)，得到了大量的新的严格解；文献[4]利用非局域对称相关的对称性约化得到了很多具有实际意义的严格解.

本文中,笔者研究方程(1)的3+1维的推广形式[5]:

ut=2uux+2vvx+2wwx+uxx+vxy+wxz;

(2)

uy=vx;

(3)

uz=wx.

(4)

和1+1维的Burgers方程(1)一样，3+1维Burgers方程(2)～方程(4)在物理学中同样具有非常重要的地位.如作变换

u=φx,v=φy,w=φz

(5)

后，式(2)成为著名的没有白噪声项的KPZ(Kardar-Parisi-Zhang) 方程[6-8 ]

φt=(φ)

(6)

KPZ方程可以很好地描述各种界面的生长[6].具有随机项的KPZ方程也可以从粒子系统中导出[7].

奇性分析方法是研究非线性方程的最有效方法之一.在研究非线性方程奇性的同时，可以得到很多其他有意义的重要结果，如Bäcklund变换和严格解等.

本文运用奇性方法研究(3+1)维Burgers方程的Painlevé性质;运用截断Painlevé展开给出3+1维的Burgers方程的Bäcklund变换；运用Bäcklund变换来给出一些严格解.

1 3+1维Burgers方程的Painlevé性质

一个非线性方程的Painlevé性质被定义为：若一个非线性方程的所有解的所有奇性都是极点型的，则称该方程具有Painlevé性质.

对于3+1维的Burgers方程(2)～方程(4),若它具有Painlevé性质，则有下述表达式：

为了保证所有的奇性，展开式(7)中的f～0必须为任意函数；由于方程(2)～方程(4)是2阶微分方程，式(5)和式(6)是一阶微分方程，因此,为保证解是所有解，式(7)中必须包含4个任意函数，除了f外，展开系数中还必须包含3个任意函数.展开式中求和从零开始，排除了本性奇点的存在，为保证没有奇点的存在，式(7)中的α1,α2和α3必须为整数.

验证模型的Painlevé性质,标准的步骤分3步：领头项分析、确定共振点和验证共振条件.领头项分析验证α1,α2和α3是否为整数，确定共振点和验证共振条件以保证有足够多的任意函数.

1)领头项分析:将式(7)的领头项

(8)

代入3+1维Burgers方程(2)～方程(4)得

(9)

由式(9)可得

(10)

2)共振点确定.为了确定共振点，即可能的任意函数对应的展开指标，笔者将

(11)

代入3+1维Burgers方程(2)～方程(4)可得

(12)

式(12)的右边仅仅依赖于u0,u1,…,uj-1.由式(12)的uj,vj,wj的系数行列式

(13)

为零可知，共振点为

j=-1,1,1,2.

(14)

若在这些共振点的共振条件自动满足，则uj,vj,wj可由式(12)递推算出.

3)共振条件验证.j=-1的共振点意味着奇性流形f的任意性.对于j=0，式(12)等价于式(10).对于j=1,式(12)等价于

ft=2u1fx+2v1fy+2w1fz+Δf;

(15)

u0y=v0x;

(16)

u0z=w0x.

(17)

显然，由于式(10)，共振条件(15)和(17)是自动满足的,所以，对于j=2,式(12)可以简化为:

(ft-2u1fx-2v1fy-2w1fz-Δf)x=0;

(18)

u2fy-v2fx-v1x+u1y=0;

(19)

u2fz-w2fx-w1x+u1z=0.

(20)

显然，由于式(15)，共振条件(18)自动满足，故所有共振条件验证完毕，所以，(3+1)维Burgers方程(2)～(4)具有Painlevé性质,是Painlevé可积的.

2 3+1维Burgers方程的Bäcklund变换

Bäcklund变换是非线性系统研究中的又一重要研究课题.利用Painlevé分析可以很方便地得到非线性系统的Bäcklund变换.对于3+1维Burgers方程,其截断展开为

(21)

式(21)中，u1,v1,w1和f满足的方程为：

u1t=2u1u1x+2v1v1x+2w1w1x+u1xx+v1xy+w1xz;

(22)

u1y=v1x;

(23)

u1z=w1x;

(24)

ft=2u1fx+2v1fy+2w1fz+Δf.

(25)

由方程(22)～方程(24)可知,截断Painlevé展开给出了下述3+1维Burgers方程(2)～(4)的Bäcklund变换定理.

定理1 若u1,v1,w1是3+1维Burgers方程(2)～(4)的一个解，f满足式(25)，则由式(21)给定的u,v,w也是3+1维Burgers方程(2)～(4)的解.

利用Bäcklund变换(定理1)及任意给定的种子解u1,v1,w1，只需要求解线性方程(25),即可求得Burgers方程(2)～(4)的无穷多新解.下面就一个特定的种子解，利用Bäcklund变换来寻求新的解.

3 3+1维Burgers方程的严格解

显然,式(23)和式(24)有下述严格解:

(26)

式(26)中：p=p(x,t),q=q(y,z,t),r=r(y,z,t)都是所示变量的函数.将式(26)代入式(22)可得，p=p(x,t)满足1+1维的Burgers方程

pt=2ppx+pxx.

(27)

将式(26)和式(27)代入式(25)得

ft=2pfx+2qfy+2rfz+Δf.

(28)

式(28)可以用分离变量法求解

(29)

式(29)中，变量分离解Pi=Pi(x,t)和Qi=Qi(y,z,t)满足的方程为：

Pit=2pPix+Pixx;

(30)

Qit=2qQiy+2rQiz+Δ2Qi,Δ2≡∂yy+∂zz.

(31)

由于p满足1+1维Burgers方程(27),式(30)可以进一步用分离变量法求解

(32)

而Pik=Pik(x)和Tik(t)由下式给定:

(33)

显然,式(33)的解可以表述为

(34)

对于Qi,可把方程(31)分3种情况求解.

情况1M=1.对于M=1,方程(31)可以很方便地求解，只要把Q1=Q当作任意函数，求出r为

(35)

情况2M=2.对于M=2,方程(31)也可以很方便地求解，只要把Q1和Q2当作任意函数，求出q和r为

(36)

情况3M>2.对于M>2，q和r 满足

qt=2qqy+qyy;

(37)

rt=2rry+ryy.

(38)

在这种情况下，式(31)可分解为

(39)

式(39)的解可以表示为

(40)

式(40)中：Cik,θik,kik是z的任意函数;Dij,φij,κij是y的任意函数.由于大量的任意函数的进入，3+1维Burgers方程的解具有非常丰富的结构.

4 结 论

利用奇性分析证明了3+1维Burgers方程具有Painlevé性质.利用截断Painlevé展开可得到3+1维Burgers方程的Bäcklund变换.利用3+1维Burgers方程的任意一个已知特解，可以得到无穷多的新的严格解.本文从一个1+1维的Burgers方程的特解出发，得到了具有大量任意函数的相当一般的解，充分揭示了3+1维Burgers方程解的丰富的结构.

利用Painlevé分析方法还可以得到大量的其他有意义的信息，如非局域对称等[9].限于篇幅，本文不再继续深入.

致谢:作者感谢楼森岳教授的有益指导、讨论及鼓励.

参考文献：

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[2]Lou Senyue,Lain Z J.Searching for infinitely many symmetries and exact solutions via repeated similarity reductions[J].Chin Phys Lett,2005,22 (1):1-4.

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[4]Jin Yan,Jia Man,Lou Senyue.Nonlocalization of nonlocal symmetry and symmetry reductions of the Burgers equation[J].Commun Theor Phys,2012,58(6):795-799.

[5]Lou Senyue,Yu Jun,Tang Xiaoyan.Higher dimensional integrable models from lower ones via miura type deformation relation[J].Z Naturforsch,2000,55a:867-876.

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[9]Cheng Xueping,Chen Cunli,Lou Senyue.Interactions among different types of nonlinear waves described by the Kadomtsev-Petviashvili equation[J/OL].(2012-08-16)[2013-04-26].http://arxiv.org/abs/1208.3259.