“等比数列的前n项和公式”同课异构的教学思考

冯斌

最近笔者参与了宁波某重点中学数学组常态课同课异构的教学研讨活动，教学课题是：人民教育出版社的普通高中课程标准实验教科书（必修）《数学5》第二章2.5“等比数列的前n项和”（第一课时）. 在教学和研讨活动中，不同层次的教师对“教”与“学”的关注维度与关注程度也是不同的，暴露出一些需要加强研究、提高认识的共性问题，本文从教师“教”的角度谈几点个人的思考.

一、教什么 —— “准”

“教什么”比“怎么教”更重要，教师对教学内容的准确理解和把握，是优质教学的基点之一. 等比数列求和公式是数列求和的化简式，用这个公式可以方便地求出任意等比数列的前n项和，是数列的核心知识之一，它不但在实际生产和生活中有广泛应用，而且渗透着重要的数学思想方法. 由于教学对象是省一级重点中学学生，所以教学预设中对学习目标及教学重点、难点、关键达成了以下的共识.

（1）学习目标

①会用多种方法推导等比数列求和公式，会用等比数列求和公式解决简单的等比数列求和问题.

②在学习过程中，领悟类比思想、分类讨论思想、函数方程思想和特殊到一般、观察、归纳等解决问题的方法.

③在学习过程中，提高分析问题、解决问题的能力，提高观察、交流能力和发散性思维能力.

④在学习过程中，激发勇于探索、创新的精神，培养“用数学”的意识和合作意识，形成良好的个性品质.

（2）教学重点、难点、关键

①重点：等比数列前n项和公式的推导方法，公式的简单应用.

②难点：等比数列前n项和公式的推导方法.

③关键：揭示知识的内在联系，启迪学生研究数学问题的思想方法.

二、怎么教 —— “活”

教无定法，贵在得法. 高中数学课堂教学不追求表面的热热闹闹，应为学生的思维发展而教，应在激活学生的思维上下工夫. 本次活动执教的教师是省一级重点中学的三位一级教师，都采取“问题引导学习”的教学，教学过程以“引入—提问—探究—应用—小结”为基本教学过程，教学方法都试图采用启发式与探究式相结合.

（1）问题的引入

教师A：某建筑队，由于资金短缺，向某砖厂赊借红砖盖房，可砖厂厂长很风趣，提出了这样一个条件：在一个月（30天）内，砖厂每天向建筑队提供10000块砖，为了还本付息，建筑队第一天要向厂方返还1块砖，第二天返还2块砖，第三天返还4块砖，即每天返还的砖数是前一天的2倍，请问，假如你是某建筑队的队长，你会接受这个条件吗？

教师B：借助PPT，回顾等差数列的定义、通项公式，重现等差数列前项和公式的推导过程. 接着提出问题.国际象棋起源于古代印度，关于国际象棋有这样一个传说.国王要奖赏国际象棋的发明者，问他有什么要求，发明者说：“请在棋盘的第1个格子里放上1颗麦粒，在第2个格子里放上2颗麦粒，在第3个格子里放上4颗麦粒，在第4个格子里放上8颗麦粒，依此类推，每个格子里放的麦粒数都是是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子. 请给我足够的麦粒以实现上述要求.” 国王觉得这个要求不高，就欣然同意了. 假定千粒麦子的质量为40克，据查，目前世界年度小麦产量约6亿吨，根据以上数据，你认为国王有能力满足发明者上述要求吗？

教师C：话说猪八戒自西天取经回到了高老庄，从高员外手里接下了高老庄集团，摇身变成了CEO，可不久，便因资金周转不灵而陷入了窘境，急需大量资金投入. 于是就找孙悟空帮忙，悟空一口答应：“行！我每天投资100万元，连续一个月（30天），但是有一个条件：作为回报，从投资的第一天起你必须返还我1元，第二天返还2元，第三天返还4元，即每天返还数是前一天的2倍.” 八戒听了，心里打起了小算盘. 假如你是高老庄集团企划部的高参，请你帮八戒分析一下，能答应悟空的这个条件吗？

比较三位教师，都是通过教师创设有趣的问题情境引入新课，情境设计跟教材保持一致，趣味性十足.从课堂气氛看也充分调动了学生的学习热情，是一种好的引入方式，不足之处是学生被动接受教师抛出的学习任务. 对重点中学的学生而言，笔者觉得在思维层次上有些单薄，建议尝试以下引入方案：

新方案1：教师用电脑屏幕展示以下两个问题：

问题1：棋盘上的麦粒数（同教材的引入），详见教师B.

问题2：某商场第1年销售计算机5000台，如果平均每年的销售量比上一年增加10％，那么第1年到第10年的总销售量为多少台？（教材例2的改变）

这样的设计不但让学生从数学角度看日常生活中的现象，体验数学与生活的密切联系，而且在建立数学模型的同时，可以抽象概括出更一般的问题：如何将单调、重复、烦琐的计算问题简化？从而引出本节课的研究课题——沿着古人的足迹来探究“等比数列的前n项和公式”.

新方案2：对于等比数列，我们已经研究了它的定义、通项公式，类比等差数列，同学们想一想，接下来我们要解决什么问题？

此方案是从完善认知结构的角度引入，虽然少了点趣味性，但自然流畅，且有利于培养学生的反思意识及自主提出问题的能力.

（2）问题的提出

因受“问题的引入”的牵制，三位执教教师不约而同地提出以下问题：

请同学们探究：求1+2+22+…+229的方法.

他们都是从最简单、最本质的等比数列“1，2，22，…”入手，符合学生的认知规律. 由于教师没有限制具体的计算方法，在听课过程中，笔者发现有部分学生仅仅停留在对具体“数”的计算，或逐项计算，或借助计数器，偏离了本节课的学习主题，经教师提醒后才回到教师预设的轨道上来.

如果按照“新方案”，则可以从一般的等比数列入手，提出以下的问题：｛an｝是公比为q的等比数列，求它的前n项和Sn.

并明确所要达到的目标是：将一个项数众多的求和，尽可能的用已知的基本量来简洁的表示，以简化我们的运算.

（3）问题的探究

推导等比数列前n项和公式是本节课的难点，而“错位相减法”是众多推导方法中的“核心算法”. 三位执教教师上课的共同之处是都分两个阶段完成问题的求解.第一阶段都是通过学生自主探究、合作交流，用错位相减法求得和：1+2+22+…+229，再用此算法求得一般等比数列的前n项和公式，这一阶段进行得非常顺利；第二阶段要求学生探究用其他方法推导公式，因教材没有这些内容，教师或者没有对学生作必要的策略指导，或者启发没有切中要害导致“启而不发”，最终教学过程没有在三位教师的课前预设中进行，“问题的探究”成了假探究. 三位教师在课堂的应变处理方法各不相同.

教师A：请同学们课后用其它方法推导等比数列前n项和公式. 这样做导致上课时间多余，让学生做题目来弥补.

教师B：教师用PPT展示，介绍等比数列前n项和公式的其它推导方法.

教师C：教师自己讲解其它推导方法，并在黑板上一一写出推导过程. 导致后面的教学环节时间不够，草草收场.

笔者以为本节课对“问题的探究”需要思考和研究以下三个问题：

问题1：除了“错位相减法”这个“核心算法”外，等比数列的前n项和公式的推导方法有很多，我们在时间有限的课堂如何作适当的取舍？

笔者认为应该根据学生的实际水平和课堂的生成情况，随机应变，顺势而为.

问题2：等比数列前n项的求和算法是如何想到的？可以借鉴的“化多为少”的“消项”经验有哪些？

这些方法对教师而言是天经地义的，但对学生而言则是不可思议的. 教师如何设计自然的过程，达到“道而弗牵，强而弗抑，开而弗达”的境界呢？笔者认为可以抓住以下三个关键点：

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关键之一，揭示等比数列概念的本质：①每一项乘以q就成了它的后一项，每一项除以q就成了它的前一项，即■=q，an=q·an-1（n≥2）；②每一项都可用基本量a1，q来表示.

关键之二，根据等差数列前n项和公式特征，运用类比方法明确研究的大致方向，即用a1，n，q或a1，an，q表示等比数列的前n项和.

关键之三，启发研究问题常用的思想方法：特殊到一般、等价转化、函数方程的思想等等.

问题3：等比数列前n项和公式的其它推导方法以什么样的方式教学？

三位教师都设法从条件出发，联想有关知识和方法进行推导，其实也可以从结论出发寻求方法：通过“错位相减法”得到结论后，可以从公式的结构形式联想到新的推导方法，如，由Sn=■（q≠1），可以发现1-qn=（1-q）（1+q+q2+…+qn-1）从而想到Sn=a1（1+q+q2+…+qn-1）=■；由Sn=■（q≠1），可以发现Sn-Snq=a1-anq，从而想到构造关于Sn的方程Sn+anq=a1+Snq求得，等等.

（4）公式的应用

教师A：已知等比数列■，■，■，….（1）求前8项和；（2）求第5项到第10项的和；（3）求前20项中所有偶数项的和.

教师B：已知等比数列■，■，■，….（1）求前8项和；（2）此等比数列的前多少项的和等于■；（3）求第5项到第10项的和.

教师 C：（1）求等比数列的前8项和：■，■，■，…； （2）求和：■+■+■+…+■；（3）求和：（x+■）+（x2+■）+…+（xn+■）（x≠0，n∈N*） .

三位教师都是在教材例1的基础上作了改编，围绕两个层次编题，各有侧重.

层次一：公式的基本应用（正用），目的是加深对公式的记忆与理解，体会等比数列的前n项和公式中有几个基本量及公式的特点，题目涉及含字母的讨论、项数等容易出错处.

层次二：公式的灵活应用（逆用、变形的应用），题目涉及构造新的等比数列、构造方程求解.

三、总结与反思

从教学过程可以看出三位教师对基本题型及解题套路非常娴熟. 笔者认为还可以作些改进.首先可以让学生回到“问题的引入”中，让学生运用公式解决问题，既体现公式的应用性，又能前呼后应. 其次，还可以在“错位相减法”及研究问题的方法上作适度的引申和拓展，让学有余力的学生的思维更上一个台阶.

三位教师都围绕知识点、思想方法让学生自己进行小结，教师作必要的补充完善.

笔者认为，“总结与反思”应从知识的归纳进一步延伸到思想方法提炼，把数学学习作为提高学生数学素养和文化水平的有效途径. 对解决问题的思想方法应避免“贴标签”式的总结，要凸显本质. 如“错位相减法”的适用范围，适用于等差数列与等比数列对应项乘积得到的新数列的求和. 又如，引导学生反思本节课研究问题的基本思路.

再如，作为研究问题方法的延伸，作为弹性作业，课后可以让有兴趣的学生探讨“等和数列”、“等积数列”的前n项和，使学有余力的学生的创造性有进一步发展的空间.

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关键之一，揭示等比数列概念的本质：①每一项乘以q就成了它的后一项，每一项除以q就成了它的前一项，即■=q，an=q·an-1（n≥2）；②每一项都可用基本量a1，q来表示.

关键之二，根据等差数列前n项和公式特征，运用类比方法明确研究的大致方向，即用a1，n，q或a1，an，q表示等比数列的前n项和.

关键之三，启发研究问题常用的思想方法：特殊到一般、等价转化、函数方程的思想等等.

问题3：等比数列前n项和公式的其它推导方法以什么样的方式教学？

三位教师都设法从条件出发，联想有关知识和方法进行推导，其实也可以从结论出发寻求方法：通过“错位相减法”得到结论后，可以从公式的结构形式联想到新的推导方法，如，由Sn=■（q≠1），可以发现1-qn=（1-q）（1+q+q2+…+qn-1）从而想到Sn=a1（1+q+q2+…+qn-1）=■；由Sn=■（q≠1），可以发现Sn-Snq=a1-anq，从而想到构造关于Sn的方程Sn+anq=a1+Snq求得，等等.

（4）公式的应用

教师A：已知等比数列■，■，■，….（1）求前8项和；（2）求第5项到第10项的和；（3）求前20项中所有偶数项的和.

教师B：已知等比数列■，■，■，….（1）求前8项和；（2）此等比数列的前多少项的和等于■；（3）求第5项到第10项的和.

教师 C：（1）求等比数列的前8项和：■，■，■，…； （2）求和：■+■+■+…+■；（3）求和：（x+■）+（x2+■）+…+（xn+■）（x≠0，n∈N*） .

三位教师都是在教材例1的基础上作了改编，围绕两个层次编题，各有侧重.

层次一：公式的基本应用（正用），目的是加深对公式的记忆与理解，体会等比数列的前n项和公式中有几个基本量及公式的特点，题目涉及含字母的讨论、项数等容易出错处.

层次二：公式的灵活应用（逆用、变形的应用），题目涉及构造新的等比数列、构造方程求解.

三、总结与反思

从教学过程可以看出三位教师对基本题型及解题套路非常娴熟. 笔者认为还可以作些改进.首先可以让学生回到“问题的引入”中，让学生运用公式解决问题，既体现公式的应用性，又能前呼后应. 其次，还可以在“错位相减法”及研究问题的方法上作适度的引申和拓展，让学有余力的学生的思维更上一个台阶.

三位教师都围绕知识点、思想方法让学生自己进行小结，教师作必要的补充完善.

笔者认为，“总结与反思”应从知识的归纳进一步延伸到思想方法提炼，把数学学习作为提高学生数学素养和文化水平的有效途径. 对解决问题的思想方法应避免“贴标签”式的总结，要凸显本质. 如“错位相减法”的适用范围，适用于等差数列与等比数列对应项乘积得到的新数列的求和. 又如，引导学生反思本节课研究问题的基本思路.

再如，作为研究问题方法的延伸，作为弹性作业，课后可以让有兴趣的学生探讨“等和数列”、“等积数列”的前n项和，使学有余力的学生的创造性有进一步发展的空间.

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关键之一，揭示等比数列概念的本质：①每一项乘以q就成了它的后一项，每一项除以q就成了它的前一项，即■=q，an=q·an-1（n≥2）；②每一项都可用基本量a1，q来表示.

关键之二，根据等差数列前n项和公式特征，运用类比方法明确研究的大致方向，即用a1，n，q或a1，an，q表示等比数列的前n项和.

关键之三，启发研究问题常用的思想方法：特殊到一般、等价转化、函数方程的思想等等.

问题3：等比数列前n项和公式的其它推导方法以什么样的方式教学？

三位教师都设法从条件出发，联想有关知识和方法进行推导，其实也可以从结论出发寻求方法：通过“错位相减法”得到结论后，可以从公式的结构形式联想到新的推导方法，如，由Sn=■（q≠1），可以发现1-qn=（1-q）（1+q+q2+…+qn-1）从而想到Sn=a1（1+q+q2+…+qn-1）=■；由Sn=■（q≠1），可以发现Sn-Snq=a1-anq，从而想到构造关于Sn的方程Sn+anq=a1+Snq求得，等等.

（4）公式的应用

教师A：已知等比数列■，■，■，….（1）求前8项和；（2）求第5项到第10项的和；（3）求前20项中所有偶数项的和.

教师B：已知等比数列■，■，■，….（1）求前8项和；（2）此等比数列的前多少项的和等于■；（3）求第5项到第10项的和.

教师 C：（1）求等比数列的前8项和：■，■，■，…； （2）求和：■+■+■+…+■；（3）求和：（x+■）+（x2+■）+…+（xn+■）（x≠0，n∈N*） .

三位教师都是在教材例1的基础上作了改编，围绕两个层次编题，各有侧重.

层次一：公式的基本应用（正用），目的是加深对公式的记忆与理解，体会等比数列的前n项和公式中有几个基本量及公式的特点，题目涉及含字母的讨论、项数等容易出错处.

层次二：公式的灵活应用（逆用、变形的应用），题目涉及构造新的等比数列、构造方程求解.

三、总结与反思

从教学过程可以看出三位教师对基本题型及解题套路非常娴熟. 笔者认为还可以作些改进.首先可以让学生回到“问题的引入”中，让学生运用公式解决问题，既体现公式的应用性，又能前呼后应. 其次，还可以在“错位相减法”及研究问题的方法上作适度的引申和拓展，让学有余力的学生的思维更上一个台阶.

三位教师都围绕知识点、思想方法让学生自己进行小结，教师作必要的补充完善.

笔者认为，“总结与反思”应从知识的归纳进一步延伸到思想方法提炼，把数学学习作为提高学生数学素养和文化水平的有效途径. 对解决问题的思想方法应避免“贴标签”式的总结，要凸显本质. 如“错位相减法”的适用范围，适用于等差数列与等比数列对应项乘积得到的新数列的求和. 又如，引导学生反思本节课研究问题的基本思路.

再如，作为研究问题方法的延伸，作为弹性作业，课后可以让有兴趣的学生探讨“等和数列”、“等积数列”的前n项和，使学有余力的学生的创造性有进一步发展的空间.

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