数学备课流程中亟待解决的几个问题

李印

常规备课流程大家早已熟知. 当下的备课流程重在什么内容要少讲，什么内容要多讲；什么内容讲方法，什么内容讲技巧；什么内容重过程，什么内容重结果；什么内容需预设，什么内容预知生成上有或多或少的困惑. 灵动教学，才能突出重点、化解难点，使不同层次的学生都有收获，得以发展. 现以 “苏科版数学七年级（上册）6. 1线段、射线、直线”为例，把笔者的备课思想与同仁们分享.

一、什么内容要“少讲”，什么内容要“多讲”

课堂上的“少讲”、“多讲”，不可千篇一律，应与诸多因素有关. 对于学生自学或通过合作学习，能解决的问题，通常不讲或少讲；对于学生比较纠结、特别难以解决的问题，要引导、支持，不但要讲，而且一定要讲明白、讲透彻.

备“线段基本事实的应用”. 打开中国地图让学生指出飞机飞行两个城市的距离.

【设计意图】让学生在事实应用中，经历体验建构，感受到应用数学知识给人们日常生活带来的帮助.

补充挑战题：

题1：如图1，一只蚂蚁从矩形的一个顶点A爬到另一个顶点C吃糖果，请给蚂蚁指出一条爬行最短的路径.

题2：如图2所示的正方体ABCD-EFGH中，在点A处有一只蚂蚁，在点G处放有一颗糖，蚂蚁怎样从正方体表面爬行，才能最短路程到达顶点G？

【设计意图】考虑到新旧知识的衔接，补充了一道运用正方体展开图与线段基本事实解决的综合问题2. 这道题既源于教材，又高于教材. 对于几何刚起步的七年级学生来说，起点高、跨度大，为了降低难度，设置了阶梯题1. 用题1作铺垫，学生容易联想运用刚学过的知识化解难点，正方体中含有点A、点G的两个面可有3种不同形式展开到同一个平面，如图3，化归为题1解决. 画三个看似一样的侧面展开图，这里不是多讲、重复. 突现的意图主要有四：一是追求教材的科学性，让学生增强思辨性和探究性；二是为学生后续阶段的学习着想，若将“正方体”改成“长方体”，六个面不全相等，则必须要全面考虑按主侧、主俯、侧俯三种形式展开的侧面图，运用勾股定理分别计算，通过比较三者的大小作出判断；三是教育均衡不是指把好学生的成绩拉下来，相反，要想方设法让他们的思维含量更高，增加优等生值得思考的问题，实现教育均衡的取向价值；四是现在的多讲，就是为了将来的少讲. 教师的教学要使学困生和优等生都能“跳一跳，触得到”，在最近发展区获得提高. 教师在教学中不要走极端：一种是生搬教材、照本宣科；另一种是随意“改编”教材，造成教学内容、要求偏离学习目标，导致教学低效.

根据学生的需求，该讲则讲. 核心知识、重要问题，需要舍得花时间，把问题给学生讲清楚. 例如，已知A，B，C三点在同一直线上，线段AB=a，线段BC＝b（a＞b），点M，N分别是线段AC，BC的中点，则线段MN的长是（ ）.

A.0. 5a B.0.5b

C.0.5（a－b） D.随点C位置而变化

要分两种情况画图、求解，通过结果让学生知道MN的长只与线段AB的长有关，而与点C的位置无关. 为了让学生加深对该题的理解，采用变式训练. 把原题改一个字母，将“点M是线段AC的中点”改为“点M是线段AB的中点”，问结果还一样吗？为什么不一样，要帮助学生分析、对比、归纳、小结这一改迥然不同的本质所在，同时，这个问题待讲到6.2角时，方法、结论可以对称运用到角中.

二、什么内容讲“方法”，什么内容讲“技巧”

问题是数学的心脏，思想是数学的灵魂，方法是数学的行为. 恰当的数学技巧有助于思想方法的理解与掌握，所以技巧是重要的，方法是必要的，思想与技巧同存．

引导学生探究直线基本事实．

已知点A，B. 探究1：过点A可以画几条直线？探究2：过A，B两点可以画几条直线？

拓展探究：过同一平面上三点A，B，C中的任意两个点画直线，可以画几条？

【设计意图】过一点可以画无数条直线，过两点能且只能画一条直线，这学生容易探究得到. 所以，在此基础上很有必要挑战，在同一平面上过三点可以画几条直线. 让学生从实践、操作——猜想、验证——归纳、反思中，体验分类讨论思想方法的内涵，同时学生的漏解，反过来加深学生对“三点共线”的理解，让学生依据一定的知识、数学思想方法，对直线的基本事实形成较为深刻的认知，让学生在潜移默化中得到提升. 学习几何，当题中没有给出几何图形时，我们必须根据题意，分析问题，补出图形，若画出的图形不唯一，则必须大胆提出问题，按同一标准补出所有符合题意的图形，做到既不重复，又不遗漏，然后，逐一分类解决问题．

由“两基”增加到“四基”，突出了基本思想方法. 数学思想是数学的本原、精髓、灵魂，它能体现一个中心，集中反映一个问题的内在本质.

例如，一条公路上有相距180km的A，B两个村庄，从A村出发的一辆汽车的速度为54km/h，从B村出发的一辆汽车的速度为36km/h. 两车同时相向而行，经过几小时后两车相距45km？讲好后，将题稍改，将原题中“相距180km、相向而行”改为“相距18km、同向而行”，其余不变. 原题是行程中的相遇问题，需考虑的是相遇前、还是相遇后两车相距45km. 改编后变为行程中的追及问题，需考虑是快车、还是慢车在前. 这里情形不确定，必须分情况讨论. 原题分类（相遇前、后）标准呈显性，改编题分类（快慢车前、后）标准呈隐性. 对优等生，还可以考虑两车行驶几小时后，其中一辆汽车进入服务区C休息20分钟，就会变得更精彩，一要考虑是相遇前进入服务区还是相遇后；二要考虑计算汽车行驶的路程时，要不要减去停留时间. 在这里，既运用了方法，又运用了技巧，是方法与技巧的集中体现，不可单一，如只用技巧，相遇问题有结论，速度和乘以相遇时间等于行驶路程，很容易在时间上出错；必须用方法对技巧作出科学合理的诠释.

三、什么内容重“过程”，什么内容重“结果”

生活中需要查询某一结果，若是单一或间断时间相当长，则是重结果；若是经常性地需要知道某一事件的结果，则必须掌握获得这一事件结果的过程. 单纯传授知识的教育是一种结果的教育、间接经验的教育，培养潜能、直接经验的教育是一种创新的教育，创新的教育更多的是一种过程的教育.

例如图4，点B，C在线段AD上.

（1）图中以A为一个端点的线段有哪些？以B为一个端点的线段有哪些？请你分别表示出来.

（2）图中共有几条线段？是哪几条？

追问：你是用什么方法数出共有多少条线段的？

【设计意图】有比较才有鉴别. 有许多问题没有对与错之分，只有通过获得结果的过程的比较，才能区分对问题本质理解的不同方法，有好与更好之选.

方法1分别从左向右依次以A，B，C为端点数出3，2，1后，再求和.在线段AD上增加一个点，共有几条线段？为什么？ 在线段AD上有n个点（包括线段的两个端点），共有几条线段？

方法2如何在图中数出以点A为一个端点的线段数？以点B为一个端点？线段总数？图中共有4个点A，B，C，D，除了点A外，还有3个点B，C，D，这样，点A与另外3个点分别组成3条线段，所以，以点A为一个端点的线段有3条.同理，以点B为一个端点的线段也是3条. 以一个点为端点的线段有3条，4个点共有3×4=12条.因为线段AB与线段BA是同一条线段，每条线段都重复计算了一次，所以，图中线段共有6条.在线段AD上有n个点（包括线段的两个端点），共有■条线段.

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拓展应用：n名同学聚会，每两个人握一次手，一共握手多少次？一共握手■次.

两种方法分别从两个不同的角度，形成知识“数线段”结果的过程，这种“数”的过程却是思维的制高点，因为这不仅需要知识与技能、抽象与演绎，更需要此基础上的数学直观、合情推理和数学活动经验. 方法1总结的结果学生易推导、理解，不便计算；方法2推导的结果科学、严谨，便于计算.同时，又进行了“多题一法”的学法指导，对于内涵相同的一类题目，淡化问题情境，引导学生揭示问题本质，学生印象深、记得牢，运用自如.说实话，尝试过的人都会说好：“就是想错也错不了. ”“过程”到“结果”“路径”有多个的“一题多解”，需要对解题方法进行优选，贴近学生的“最近发展区”，选择最适合学生的某一种或某一类.

四、什么内容需“预设”，什么内容望“生成”

正确把握预设和生成的辩证关系，预设下的生成更有助于完善预设的不足. 通常对提出的问题追问一个“为什么”，希望有生成来促进学习目标的完美实现. 预设是生成的基础，预设得当与否，直接关系到生成能否回到设计的原点或重新设计的框架上. 并非预设了都需要或有生成，所以提问“为什么”并不适用于所有的问题，它受许多因素的制约，有一定的局限性. 有时候追问一个“为什么”，雪中送炭；有时候追问一个“为什么”，雪上加霜.

如在出示如图5，到小树有三条路径让小兔选择时，聪明的小兔毫不犹豫地选择了路径②. 这时教者就不适宜追问“为什么”. 有时对预设追加“为什么”有精彩生成，如果为了生成而生成，就是变相的预设. 这种人造的生成，是达不到理想效果的. 例如，判别一个关系式是不是一次函数，“为什么y=-x2+（x+2）（x-1）+2可以先化简再判别，而y=■不可以？”这追问能帮助学生解决知识性和策略性障碍，使知识举一反三，学生能力得到快速提升. 引导过当也会降低对一个生成问题的探究价值.

又如学会线段、射线、直线的符号表示？

如图6，给出了大家熟悉的三角形，问图中有几条线段，请给线段取名字.估计学生难以用语言清晰地区分，准确说出线段的名字，仅从位置关系分辨出左、右、横；或斜、平. 应如何取一个简单明了的名字？激励学生带着阅读要求，给线段取名字，合作解决自学过程中的疑问.

再请同学们自主学习课本P.147最上一段.类比线段，用字母表示射线、直线；知道用字母表示射线、直线的注意点；掌握线段、射线、直线的联系与区别. 小组合作解决自学疑问：为什么表示线段、射线、直线时，一般都要在字母前注明是什么“线”？为什么表示线段、直线的两个大写字母可以交换位置，而表示射线的两个大写字母绝不能交换位置？

【设计意图】学生在小学数学四年级就认识了线段、射线、直线，了解它们各有几个端点、是否可以延伸与度量，初步知道了它们之间的联系与区别. 为了让学生在已有知识的基础上，重点对线段表示法进行合理讲解，使学生对线段的表示法有一定的系统认知能力和迁移能力. 在学生的感性认识有了相当的积累，理性认识达到了一定的深度后，推广并验证线段上有n个点表示线段的方法；在学会了线段的表示方法后，让学生类比联想给射线、直线取名. 类比联想不仅是一种思维方法和研究方法，还可作为教学的一种重要方法.

生成可遇而不可求，一切随“缘”而来. 在探索“过同一平面上三点A，B，C中的任意两个点画直线，可以画一条”时，学生生成了问题“过两点画直线，怎么又一条直线经过三点？”教师需要站在学生旁慢慢地等待，给学生留足思维的空间，让他们充分思考、释疑.

在“小结与思考”环节.

同学们，我们一起来回顾一下学过的线段、射线、直线的各自表示方法，以及线段、直线的两个基本事实.

1. 通过填表1，从图形、延伸性、能否度量中，我们进一步掌握了线段、射线、直线之间有哪些联系与区别.

2. 参照表1审查一下，我们已经对“线”知道了什么？学生口述（生成），老师整理（预设）.

3. 看图、说图、画图比赛. 比赛规则：同桌两人，一人面向屏幕，另一人反向. 看屏幕的人说图形给反向的人听，反向的人在纸上画出大致图形，比一比哪一组完成得既对又快. 完成了图7，交换位置再完成图8.

【设计意图】在这个环节中，打破常规（这节课你们学到了什么？有哪些收获？请与大家分享），创造性地运用预设的形式对本节课进行归纳小结. 预设填表帮助学生重拾回忆，构建新、旧知识的有机联系，使知识系统化、条理化，加深学生对线段、射线、直线联系与区别的理解. 通过提出注意点的方式，再次提醒学生注意本节课易犯错误的地方，是对重点、难点的又一次“洗礼”. 通过比赛的形式，训练学生根据文字语言画出图形. 开放的课堂，五彩缤纷，赋予了学生好动、好奇、好玩的学习激情. 由文字语言向图形语言转化的过程就是一个大脑对符号信息加工、整理的过程，是一次经过大脑深层次理解的过程，是一种创新，很受学生欢迎. 把学生较快领进最近发展区，有了突出重点、突破难点的真情流露，形成新知生成树，导入更新发展区，圆满达成本节课的学习目标，开创了另类课堂小结的风景.

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拓展应用：n名同学聚会，每两个人握一次手，一共握手多少次？一共握手■次.

两种方法分别从两个不同的角度，形成知识“数线段”结果的过程，这种“数”的过程却是思维的制高点，因为这不仅需要知识与技能、抽象与演绎，更需要此基础上的数学直观、合情推理和数学活动经验. 方法1总结的结果学生易推导、理解，不便计算；方法2推导的结果科学、严谨，便于计算.同时，又进行了“多题一法”的学法指导，对于内涵相同的一类题目，淡化问题情境，引导学生揭示问题本质，学生印象深、记得牢，运用自如.说实话，尝试过的人都会说好：“就是想错也错不了. ”“过程”到“结果”“路径”有多个的“一题多解”，需要对解题方法进行优选，贴近学生的“最近发展区”，选择最适合学生的某一种或某一类.

四、什么内容需“预设”，什么内容望“生成”

正确把握预设和生成的辩证关系，预设下的生成更有助于完善预设的不足. 通常对提出的问题追问一个“为什么”，希望有生成来促进学习目标的完美实现. 预设是生成的基础，预设得当与否，直接关系到生成能否回到设计的原点或重新设计的框架上. 并非预设了都需要或有生成，所以提问“为什么”并不适用于所有的问题，它受许多因素的制约，有一定的局限性. 有时候追问一个“为什么”，雪中送炭；有时候追问一个“为什么”，雪上加霜.

如在出示如图5，到小树有三条路径让小兔选择时，聪明的小兔毫不犹豫地选择了路径②. 这时教者就不适宜追问“为什么”. 有时对预设追加“为什么”有精彩生成，如果为了生成而生成，就是变相的预设. 这种人造的生成，是达不到理想效果的. 例如，判别一个关系式是不是一次函数，“为什么y=-x2+（x+2）（x-1）+2可以先化简再判别，而y=■不可以？”这追问能帮助学生解决知识性和策略性障碍，使知识举一反三，学生能力得到快速提升. 引导过当也会降低对一个生成问题的探究价值.

又如学会线段、射线、直线的符号表示？

如图6，给出了大家熟悉的三角形，问图中有几条线段，请给线段取名字.估计学生难以用语言清晰地区分，准确说出线段的名字，仅从位置关系分辨出左、右、横；或斜、平. 应如何取一个简单明了的名字？激励学生带着阅读要求，给线段取名字，合作解决自学过程中的疑问.

再请同学们自主学习课本P.147最上一段.类比线段，用字母表示射线、直线；知道用字母表示射线、直线的注意点；掌握线段、射线、直线的联系与区别. 小组合作解决自学疑问：为什么表示线段、射线、直线时，一般都要在字母前注明是什么“线”？为什么表示线段、直线的两个大写字母可以交换位置，而表示射线的两个大写字母绝不能交换位置？

【设计意图】学生在小学数学四年级就认识了线段、射线、直线，了解它们各有几个端点、是否可以延伸与度量，初步知道了它们之间的联系与区别. 为了让学生在已有知识的基础上，重点对线段表示法进行合理讲解，使学生对线段的表示法有一定的系统认知能力和迁移能力. 在学生的感性认识有了相当的积累，理性认识达到了一定的深度后，推广并验证线段上有n个点表示线段的方法；在学会了线段的表示方法后，让学生类比联想给射线、直线取名. 类比联想不仅是一种思维方法和研究方法，还可作为教学的一种重要方法.

生成可遇而不可求，一切随“缘”而来. 在探索“过同一平面上三点A，B，C中的任意两个点画直线，可以画一条”时，学生生成了问题“过两点画直线，怎么又一条直线经过三点？”教师需要站在学生旁慢慢地等待，给学生留足思维的空间，让他们充分思考、释疑.

在“小结与思考”环节.

同学们，我们一起来回顾一下学过的线段、射线、直线的各自表示方法，以及线段、直线的两个基本事实.

1. 通过填表1，从图形、延伸性、能否度量中，我们进一步掌握了线段、射线、直线之间有哪些联系与区别.

2. 参照表1审查一下，我们已经对“线”知道了什么？学生口述（生成），老师整理（预设）.

3. 看图、说图、画图比赛. 比赛规则：同桌两人，一人面向屏幕，另一人反向. 看屏幕的人说图形给反向的人听，反向的人在纸上画出大致图形，比一比哪一组完成得既对又快. 完成了图7，交换位置再完成图8.

【设计意图】在这个环节中，打破常规（这节课你们学到了什么？有哪些收获？请与大家分享），创造性地运用预设的形式对本节课进行归纳小结. 预设填表帮助学生重拾回忆，构建新、旧知识的有机联系，使知识系统化、条理化，加深学生对线段、射线、直线联系与区别的理解. 通过提出注意点的方式，再次提醒学生注意本节课易犯错误的地方，是对重点、难点的又一次“洗礼”. 通过比赛的形式，训练学生根据文字语言画出图形. 开放的课堂，五彩缤纷，赋予了学生好动、好奇、好玩的学习激情. 由文字语言向图形语言转化的过程就是一个大脑对符号信息加工、整理的过程，是一次经过大脑深层次理解的过程，是一种创新，很受学生欢迎. 把学生较快领进最近发展区，有了突出重点、突破难点的真情流露，形成新知生成树，导入更新发展区，圆满达成本节课的学习目标，开创了另类课堂小结的风景.

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拓展应用：n名同学聚会，每两个人握一次手，一共握手多少次？一共握手■次.

两种方法分别从两个不同的角度，形成知识“数线段”结果的过程，这种“数”的过程却是思维的制高点，因为这不仅需要知识与技能、抽象与演绎，更需要此基础上的数学直观、合情推理和数学活动经验. 方法1总结的结果学生易推导、理解，不便计算；方法2推导的结果科学、严谨，便于计算.同时，又进行了“多题一法”的学法指导，对于内涵相同的一类题目，淡化问题情境，引导学生揭示问题本质，学生印象深、记得牢，运用自如.说实话，尝试过的人都会说好：“就是想错也错不了. ”“过程”到“结果”“路径”有多个的“一题多解”，需要对解题方法进行优选，贴近学生的“最近发展区”，选择最适合学生的某一种或某一类.

四、什么内容需“预设”，什么内容望“生成”

正确把握预设和生成的辩证关系，预设下的生成更有助于完善预设的不足. 通常对提出的问题追问一个“为什么”，希望有生成来促进学习目标的完美实现. 预设是生成的基础，预设得当与否，直接关系到生成能否回到设计的原点或重新设计的框架上. 并非预设了都需要或有生成，所以提问“为什么”并不适用于所有的问题，它受许多因素的制约，有一定的局限性. 有时候追问一个“为什么”，雪中送炭；有时候追问一个“为什么”，雪上加霜.

如在出示如图5，到小树有三条路径让小兔选择时，聪明的小兔毫不犹豫地选择了路径②. 这时教者就不适宜追问“为什么”. 有时对预设追加“为什么”有精彩生成，如果为了生成而生成，就是变相的预设. 这种人造的生成，是达不到理想效果的. 例如，判别一个关系式是不是一次函数，“为什么y=-x2+（x+2）（x-1）+2可以先化简再判别，而y=■不可以？”这追问能帮助学生解决知识性和策略性障碍，使知识举一反三，学生能力得到快速提升. 引导过当也会降低对一个生成问题的探究价值.

又如学会线段、射线、直线的符号表示？

如图6，给出了大家熟悉的三角形，问图中有几条线段，请给线段取名字.估计学生难以用语言清晰地区分，准确说出线段的名字，仅从位置关系分辨出左、右、横；或斜、平. 应如何取一个简单明了的名字？激励学生带着阅读要求，给线段取名字，合作解决自学过程中的疑问.

再请同学们自主学习课本P.147最上一段.类比线段，用字母表示射线、直线；知道用字母表示射线、直线的注意点；掌握线段、射线、直线的联系与区别. 小组合作解决自学疑问：为什么表示线段、射线、直线时，一般都要在字母前注明是什么“线”？为什么表示线段、直线的两个大写字母可以交换位置，而表示射线的两个大写字母绝不能交换位置？

【设计意图】学生在小学数学四年级就认识了线段、射线、直线，了解它们各有几个端点、是否可以延伸与度量，初步知道了它们之间的联系与区别. 为了让学生在已有知识的基础上，重点对线段表示法进行合理讲解，使学生对线段的表示法有一定的系统认知能力和迁移能力. 在学生的感性认识有了相当的积累，理性认识达到了一定的深度后，推广并验证线段上有n个点表示线段的方法；在学会了线段的表示方法后，让学生类比联想给射线、直线取名. 类比联想不仅是一种思维方法和研究方法，还可作为教学的一种重要方法.

生成可遇而不可求，一切随“缘”而来. 在探索“过同一平面上三点A，B，C中的任意两个点画直线，可以画一条”时，学生生成了问题“过两点画直线，怎么又一条直线经过三点？”教师需要站在学生旁慢慢地等待，给学生留足思维的空间，让他们充分思考、释疑.

在“小结与思考”环节.

同学们，我们一起来回顾一下学过的线段、射线、直线的各自表示方法，以及线段、直线的两个基本事实.

1. 通过填表1，从图形、延伸性、能否度量中，我们进一步掌握了线段、射线、直线之间有哪些联系与区别.

2. 参照表1审查一下，我们已经对“线”知道了什么？学生口述（生成），老师整理（预设）.

3. 看图、说图、画图比赛. 比赛规则：同桌两人，一人面向屏幕，另一人反向. 看屏幕的人说图形给反向的人听，反向的人在纸上画出大致图形，比一比哪一组完成得既对又快. 完成了图7，交换位置再完成图8.

【设计意图】在这个环节中，打破常规（这节课你们学到了什么？有哪些收获？请与大家分享），创造性地运用预设的形式对本节课进行归纳小结. 预设填表帮助学生重拾回忆，构建新、旧知识的有机联系，使知识系统化、条理化，加深学生对线段、射线、直线联系与区别的理解. 通过提出注意点的方式，再次提醒学生注意本节课易犯错误的地方，是对重点、难点的又一次“洗礼”. 通过比赛的形式，训练学生根据文字语言画出图形. 开放的课堂，五彩缤纷，赋予了学生好动、好奇、好玩的学习激情. 由文字语言向图形语言转化的过程就是一个大脑对符号信息加工、整理的过程，是一次经过大脑深层次理解的过程，是一种创新，很受学生欢迎. 把学生较快领进最近发展区，有了突出重点、突破难点的真情流露，形成新知生成树，导入更新发展区，圆满达成本节课的学习目标，开创了另类课堂小结的风景.

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