Hom-Hopf代数上的L-R smash积

郑乃峰, 孔翔

(1.宁波大学理学院,浙江 宁波 315211;2.宁波工程学院理学院,浙江 宁波 315211)

Hom-Hopf代数上的L-R smash积

郑乃峰1, 孔翔2

(1.宁波大学理学院,浙江 宁波 315211;2.宁波工程学院理学院,浙江 宁波 315211)

在Hom-Hopf代数上,定义了L-R smash积概念并讨论了它的相关性质,给出了L-R smash积是Hom-Hopf代数的充要条件.

Hom-Hopf代数;L-R smash积;Hom-双模代数

1 引言

Hom-代数的概念是由Makhlouf和Silvestrov于 2006年在研究拟李代数时引入的[1]. Hom-代数推广了结合代数,把结合代数中的结合性法则作了形变,将其变成了线性变换α结合性条件,即α(a)(bc)=(ab)α(c).随着Hom-代数研究的深入,一些学者在文献[2-4]中又陆续引入了Hom-余结合余代数、Hom-双代数和Hom-Hopf代数等,给出了一些重要的结论.

Smash积是Hopf代数理论中的重要概念之一,近年来,人们对其做了各种形式的推广.如文献[5]给出了一种新的Smash积,使Smash积和交叉积均是它的特例;而文献[6-7]分别给出了Hopf代数和拟Hopf代数的L-R smash积的概念.本文利用Hom-双模代数,构造了Hom-Hopf代数上的L-R smash积,并给出了L-R smash积是Hom-Hopf代数的充要条件.

本文的所有工作都是在域k上进行的.所讨论的模、张量积和线性映射均指域k上的.文中将使用Sweedler关于余代数余乘法的记号

S(或SH)表示Hom-Hopf代数H的对极映射.

2 L-R smash积

关于Hom-代数、Hom-余代数及Hom-Hopf代数的概念和性质,可参阅文献[1-4,8-9].本节先介绍Hom-模代数和Hom-双模代数的概念,后构造Hom-Hopf代数上的L-R smash积,并给出L-R smash积是Hom-Hopf代数的充要条件.

设(H,β)是Hom-双代数,(A,α)是Hom-代数.如果有一个线性映射

使下面条件成立:

则称(A,α)是左H-模Hom-代数.同理可定义右H-模Hom-代数.若(A,α)既是左H-模Hom-代数又是右H-模Hom-代数,且满足下式:

则称(A,α)是H-双模Hom-代数.

定义2.1设(H,β)是Hom-双代数,(A,α)是H-双模Hom-代数.令线性映射

在张量空间A⊗H上有一个代数结构,称为L-R smash积,记作(A♯H,γ),对任意a,b∈A, h,g∈H,其乘法运算规定如下:

则有如下结论.

定理2.1设L-R smash积(A♯H,γ)的定义如上,则(A♯H,γ)是以1A♯1H为单位元的Hom-代数.

证明对任意a,b,c∈A和h,g,k∈H,直接计算,有

下面证明(A♯H,γ)满足Hom-结合律.

即L-R smash积(A♯H,γ)是一个Hom-代数.

注2.1如果α和β是恒等映射,即对任意的a∈A和h∈H,有则L-R smash积(A♯H,γ)是文献[6-7]中的L-R smash积.如果Hom-代数(A,α)的右H-模作用是平凡的,则L-R smash积(A♯H,γ)是Hom-代数上的smash积.

引理2.1设(A♯H,γ)为L-R smash积,则对任意a,b∈A和h,g∈H,下面关系式成立:

证明直接验证可得.

下面给出L-R smash积(A♯H,γ)是Hom-双代数的充要条件.

定理2.2设A,H是Hom-双代数,则L-R smash积(A♯H,γ)是Hom-双代数,当且仅当对任意的h∈H,a∈A,下列条件成立:

其中(A♯H,γ)的余代数结构是Hom-张量积余代数,其余乘和余单位定义为:

进一步地,如果(A,α)和(H,β)是Hom-Hopf代数,其对极映射分别为SA和SH,则(A♯H,γ)也是Hom-Hopf代数,其对极映射S为:

证明ε是Hom-代数同态当且仅当(4)式成立,直接验证即可.下面证明△是Hom-代数同态当且仅当(5)-(7)式成立.设a,b∈A和h,g∈H,有

反之,如果△是Hom-代数同态,则由等式

展开可得:

把IA⊗εH⊗IA⊗εH作用于上式两端,可得条件(5)的前一式成立.把εA⊗IH⊗IA⊗εH作用于上式两端,可得条件(6)成立.

由等式

展开可得:

把IA⊗εH⊗IA⊗εH作用于上式两端,可得条件(5)的后一式成立.把IA⊗εH⊗εA⊗IH作用于上式两端,可得条件(7)成立.

同理可证

因此,(A♯H,γ)是Hom-Hopf代数.

[1] Makhlouf A,Silvestrov S.Hom-algebras structures[J].J.Gen.Lie Theory Appl.,2008,2:51-64.

[2] Makhlouf A,Silvestrov S.Hom-algebras and Hom-coalgebras[J].J.Alg.Appl.,2010,9:553-589.

[3] Caenepeel S,Goyvaerts I.Monoidal Hom-Hopf algebras[J].Comm.Alg.,2011,39:2216-2240.

[4] Yau D.Hom-bialgebras and comodule Hom-algebras[J].Inter.Elect.J.Alg.,2010,8:45-64.

[5] 郑乃峰.(ω,σ)-Smash积和(υ,α)-Smash余积[J].纯粹数学与应用数学,2012,28(2):167-175.

[6] Zhang L Y.L-R smash products for bimodule algebras[J].Prog.Natu.Scie.,2006,166:580-587.

[7] Panaite F,Oystaeyen F V.L-R smash product for(quasi)Hopf algebras[J].J.Algebra,2007,309(1):168-189.

[8] Yau D.Hom-quantum groups I:quasi-triangular Hom-bialgebras[J].arXiv:0912.4128.

[9] Zheng N F.The quasi-triangular structures of Hom-ω-smash product Hopf algebra[J].Chinese Annals of Mathematics,2013,34A(6):689-708.

L-R smash product for Hom-Hopf algebras

Zheng Naifeng1,Kong Xiang2
(1.Faculty of Science,Ningbo University,Ningbo 315211,China;
2.Faculty of Science,Ningbo University of technology,Ningbo 315211,China)

In this paper,we give the concept of L-R smash product over Hom-Hopf algebras and investigate their properties.In addition,the necessary and sufficient conditions for(A♯H,γ)to be Hom-Hopf algebra are given.

Hom-Hopf algebra,L-R smash product,Hom-bimodule algebra

O153.3

A

1008-5513(2014)04-0354-06

10.3969/j.issn.1008-5513.2014.04.004

2014-03-23.

郑乃峰(1968-),副教授,研究方向：Hopf代数及量子群.

2010 MSC:16W30