在初中数学教学中促成发散思维的实践与尝试

徐德川

摘要：从发散性思维形成的机制入手,提出了数学学科促成学生发散思维的优势，阐述了结合初中数学教学中促进发散思维形成谈几点体会。

关键词：初中数学教学；发散思维；促成；实践

【中图分类号】G633.6

思维是核心,是形成各类综合能力的基础,而发散性思维能力更是让学生适应未来创新型社会所必须的能力。《初中数学课程标准》(2011版)也指出“数学旨在发展学生的思维能力，把知识作为思维过程的材料和媒介”。为此，初中数学教学不能单纯地引导学生模仿与记忆，应该充分利用学科优势，引导学生在动手实践、自主探索、合作交流等系列学习活动过程中，逐步提升思维能力,进而提高发散思维能力。只有这样，才能增进学生的思维广度和深度,有利于培养学生适应未来生活、工作和学习的能力。

一、初中数学教学对促成发散思维的作用

发散思维(divergent thinking)，也称求异思维，是指对已知信息进行多方向、多角度的思考，不局限于既定的理解，从而提出新问题、探索新知识或发现多种解答和结果的思维方式。它的特点是要揭示同一事物现象之间的差异,揭示已知与未知之间的矛盾对立统一的关系。发散思维能力的提高,不仅能够增强学生的思维广阔性、求异性，还可以增强学生思维的流畅性、灵活性、创造性与变通性。心理学研究告诉我们,每个人都有潜在的研究和探索的心理需求，在初中数学教学过程中，教师应有意识地引导学生将这种潜在需求转化为对发散思维方式的积极探寻。

1.初中数学概念教学是促成发散思维的有效载体

数学概念是进行判断、推理的基础，清晰的概念是正确思维的前提。在概念教学中，我们往往不是平铺直叙地讲解概念，需要引领学生从“纵、横、深、广、活”等方面向外拓展，而这一过程就是学生对数学知识和方法形成的理性认识过程，也是促成发散思维的过程。比如在学习“无理数”的概念时，我们往往不是直接解释“无理数”的概念，而是先解决形如“已知正方形的面积求正方形的边长”问题，在解决这类问题时会产生一类数，利用“逼近法”发现，这类数“无限而不循环”，不同于前面所学的有理数，“这是一类什么样的数呢”，从而引发了学生的第一次思考；在给出“无理数”的概念后，“能否在数轴上表示无理数”“如何在数轴上表示无理数”，引发了学生的第二次思考；“两个无理数的和（或积）一定是无理数吗”，又引发了学生的第三次思考……从以上过程可看出，此过程是学习概念的同时也同样地促成发散思维的过程。

2.初中数学习题教学是促成发散思维的重要工具

数学学习离不开习题教学，而习题教学是促成发散思维的重要工具。如引导学生求图形面积时,对于规则的图形，同学们只需考虑运用什么面积公式即可，难度不大；然而遇到不规则图形，就需要思考“用什么方法解决”“如何化不规则图形为规则图形”“还有最优方法吗”等等，难度就增加了，就需要同学们有一定的发散思维能力。因此，在习题教学过程中，教师若能抓住这些契机,结合发散思维形成机理，以习题为工具，有目的、有计划地培养学生掌握思维方法，将会更加有利于促成发散思维。

3.初中数学复习教学是促成发散思维的有力抓手

复习的功能就是帮助学生梳理知识、构建体系、总结方法，以进一步巩固和熟练掌握基础知识和基本技能，并提高运用知识分析问题和解决问题的能力。如果能充分利用复习课的这些特点培养学生的思维，将是促成发散思维的有力抓手。如复习二次函数时，可引导学生思考“本章学了哪些内容”，“如何构建二次函数的知识网络”，“解决二次函数问题有哪些方法”，“二次函数与一次函数、反比例函数在图象和性质上有哪些相同之处和不同同之处”，“能归纳出研究函数的一般规律吗”等等问题，增加学生思维的广阔性和变通性、灵活性，培养学生思维的求异性和创造性，促使学生进一步对所学知识重新认识和重新理解，使学生在原有的认知基础上取得新的知识生长点，推进学生发散思维的形成。

二、结合初中数学教学促成发散思维的实践

在初中数学教学中，如何有效地促成学生的发散性思维呢？在教学实践中，笔者做出了如下实践探索：

1.创设情景，给发散思维之起点

思源于疑，疑在于点。在数学课堂教学过程中，要善于结合问题点创设情景，激发兴趣，促进学生自觉地围绕某一个问题点去进行积极思维，给学生思维活动以最直接、最活跃的推动力。如：

例1．在一个平面内有35个点，每两点之间连一条线段，共能连几条线段？

分析：面对此题，学生可能毫无兴趣，如果教师把此题稍加修改，变为：“本班35位同学两两握手，共握几次手？”问题情境变了，与自身有关，学生就有了兴趣，教师再引导学生进行探求，学生的思维就有了积极性，问题也就能顺利解决。

因此，在数学课堂教学中，教师不仅要有创新意识，要精心设计问题，为培养学生的创造性能力创设良好的情境，更应该设法充分调动学生的创造热情，给学生自由创造的时间和空间，诱发学生发散思维的发展。

2.开放例题，促发散思维之形成

数学教学离不开例题的讲解，而例题选择的质量对培养学生数学思维将起到至关重要的作用。目前初中数学教学中，紧盯知识形成的现象尤为普遍，显得教学比较“小气”。我们应该多设计开放性例题，帮助学生打开思维，提高思维品质，促进学生发散性思维养成。

例2：命题“有两边和一角对应相等的两个三角形全等”是____（填“真”或“假”）命题。

此问题的解答并不难，但简单的回答只能完成本道题的解决，而学生的思维却无法打开。为改变这一现象，我们可以将此例题更改为如下问题：大家都知道，有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等。那么，你能列举出不全等时候的反例吗？你又能说出几种情况下两个三角形会全等？

这样改编之后，学生的思维也就打开了，学生不仅会思考不全等的反例，还会积极思考哪些情况下会全等。这样，就提高了学生的思维品质，促进了发散思维的形成。

3.一题多用，达发散思维之目标

解题过程是数学教学必经之路，在解题过程中我们不要单纯地考虑学生解题能力的提升，更要强调学生知识的自我构建。在初中数学教学中，教师不仅要培养学生的解题能力，更要激发和鼓励学生在学习过程中主动生成问题，以此来活跃数学思维，进一步发展自己的求异思维和创造思维。

⑴利用“一题多解”，沥青发散思维路径

“一题多解”是指从不同侧面,用不同方式、不同途径来解决同一问题。对于一道数学题，从不同角度审视而得到不同的解题方法是促成发散思维的一种基本途径，也有利于培养思维的灵活性和广阔性。

案例3:计算： (尽可能用多种方法).

解法一: ;

解法二: ;

解法三: ;

解法四: .

可见，教师若能抓住了有利时机，有意识地启发、引导学生在所学的知识范围内，尽可能地提出不同的新构想，追求更好、更简、更巧、更美的解法，这不仅有利于对基础知识的纵横联系和沟通，而且也有利于促进学生的发散思维能力的养成。

⑵利用“一题多探”诱发散思维于深入

“一题多探”的教学模式有如下两种形式的教学设计：结论开放和条件开放。当前教科书和作业本中的所设计习题，大部分还是传统封闭题，它的已知条件和结论都是确定的，这种习题使得运用知识的思维极具单向性、局限性，根据教学实际，适当改变练习的方式和形式，布置开放式的作业，可以使知识的使用密度得到提高，诱发思维的探究性与发散性进一步深入。

例4：请你设计一个问题，使解为x＞1：___________。

此问题的答案不唯一，我们可以认为是不等式的解，列一个不等式，如x-1＞0； ＞x等；我们可以认为是求范围，如求函数 中自变量x的取值范围；我们可以认为是一个应用题的解，如从甲地到乙地的时间超过1小时，则实际时间x的范围为_____；我们还可以数形结合，设计两个函数值大小比较的题目等等。总之，此题的设计打破了传统教材对学生思维的束缚，给学生提供了广阔的想象空间，让学生多角度、多方面、多层次设计问题，很好地促进了学生的发散思维，让学生展开想象的翅膀，在天空中翱翔。

⑶利用“一题多变”引发散思维于广阔

数学问题千变万化，但问题往往又是万变不离其宗。用“一题多变”模式是将数学问题的条件、结论同时发散，就是通过一道题目的变换引深使学生在解题中发现新知识，掌握变异规律，灵活运用所学知识去解决新问题的能力，起到举一反三，触类旁通之效。

例5：如图二（1），E是直线CD上的一点，已知平行四边形ABCD的面积为52cm2，则ΔABE的面积为_______cm2.

此题解答并不难，利用同底等高得出 即可。如果改变条件或结论我们就可得出如下题目：

变式一（改变条件）：如图二（2），E是直线CD上的一点，已知等腰梯形ABCD的面积为52cm2,则ΔABE的面积为_______cm2.

变式二（改变结论）：如图二（3），E是直线CD上的一点，已知四边形ABCD是平行四边形，连结AE，交BC于P，连结DP，试说明ΔDPC与ΔBPE的面积相等。

这样，通过变式练习，提高了学生分析问题和解决问题的能力，由一题变一串，开阔了视野,拓广了思路，促成了学生的发散思维。

⑷用“一错多析”促发散思维于深刻

通过对一题的多处错误的分析,发现其错误原因，进而找到解决问题的正确途径。加深学生对所学知识的进一步理解,开拓思维的深刻性。

案例6：判断如下命题是否是真命题：“如果三角形一个角的平分线平分这个角的对边，那么这个三角形一定是等腰三角形。”

一种错解是（如图三（1））：由已知条件“BD＝CD，AD＝AD，∠BAD＝∠CAD”得出△ABD≌△ACD，故AB＝AC，所以△ABC是等腰三角形，此命题是真命题。

另一种错解是（如图三（1））：由已有条件无法证出△ABD和△ACD不全等，故△ABC不是等腰三角形，此命题是假命题。

仔细分析后知，第一种错解的原因是利用“SSA”证出两个三角形全等；第二种错解的原因是结论不对，虽然不能证两个三角形全等，但还有其它方法证明此命题是真命题。正确解法是：由“AD是∠BAC有平分线”可联想到“过点D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F（如图三（2））”，再证出“△BDE≌△CDF，得到∠B＝∠C”，则此命题是真命题。

从上例可看出，错解没关系，切忌错了之后不找原因听之任之。在平时的教学中要注意引导学生去分析错解的原因，理解错误，加深对问题的理解，更进一步地发展自己的思维。

三、促进学生发散思维能力形成的实践体会

在促成学生发散思维能力时我们应当注意到,促进发散思维的流畅度、变通度和独创度虽然各自具有本身的方法和特点,但是它们之间有着干丝万缕的联系,常常是在对某一方面进行重点训练时,其他方面也随之有相应“增值”。在这三个维度中,从思维的复杂性和价值而言,流畅度、变通度、独创度是依次递进的三个层次。初中学生正处于创造性思维的形成期,为了不失时机地培养学生的创造力,我们应当根据学生的心理特点,从促进学生发散思维的流畅度、变通度和独创度入手,加强对学生发散思维能力的培养。

参考文献

[1]《浅谈数学思维能力的培养》，郭永红，郭朝彬，安阳师范学院学报，2009，4：117

[2]《数学课程标准》（2011版），北京师范大学出版社，2012年1月

[3]《浅谈数学教学中学生发散思维能力的培养》，李晓红，山东煤炭管理干部学院学报，2008，2：28