巧用比较，提升数学思维品质

瞿小炜

著名教育家乌申斯基认为：“比较是一切理解和思维的基础，我们正是通过比较来了解世界上的一切的。”比较在数学学习过程中的作用，更是不可替代、不可估量的。它既能让学生在比较的过程中消化旧知，又能在比较的过程中消除新旧知识的障碍，突破新旧知识的难点，更能让学生在比较的过程中灵活运用新知。下面，笔者就以自己执教《三位数乘两位数》的练习课为例谈谈这方面的体会。

一、抓住学生发言对比——体现数学语言精确性

教学伊始，我先出了四道计算题。

[380×22 170×60 500×43 40×205][3 8 0][2 2][×] [1 7 0][6 0][×] [4 3][5 0 0][×] [2 0 5][4 0][×]

学生计算之后汇报结果，正确率很高。这是一个令人欣喜的现象，照理应该马上进入下一个环节，但十多年的教学经验告诉我：如果仅仅满足于计算结果正确与否，那这组题的设计意图还不能得以充分体现。于是在学生计算之后，我让学生观察并说一说，你发现了什么？

生：第3题在列竖式的时候要将43写在上面，500写在下面，第4题与此相同。

师：看来列竖式之前我们还要仔细观察数字的特征，不能提笔就写。

生：乘数末尾的0的个数与积末尾的0的个数是有关系的。

师：什么关系？

生1：两个乘数末尾一共有几个0，积的末尾就一共有几个0。

生2：我不同意他的观点，我觉得应该是乘数的末尾一共有几个0，积的末尾可能有几个0。比如说第4题，乘数的末尾只有一个0，而积的末尾却有两个0。

生3：我觉得可以将“可能”这个词换成“至少”，这句话就变成“乘数的末尾一共有几个0，积的末尾至少有几个0”。

出示刚才学生回答的三句话作为判断。

师：请你们参照这四道题目，观察并仔细辨别一下这三句话，到底怎么说比较精确呢？

学生通过辨别讨论，得出结论：“乘数的末尾一共有几个0，积的末尾至少有几个0”这句话的叙述更为精确，因为乘数末尾的0的个数只能确定积的末尾至少有几个0。

由学生自己观察、比较得出结论，不管正确与否，都是学生积极思考的见证。在层层比较与深入辨析之后，学生对知识的理解更为透彻与深入，实现了知识理解由表及里地不断内化。学生在理解数学语言的精确性的同时，也能深刻意识到，真理就是在不断地探寻与斟酌、比较与辨析中形成的。

二、动态呈现对比题组——激发应用规律自觉性

学生初步感知到精确“比较”带来的成就感，我紧接着做了书本上的一组口算题。

[6.算一算，比一比。

11×60 20×32 13×20

11×600 200×32 13×300

110×60 20×320 130×30]

【案例A】这组以口算为主的计算，大多教师教学时都是这么处理的：让学生独立口算，校对计算结果之后，再让学生比一比、说一说发现了什么。这样的处理方式，我仔细算了一下，时间花费比较多，更重要的是在“比一比”这个环节，学生得出的都是一些浅层的比较结果，总给人一种为了“比”而“比”的感觉，没有挖掘出题组蕴含的更为深刻的数学本质。

【案例B】在深入思考之后，我决定这么处理：我先挑出三组中的前两组，进行口算。

学生很快就将答案算出来了。接着，我让学生观察每组题目，你发现了什么？学生稍微动动脑筋就能想到：每组题目都只算了一道算式，比如说第一组题目，我们都只算了11×6，最后的乘积只要看清楚两个乘数的末尾共有几个0，就在积的末尾添几个0。紧接着再追问：你能根据前两组的答案直接写出第三组的答案吗？

学生很顺利地完成了。照理说，这道题到这儿已经是将“比较”出的规律用之于实践了，但是我没有就此打住。光有思维的顺延我感觉还不够，紧接着，我又出了一道乘法算式32×2=64，问：如果要让积变成640，你知道前面的算式是什么吗？

生1：320×2。

生2：也可以是32×20。

师：如果积是6400呢？

生1：320×20。生2：32×200。生3：3200×2。

师：真是一群聪明的孩子。那你有没有发现这里面隐藏着的规律呢？

生：积里面一共多了几个0，只要在乘数里加上几个0就可以了。这个0到底加在哪个乘数的后面，没有任何关系。

到这里，这组题目完成了计算—比较—发现规律—顺运用规律—逆运用规律的完美统一。我跳出了以计算为重点的圈子，让学生在计算后比较，发现题目隐藏的一些规律，从规律的总结中再反过来运用。学生在比较、总结、逆运用的过程中深刻理解了乘数末尾的0和积的末尾的0相互之间的紧密联系，进一步强化了本课的教学重点，攻破了教学难点。

三、深入规律内涵比较——增强思维水平深刻性

依然是上面一组题目中的最后一小组。这组题目已经完成了一个使命：让学生深入理解乘数末尾的0与积的末尾的0的关系。在备课的时候我想，继续将此题深入挖掘，让学生发现积的变化规律。

（1）320×20=6400，（2）32×200=6400，（3）3200×2=6400。

师：观察这组题，我们一起来思考一下，为什么只要积是6400，乘数末尾的两个0就可以随意“溜达”到第一个或第二个乘数的末尾呢？

生：如果以第一道和第二道算式为例，第一个乘数320变成32，缩小了10倍，第二个乘数由20变成200就扩大了10倍，这样扩大和缩小的倍数正好相互抵消掉，积就不会变了。

师：观察得真够细致的。他不仅用到了我们常用的一种数学思想——抵消，还揭示了乘法中的一个重要规律，叫作积的变化规律。（板书）endprint

师：一道乘法算式中，如果积不变，两个乘数可以随意变化。想一想，两个乘数到底可以怎样变化呢？

生：一个乘数扩大，另一个乘数缩小，只要倍数相同，就能正好抵消，积不变。

师：如果一个乘数不变，另一个乘数变化。积会怎样？

生：积也会跟着变化。

师：如果两个乘数都变化，它们的积呢？

生：积有可能会变，也可能不变。比如说，如果两个乘数扩大和缩小的倍数相同，积就不会变；如果两个乘数扩大和缩小的倍数不相同，积就会变化。

师：两个乘数的变化，又分为哪些情况？

生1：一个乘数扩大，另一个乘数也扩大。

生2：一个乘数扩大，另一个乘数缩小。

生3：一个乘数缩小，另一个乘数也缩小。

学生能回答得如此流畅，是出乎我的意料的。接着，我出了一组关于两个乘数扩大或缩小的例子让学生练习，从整十整百倍，一直延伸到整亿倍，学生在深刻理解积的变化规律之后，居然也能对答如流。如果说数字出得小，学生是简单的模仿，那么等数字大到一定程度时，就不是模仿能解决的了，这需要学生对知识有本质的理解并能灵活运用。

这些知识难点，都在不断深入的比较之后，如揭开层层面纱般，让学生在探索之后享受深入思考带来的愉悦。

四、创设习题比较训练——启迪思维宽度延伸性

本课的最后一组题目，书本上是以这样的形式出示的：□□×□□=2400，在方框里填上合适的数字。这是两位数乘两位数的乘法，算是紧扣本单元的知识重点。但我总觉得以这样的形式出现，思维显得有些局限。于是我又出了这样一组题目：

[10.你能在□里填上合适的数字，使等式成立吗？

□□×□□=1600

（ ）×（ ）=2400]

两题同时出示，我让男生做上面一题，女生做下面一题。结果在预料之中：男生填写的都是两位数乘两位数，女生填写的几乎跟男生一样。

我故作镇定地说：原来这两题是一样的啊，真是多此一举，为何还要分开来做呢？几个细心的女生提出了抗议。题目的细节一经点拨，许多孩子恍然大悟：方框一题已经框定了两个乘数是两位数，而小括号一题，可选择的余地更大，可以是两位数乘两位数，也可以是一位数乘三位数或是四位数。

有学生填1×2400，肯定了答案之后，这个答案看上去意义不大，但我却看出了它蕴含的独特意义。我继续提问：这儿的1是不是已经最小了呢？一石激起千层浪。有学生居然想到了0.12×20000，并且用积的变化规律解释得天衣无缝，真是意料之外的惊喜。这道题，原本的意图是让学生关注出题细节的比较，却无意中打开了学生思维的阀门，再一次证明了积的变化规律在深入理解之后给人带来的欣慰。一个小小的细节比较，更能提醒他们突破固有的思维定式，使思路变得更为开阔。

小学数学中的许多内容既有联系又有区别，在教学中有些比较是我们教师有意而为之的，但有些比较是我们意料之外的，是课堂随机生成的。不管是哪一种情况，比较能贯通知识间的相互联系，能让学生学得轻松；比较能让学生的思维从肤浅走向深刻，从简单走向丰满。?endprint