向思维更深处漫溯

申明生

【摘 要】学生对数学学科感受最多的是抽象和枯燥，学习中往往表现出消极、惧怕甚至排斥的不良心态，难以达到理想的学习效果。如何改变这种状况，使学生进入一个对数学学习充满自信的新境界，应该是数学教师在课堂教学中首先要思考和探索的问题。

【关键词】高考；数学试题；课堂探究；解析

中图分类号：G622 文献标识码：A 文章编号：1671-0568 （2014）10-0059-04

一般而言，学生对数学学科感受最多的是抽象和枯燥，学习中往往表现出消极、惧怕甚至排斥的不良心态，难以达到理想的学习效果。如何改变这种状况，使学生进入一个对数学学习充满自信的新境界，应该是数学教师在课堂教学中首先要思考和探索的问题。

经命题专家潜心研究、精心打造的高考数学试题，以其结构简洁、内涵丰富、亲切自然、不落俗套等特点成了高考的试金石。在平日的课堂教学中，若能依据教学内容和学生的实际，适时地“试炼”，悉心引导学生全方位多视角欣赏其内涵之慧、理性之精、方法之妙，对试题进行深刻而富有诗意的探究解析，必将会化枯燥无味为愉悦好玩，从而激发学生的学习兴趣，提高学生的学习水平，不断地增强学生学习数学的积极性和主动性。本文是对一道高考试题探究性学习的课堂实录，经过笔者的鼓励和引导，激发了学生的极大兴趣，唤起了学生求知欲，通过广泛而深入的思考和分析，出乎意料地探究出了诸多个性化的求解方法，使得整个课堂好戏连连，精彩不断，既充满了诗情画意，又收获了累累硕果！

题目：（2013年全国高考数学新课标Ⅰ卷理科第16题）若f（x）=（1-x2）（x2+ax+b）的图象关于直线x=-2对称，则f（x）的最大值为 。

探究：

教师：这是一道函数题，属于中学数学的“核心内容”。表面上看起来题目的表述自然简洁，内容浅显亲切，犹如清澈的溪水，平静舒展，浅可观底，应该是一道较容易的题。但是，从我校高考问卷统计显示的数据来看，考生的得分却并不乐观，因此，又属“颇有难度”的试题。本节课我们就知难而进，彻底揭开该试题的神秘面纱，一探其究竟。记得叶剑英元帅曾用《攻关》一诗祝贺我国第一次科学大会的胜利召开，其诗曰：“攻城不怕坚，攻书莫畏难，科学有险阻，苦战能过关。”相信同学们会有顽强的意志和必胜的信心来战胜它的！

（笔者的一番描述和激励，恰似和煦的春风，迅速吹遍了大地山川，使得树木渐渐地披上了浓浓的绿装。学生们立即对此试题产生了强烈的好奇心和浓厚的兴趣，开始了积极的探究之旅。由于试题有较自然的思维切入点——图象的对称性，所以，在短暂的思考之后，学生们就抢先发表了自己的思路。）

1. 青山遮不住，毕竟东流去。

学生1：我认为利用函数图象的对称性可以列出关于a、b的二元一次方程组，解出后代入得到多项式函数的解析式，用求函数导数的方法，先求出驻点，判断函数的单调性，再求函数的最大值。

教师：很好，这是一个很自然的思路，同学们顺着这个思路做一做，看看究竟如何？

（巡视一周，果然不出所料，发现确实有不少学生对三次多项式的因式分解存在较大问题。这与初中教材中对此内容只作蜻蜓点水般地简单介绍，而不作较深入的学习有关，这也是把此题作为探究性课题的原因之一，使解题陷入困境。不过，片刻后，还是生1示意解出了结果。）

教师：请把你的解法展示出来。

教师：解答的很好！那么，请未解出来的学生说说，在哪些地方存在问题？

学生2：老师，我一时无法对f'（x）=-4x3-24x2-28x+8进行因式分解，因此无法继续进行下去。

教师：这个问题提的好，可能也是个共性问题，也许就是因为这个知识的盲点，导致了考生的失分！此处是需要较强的代数变换能力和计算能力的，我们现在就此问题做些探究和复习……

（面对这一现实，笔者课前已有充分地准备。通过几个典型的例子，在学生1的配合下，把因式分解的常用方法及试根法作了复习和补充。因为这是学生们渴望要解决的问题，所以很快地就掌握了一定的方法和技巧，顺利地完成了本题的解答。）

教师：上述解法，中规中矩，自然流畅，实属通性通法。把图象的对称性作为思考问题的切入点和突破口加以转化，这一点弥足珍贵。虽然同学们各自列出的方程组不尽相同，难度也略有差异，但均求出了a、b的值，实现了函数式的已知化。接下来，面临着三次多项式因式分解的问题，有一部分同学表现出基本功扎实并且具有一定的韧劲，顺利地求出了正确的结果，但还有不少学生出现了解题的“危机”，受到了一定的挫折而未能顺利地到达期望的彼岸。虽曾有“求而不得”的短暂叹息，但我们及时地发现了问题且解决了问题，为继续前进扫除了障碍，铺平了道路，找到了解题的突破口，体现了探究课的价值，实乃可喜可贺！同学们，我们的探究还要继续。

2. 连雨不知春去，一晴方觉夏深。

学生3：老师，我有不同的方法，比解法1要简单，不需要判断单调性。

教师：不判断单调性就可以求最大值吗？请你将解法展示出来。

教师：此解法确实简单了许多。从对称性和已知的函数式出发，不断地寻求联系，进行转化，特别是数形结合思想下“根轴法”的巧妙应用，使得不需要判断单调性就确定了函数的最大值点，思路确实宽阔！我总结他的解题方法有如下特点：数形结合，恰到好处；转换思维，灵活多变；以形补数，化繁为简；再唱主旋律，重聚正能量。虽未避开因式分解之繁难，但却一扫判断单调性之繁琐。

（对学生2能联系到使用“根轴法”的思路，同学们倍加赞赏，啧啧称奇！但突然学生4提出了别样的思路。）

3. 春雨断桥人不渡，小舟撑出绿阴来。

学生4：我觉得不必要解出最大值点就可以求出最大值，可以避免较大的计算量。

教师：是吗？还有更妙的方法？请展示你的精彩解法。endprint

教师：果然不求函数的极大值点就求出了函数的极大值！他在解法2的基础上进行了局部的改进和创新，“青出于蓝而胜于蓝”，省却了解方程和计算的步骤，思路独到，精致巧妙。当求极值点成为思维的惯性之时，此法急流勇退，以退求进，采用设而不求，整体代入的方法，使得解答以“风卷残云”之势而终结。

（学生们激动地报以一片掌声！未等掌声停息，学生5就站了起来。）

4. 解落三秋叶，能开二月花。

学生5：老师，说实话，我没能分解出因式，但是我不服气。一直在想着是不是有办法可以不去求导数，避免复杂的三次多项式的因式分解而解决问题呢？我终于有了！只需求出函数式，就可以用初中数学的基本方法——换元法、二次函数配方法等数学方法来轻松获解，并且还十分简单。

教师：你的想法太让我们感动了！请你闪亮登台，展示出你的精彩解法。

（此法展示后，同学们报以热烈的掌声，经久不息！学生5眼眶里含着成功的泪水。）

教师：此解法甚佳，简直就是一首歌！过往的经验告诉我们，在探究学习的旅途中，不经意从最基本的知识和方法中掬起一汪活水，你会惊喜地发现，在这汪活水深处有一方湛蓝的天！学生5的解法不就证明了这一点吗？他扬长避短，另辟蹊径，仅用不超越初中数学的知识和方法，就使高考题得以化繁难为简易，轻松获解。不禁令人对此“推陈出新”的解法拍案叫绝！同学们，思考探究无终点，让我们乘势而进，继续进行探究。

（就在全班学生激情洋溢之时，善于思考的学生6举起了手，一语惊众生！）

5. 浓绿万枝红一点，动人春色不须多。

（面对眼前这巧妙的解法，学生们又是一阵阵热烈的掌声！）

教师：妙极了，同学们的掌声已说明了他解法的精彩！关于对称性的使用，虽然解法1也是取了对称的两点，但这位同学取了更加特殊的两个零点，使得不求a、b的值而直接得到了函数的表达式，大大地简化了解题过程，降低了解题难度。不仅如此，它的另一功能是为使用二次函数求最值的方法起到了方向性的引导。方法巧妙，过程简洁，一箭双雕，实在是独具慧眼，为解法4锦上添花，使其解法更加完美。

（当学生们还在回味学生6的解题思路时，又有学生7将对称性继续进行了精彩的演绎！）

6. 秋月扬明辉，冬岭秀寒松。

学生7：老师：我再一次使用了对称性，又得到了一个可用均值不等式求最大值的新解法，而且非常简单。

教师：真是这样吗？请展示你的精彩解法。

（课堂上又出现了一片掌声，有的学生大呼：“精彩！”“精彩！”）

教师：甚妙，甚妙！前面的解法用到了导数法、因式分解法、二次函数配方法等方法，这位同学又提供了均值不等式法，可以说同学们对问题进行了全方位多角度的探究和思考，丰富了我们的经验，开阔了我们的视野。学生7对题目条件的深刻理解和灵活应用，对数与形的紧密结合和相互转化以及对使用均值不等式条件的本质认识和巧妙构造，都显示了他的数学思维和解决问题的能力。

（这时，下课的铃声响了，学生探究的兴趣依然浓厚……）

7. 正是江南好风景，落花时节又逢君。

一节好课，既需要个人的激情睿智与创新的独奏，也需要团队的共励共奋与共享。教师要饱蘸着主体的生命激情在课堂思维流、激励语和诗情画意的多元立体交融中，热情洋溢地予以学生探究的牵引、点拨和评价，使之激溅回旋，迸发出心智的灵感火花。

“春风朝夕起，吹绿日日深”。当学生自主探究的兴趣如春风般被吹拂时，他们的思维之树就会枝繁叶茂，更加郁郁葱葱！思维在继续，精彩在期待！愿学生们继续徜徉在这诗情画意的解法美景中，去感受数学的博大精深和美妙！

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大开眼界的学术大餐

2013年，《新课程研究（基础教育版）》全新改版，华丽转身。

从杂志的外在形式上看，杂志一改过去单调乏味的黑白色版面印装，采用精美的彩色印刷，给人以强烈的视觉冲击，让人耳目一新，可以瞬间激发起一股热切的阅读欲望。从杂志的内在品质上看，《新课程研究》精心设计的栏目体现出了编辑的匠心独运，用心良苦。“环球长镜头”，让我们了解异域他乡的教育风情，让人大开眼界；“特级讲艺堂”，国内顶尖特级教师和名家教授们对某一问题的深入讲演，使我们与名家零距离、面对面，聆听大家的声音，涵养自己的学识；“教育自由谈”，各位全国知名的“大家”与一些名不见经传的小人物，同台发表观点，自由阐述自己的教育主张，可谓精彩纷呈，让人领略着中国教育人的一份份厚重的教育良心；尤其要提及的是每期策划栏目，杂志社的编辑们对栏目的全心投入、精心制作，保证了每一期的策划都是那么的让读者心动不已，就某一话题约请国内这方面的知名学者进行深入分析探究，使读者对该问题有一个既有广度又有深度，又有宏观又有微观的全方位、多视角的了解，这样的学术大餐真让一线教师过足了瘾。

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教师：果然不求函数的极大值点就求出了函数的极大值！他在解法2的基础上进行了局部的改进和创新，“青出于蓝而胜于蓝”，省却了解方程和计算的步骤，思路独到，精致巧妙。当求极值点成为思维的惯性之时，此法急流勇退，以退求进，采用设而不求，整体代入的方法，使得解答以“风卷残云”之势而终结。

（学生们激动地报以一片掌声！未等掌声停息，学生5就站了起来。）

4. 解落三秋叶，能开二月花。

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（就在全班学生激情洋溢之时，善于思考的学生6举起了手，一语惊众生！）

5. 浓绿万枝红一点，动人春色不须多。

（面对眼前这巧妙的解法，学生们又是一阵阵热烈的掌声！）

教师：妙极了，同学们的掌声已说明了他解法的精彩！关于对称性的使用，虽然解法1也是取了对称的两点，但这位同学取了更加特殊的两个零点，使得不求a、b的值而直接得到了函数的表达式，大大地简化了解题过程，降低了解题难度。不仅如此，它的另一功能是为使用二次函数求最值的方法起到了方向性的引导。方法巧妙，过程简洁，一箭双雕，实在是独具慧眼，为解法4锦上添花，使其解法更加完美。

（当学生们还在回味学生6的解题思路时，又有学生7将对称性继续进行了精彩的演绎！）

6. 秋月扬明辉，冬岭秀寒松。

学生7：老师：我再一次使用了对称性，又得到了一个可用均值不等式求最大值的新解法，而且非常简单。

教师：真是这样吗？请展示你的精彩解法。

（课堂上又出现了一片掌声，有的学生大呼：“精彩！”“精彩！”）

教师：甚妙，甚妙！前面的解法用到了导数法、因式分解法、二次函数配方法等方法，这位同学又提供了均值不等式法，可以说同学们对问题进行了全方位多角度的探究和思考，丰富了我们的经验，开阔了我们的视野。学生7对题目条件的深刻理解和灵活应用，对数与形的紧密结合和相互转化以及对使用均值不等式条件的本质认识和巧妙构造，都显示了他的数学思维和解决问题的能力。

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一节好课，既需要个人的激情睿智与创新的独奏，也需要团队的共励共奋与共享。教师要饱蘸着主体的生命激情在课堂思维流、激励语和诗情画意的多元立体交融中，热情洋溢地予以学生探究的牵引、点拨和评价，使之激溅回旋，迸发出心智的灵感火花。

“春风朝夕起，吹绿日日深”。当学生自主探究的兴趣如春风般被吹拂时，他们的思维之树就会枝繁叶茂，更加郁郁葱葱！思维在继续，精彩在期待！愿学生们继续徜徉在这诗情画意的解法美景中，去感受数学的博大精深和美妙！

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（学生们激动地报以一片掌声！未等掌声停息，学生5就站了起来。）

4. 解落三秋叶，能开二月花。

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（就在全班学生激情洋溢之时，善于思考的学生6举起了手，一语惊众生！）

5. 浓绿万枝红一点，动人春色不须多。

（面对眼前这巧妙的解法，学生们又是一阵阵热烈的掌声！）

教师：妙极了，同学们的掌声已说明了他解法的精彩！关于对称性的使用，虽然解法1也是取了对称的两点，但这位同学取了更加特殊的两个零点，使得不求a、b的值而直接得到了函数的表达式，大大地简化了解题过程，降低了解题难度。不仅如此，它的另一功能是为使用二次函数求最值的方法起到了方向性的引导。方法巧妙，过程简洁，一箭双雕，实在是独具慧眼，为解法4锦上添花，使其解法更加完美。

（当学生们还在回味学生6的解题思路时，又有学生7将对称性继续进行了精彩的演绎！）

6. 秋月扬明辉，冬岭秀寒松。

学生7：老师：我再一次使用了对称性，又得到了一个可用均值不等式求最大值的新解法，而且非常简单。

教师：真是这样吗？请展示你的精彩解法。

（课堂上又出现了一片掌声，有的学生大呼：“精彩！”“精彩！”）

教师：甚妙，甚妙！前面的解法用到了导数法、因式分解法、二次函数配方法等方法，这位同学又提供了均值不等式法，可以说同学们对问题进行了全方位多角度的探究和思考，丰富了我们的经验，开阔了我们的视野。学生7对题目条件的深刻理解和灵活应用，对数与形的紧密结合和相互转化以及对使用均值不等式条件的本质认识和巧妙构造，都显示了他的数学思维和解决问题的能力。

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一节好课，既需要个人的激情睿智与创新的独奏，也需要团队的共励共奋与共享。教师要饱蘸着主体的生命激情在课堂思维流、激励语和诗情画意的多元立体交融中，热情洋溢地予以学生探究的牵引、点拨和评价，使之激溅回旋，迸发出心智的灵感火花。

“春风朝夕起，吹绿日日深”。当学生自主探究的兴趣如春风般被吹拂时，他们的思维之树就会枝繁叶茂，更加郁郁葱葱！思维在继续，精彩在期待！愿学生们继续徜徉在这诗情画意的解法美景中，去感受数学的博大精深和美妙！

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