等变η形式正则性的新证明

李 琦

（渤海大学数理学院，辽宁锦州121013）

等变η形式正则性的新证明

李 琦

（渤海大学数理学院，辽宁锦州121013）

将等变η形式的定义推广至较一般的紧纤维丛沿纤维方向Clifford代数丛的自伴Clifford模上，给出了一个关于其正则性的新证明.由于将原有定义中纤维奇数的条件推广至任意维数，因而得到更一般的结果.

等变η形式；正则性；等变指标定理

1989年，关于纤维附带Spin结构的紧纤维丛，在沿纤维方向的狄拉克算子可逆的条件下，J－M.Bismut与J.Cheeger定义了一个底空间上的微分形式˜η，并称之为η形式［1］.在纤维为偶数维的条件下，η形式可以看做此纤维丛族指标的某个超度.在文献［2］中，戴先哲教授去掉了定义中沿纤维方向的狄拉克算子可逆的条件.紧接着，N.Berline等人将Spin条件推广到沿纤维方向Clifford代数丛的自伴Clifford模上，并对纤维丛族指标的超度进行了研究［3］.最近王勇教授对沿Spin奇数维纤维有紧李群作用的紧纤维丛定义了等变η形式，并证明了其正则性［4］.本文的目的即在于沿着文献［3］的思想，将等变η形式的定义推广至较一般的紧纤维丛，并给出了一个关于其正则性的新证明.

1 等变η形式

设π：M→B是一个底空间为紧流形B，纤维为紧流形X的纤维丛，（TX，ɡM／B）为其相对切丛，（ε，ɡε）为相对于Clifford代数丛c（T X）的自伴Clifford模，PTX为从TM到TX的正交投影.设THM为TX在TM中的补子丛.记｛fp，fq，fr，…｝，｛ei，ej，ek，…｝与｛ea，eb，ec，…｝分别为TB，TX与TM的局部正交基，则｛，…｝为THM的局部正交基.设TM，TB分别为（M，ɡTM）与（B，ɡTB）上的Levicivita联络，则ΔTX＝PTXΔTMPTX为TX上的联络，S＝ΔTM－π＊ΔTB⊕ΔTX为第二基本形式.设ε为ε上保度量的Clifford联络.我们在TM上定义退化的Clifford代数丛m（TM）如下：

其中fp，H与ei分别为fHp与ei的对偶.由以上记号，作用在Γ（M，π＊Λ＊T＊B⊗ε）上的Bismut超联络可记为

记

假设存在紧李群G作用在M上，并保持纤维不变且此群作用可提升至丛ε上，与联络Δε可换.不失一般性，我们假设G等距作用在M上.

定义Treven为B上所有偶形式的迹［4］，那么对于任意维数的纤维，记n＝dimX，我们可以定义

其中Trs为超迹，而且α∈Ωp（B）.

设DX为沿纤维方向的狄拉克算子，本文假设ker DX为B上的向量丛.

定义1 对于任意ɡ∈G，假设ker DX为B上的向量丛，我们定义等变η形式为B上的微分形式

注记 当纤维为奇数维Spin流形，且ε为纤维的Spinor时，定义与文献［4］一致.

需要注意的是，上述积分在t→0与t→＋∞时的收敛性并不显然.也就是说到目前为止，此定义是否为良好定义仍有待商榷.本文即对此积分的收敛性（正则性）加以证明，从而指出其为合理定义.

在实际应用中，最常见的非Spin结构的自伴Clifford模结构即为Spinc结构.此时Spinc结构对应的Spinor即为一个自伴Clifford模.鉴于任意复向量丛与近复流形均具有Spinc结构，故本文的推广更具一般性.

2 等变η形式的正则性

对于定义1中的积分项，当t→＋∞时，

参见文献［3］定理9.23，故只需对积分项在t→0处的正则性进行研究.

定理1 当t→0时，

证明 设R＋＝（0，＋∞），考虑一个新的纤维丛˜π：˜M＝M×R＋→˜B＝B×R＋，纤维˜X＝X.设新纤维丛相对切丛的度量为ɡ˜M／˜B＝s－1ɡM／B，新联络为原联络与R＋方向平凡联络的组合，新Clifford模为˜ε＝ε×R＋，Clifford联络为Δ˜ε＝Δε＋dR＋.由文献［3］的引理10.33可知，新纤维丛上的Bismut超联络为

因此

对˜A应用局部族指标定理，因为ɡ与As可交换，可知当t→0时，根据Duhamel原理，

令s＝1，则

设˜Xɡ为˜X关于ɡ的不动点集，定义

其中a∈Γ（˜M，Endc（T＊˜X）˜ε）.由等变族指标定理（纤维偶数维时参见文献［5］的定理1.3，奇数维时应用文献［6］的定理2.10技巧化为偶数维），有

与ds无关，故α0＝0.定理得证.

在无紧李群作用时，本文研究的η形式出现在最新数学领域微分K理论中，作为微分K群等价关系的一部分，在微分K理论的几何模型中起到了关键的作用，并可以用来描述理论物理交换场论中场的量子奇异性.从此角度分析，由物理学中的对称性出发，带紧李群作用的微分K理论将会在交换场论中有更深刻的应用，而我们给出的等变η形式的良好定义，将是研究等变微分K理论几何构造的第一步.另一方面，η形式在某种程度上可以看做Arakelov几何中全纯解析挠率的实域对应.等变η形式研究的深入必将对等变全纯解析挠率的研究产生影响，并且能够加深对算术代数几何中算术黎曼洛赫定理的理解.

致谢：东北师范大学王勇教授对本文给予了帮助，在此表示衷心感谢！

［1］ BISMUT J－M，CHEEGER J.Eta invariants and their adiabatic limits［J］.J Amer Math Soc，1989，2（1）：33－70.

［2］ DAI X.Adiabatic imits，nonmultiplicativity of signature，and Leray spectral sequence［J］.J Amer Math Soc，1991，4（2）：265－321.

［3］ BERLINE N，GETZLER E，VERGNE M.Heat kernels and Dirac operators［M］.Berlin：Springer－Verlag，2004：1－368.

［4］ WANG Y.A note on equivariant eta forms［J／OL］.www.Arxiv.org.Arxiv：110.5013.

［5］ LIU K，MA X.On family rigidity theorems［J］.Duke Math J，2000，102（3）：451－474.

［6］ BISMUT J－M，FREED D.The analysis of elliptic familiesⅡdirac operators，eta invariants，and the holonomy theorem［J］.Comm Math Phys，1986，107（1）：103－163.

A new proof of the regularity of equivariant eta form

LI Qi
（School of Mathematics and Physics，Bohai University，Jinzhou 121013，China）

The author extends the definition of the equivariant eta form to the more general case and gives a new proof of the regularity.In this new definition，the author removes the condition odd dimensional fiber in the reference.

equivariant eta form；regularity；equivariant index theorem

O 186.16 ［学科代码］ 110·27

A

（责任编辑：陶 理）

1000－1832（2014）02－0022－03

10.11672／dbsdzk2014－02－005

2013－11－02

霍英东教育基金资助项目（121003）.

李琦（1963—），女，副教授，主要从事微分几何、代数研究.