偏差依赖于未知函数的高阶泛函微分方程的振动定理

2014-06-27林丹玲

东北师大学报（自然科学版） 2014年2期

关键词：变元充分条件奇数

林丹玲

（韩山师范学院数学与应用数学系，广东潮州521041）

偏差依赖于未知函数的高阶泛函微分方程的振动定理

林丹玲

（韩山师范学院数学与应用数学系，广东潮州521041）

考虑高阶泛函微分方程

建立其一切有界解振动的充分条件，推广和改进了已有工作中的相应结果，其中n≥2，偏差变元Δj（j＝1，2，…，k）依赖于独立变量t和未知函数x.

高阶微分方程；时滞依赖未知函数；有界解；振动

1 预备知识

考虑时滞依赖于未知函数的高阶泛函微分方程

其中偏差变元Δj（j＝1，2，…，k）依赖于独立变量t和未知函数x.假设下列条件对j＝1，2，…，k成立：（A1）qj（t）∈C（［t0，∞），R＋），t0＞0，R＋＝［0，∞），且存在j0∈｛1，2，…，k｝，使得qj0（t）＞0，t≥t0；（A2）Δj［t，u］∈C（［t0，∞）×R，R），且对于每一固定的满足｜u｜≤D（D为正常数）的u，有Δj［t，u］＜t，且

（A3）Δj［t，u1］≤Δj［t，u2］，当u1≤u2＜0时；Δj［t，u1］≥Δj［t，u2］，当0＜u1≤u2时；且Δj［t1，u］≤Δj［t2，u］，当0≤t1≤t2时.

定义1［1］实值函数φ（t）称为方程（1）的解，如果它在［t0，∞）上定义，有n阶导数并且满足下列条件：

其中ψm（t）是定义在初始集合

上的函数.本文考虑方程（1）的解集

我们假设函数qj（t）和Δj［t，u］使得方程（1）存在属于S的解.

定义2 方程（1）的解称为振动的，如果它有任意大的零点；否则称它为非振动的.

近年来泛函微分方程解的振动性研究取得了丰硕成果［1－6］，但其中大多数结果对偏差变元仅依赖于时间t.我们注意到偏差变元同时依赖于状态x（t）和时间t的方程在理论上和实际应用中有重要意义.然而目前文献中此类方程的振动结果还不很多［7－14］，已有工作中主要是关于一阶和二阶方程解的振动性和渐近性的研究，而对一般高阶方程的振动定理尚未见到.本文的目的是给出高阶方程（1）的一切有界解的振动定理.

当方程（1）中偏差变元Δj（j＝1，2，…，k）不依赖x（t）时，有如下重要特例：

G.Ladas等人在文献［15］中证明了当k＝1时，方程（E1）的一切有界解振动的必要充分条件是

文献［3］给出，若n为奇数，q（t）＞0且g（t）≤t非减，则方程（E2）的每一解振动的充分条件是

最近，文献［16］证明了，若n为奇数，qj（t）＞0且Tj（t）＞0，j＝1，2，…，k，则方程（E3）的每一解振动的充分条件是

本文得到的结果不仅适用于n为奇数，而且也适用于n为偶数，因此，它部分地推广和改进了文献［3，15－16］中的有关结果.

2 主要结果

为证明本文的定理，我们需要下面两个引理.

引理1［3］设y（t）是R＋上的n次可微函数且具有常号，∃t≥0，使得y（n）（t）≠0，在［t1，∞）上满足y（n）（t）y（t）≤0，则：

（ⅰ）存在t2≥t1，使得函数y（j）（t）（j＝1，2，…，n－1）在区间［t2，∞）上常号.

（ⅱ）存在整数l，0≤l≤n－1，当n为偶数时，l为奇数；当n奇数时，l为偶数.使得

引理2［3］设y，y′，…，y（n－1）在区间（t0，∞）上绝对连续且常号，若y（n）（t）y（t）≥0，则下列结论之一成立：

（ⅰ）y（t）y（j）（t）≥0，j＝0，1，…，n.

（ⅱ）存在整数l，0≤l≤n－2，当n为偶数时，l为偶数；当n奇数时，l为奇数.使得

本文主要结果为下述定理.

定理1 设条件（A1），（A2）和（A3）成立.若对每一固定的u（｜u｜≤D），有

证明设方程（1）存在有界非振动解x（t），不失一般性，不妨设x（t）＞0，t≥t1≥t0.由条件（A2）和（A3），存在t2≥t1，使得

方程（1）可写为

注意到条件（A1），（A3），（3）式和x（t）＞0，我们有

因此，存在t3≥t2，使得当t≥t3时，x（j）（t）定号，j＝0，1，…，n－1.

先令n为偶数，则x（n）（t）＞0.故由引理2，存在t4≥t3和偶数l使得（C3）和（C4）式对t≥t4成立.

首先，设l≥2，则x″（t）＞0，t≥t4.故x′（t）单调非减.又因x′（t）＞0，此与x（t）的有界性矛盾.因此，l＝0，故有

对任意u和v（u≤v）应用Taylor公式，注意到（6）式，我们得到

从条件（A2），（A3）和（7）式可以看出，存在t5≥t4，使得对于t≥s≥t5，有

用qj（s）乘（8）式，并对j从1到k求和，注意到条件（A3），得到

利用（4）和（9）式，并注意到n为偶数，有

从Δ＊［t，x（t）］到t关于s对（10）式积分，得

由不等式（5）知，x（n－1）（t）非减.注意到Δ＊［t，x（t）］的定义，得到

因此，我们有

考虑到条件（A3）和表达式（Δj［t，x（t）］－Δj［s，x（s）］）n－1中解出x（t）是正的，我们得到如下估计：

利用条件（2）和（13），有

在（14）式中因x（t）非减，并满足条件（A3），可重写为

上式等价于

在（6）式中令j＝n－1，得到

注意到（15）和（16）式，由（12）式产生

（17）式与（6）式矛盾.因此，当n为偶数时，方程（1）的每一有界解振动.

其次，设n为奇数，则由方程（1）我们得到x（n）（t）＜0.故由引理1，存在t2≥t1和偶数l使得（C1）和（C2）对t≥t2成立.如同n为偶数的情况一样，设l≥2，则由（C1）式得x（j）（t）＞0，j＝0，1，2.这与x（t）的有界性矛盾，因此l＝0.由（C2）式，我们有

显然，（18）式即为（6）式.应用Taylor公式和（6）式，同样得到（7）式.因n为奇数，故（－1）n－1＝1.于是，（7）式成为

接下来的讨论与n为偶数的情况一样.我们可以得到x（n－1）（t）＜0.但此与（18）式矛盾.因此，当n为奇

数时，方程（1）的有界解均振动.定理证毕.例1 考虑二阶方程

其中M和N为正常数且满足条件

因此，根据定理1，方程（19）的每一有界解振动.

例2 考虑三阶方程

因此，根据定理1，方程（21）的每一有界解振动.

［1］ SHEVELOV N.Oscillation of solutions of differential equations with deviating arguments［M］.Kiev：Science Press，1978：46－79.

［2］ AGARWAL R P，GRACE S R，O'REGAN D.Oscillation theory for second order dynamic equations［M］.U K：Taylor ＆Francis，2003：35－184.

［3］ ERBE L H，KONG Q，ZHANG B.Oscillation theory for functional differential equations［M］.New York：Marcel Dedder，1995：288－373.

［4］ GYORY I，LADAS G.Oscillation theory of delay differential equations with applications［M］.Oxford：Clarendon Press，1991：32－57.

［5］ LADAS G，LAKSHMIKANTHAM V，ZHANG B.Oscillation theory of differential equations with deviating arguments［M］.New York：Marcel Dedder，1987：70－124.

［6］ AGARWAL R P，GRACE S R，O'REGAN D.Oscillation theory for difference and functional differential equations［M］.Dordrecht：Kluwer，2000：56－108.

［7］ BAINOV D，SIMEONOV P.Positive solutions of a superlinear first order differential equations with delay depending on the unknown function［J］.J Comput Appl Math，1998，88（1）：95－101.

［8］ BAINOV D，MARKOVA N，SIMEONOV P.Asymptotic behavior of the nonoscillatory solutions of differential equations of second order with delay depending on the unknown function［J］.J Comput Appl Math，1998，91（1）：87－96.

［9］ DOMOSHNITSKY A，DRAKHLIN M，LITSYN E.On equations of second order with delay depending on solution［J］.Nonl Anal，2002，49（5）：689－701.

［10］ HARTUNG F，TURI J.On the asymptotic behavior of the solutions of a state dependent delay equation［J］.Differential and Integral Equations，1995，8：1867－1872.

［11］ LI W，ZHANG S.Classifications and existence of positive solutions of higher order nonlinear iterative functional differential equations［J］.J Comput Appl Math，2002，139（2）：351－367.

［12］ LI WANGTONG，DONG ZHONGQI.Classifications and existence of positive solutions of second order nonlinear differential equations with delay depending on the unknown functions［J］.Acta Math Sci，2004，24B：403－411.

［13］ LUO JIAOWAN.Asymptotic behavior of solutions of second order quasilinear differential equations with delay depending on the unknown function［J］.J Comput Appl Math，2006，185（1）：133－143.

［14］ XU ZHITING.Oscillation and nonoscillation of second order differential equations with delay depending on the unknown function［J］.J Comput Appl Math，2008，214（2）：371－380.

［15］ LADAS G，SFICAS Y G，STAVROULAKIS I P.Necessary and sufficient conditions for oscillation of higher order delay differential equations［J］.Trans Amer Math Soc，1984，285：81－90.

［16］ EL－ATTAR M A，EL－ABAD E M，EL－ABAD E E.Oscillations of the solutions of retarded differential equations［J］.J Fuaay Math，2006，14：451－459.

are considered，where n≥2and the deviating argumentsΔj（j＝1，2，…，k）depend on the independent variable t as well as on the unknown function x.Sufficient conditions are found under which every bounded solution of the above－mentioned equation is oscillatory.

Oscillation theorem of higher order functional differential equations with deviating arguments depending on the unknown function

LIN Dan－ling
（Department of Mathematics and Applied Mathematics，Hanshan Normal University，Chaozhou 521041，China）

higher order differential equation；delay depending on the unknown function；bounded solution；oscillation

In this paper higher order functional differential equations of the type