论“空间与图形”对初中生思维能力的培养

罗惠尹

【摘 要】几何学作为反映现实世界空间的一门学科，是学生认识现实世界的锐利武器。“空间与图形”提供了现实世界的一个基本模型教学中应联系实际，注重空间与图形的概念的形成过程，培养抽象、概括的能力；注重揭示定理的形成过程，培养学生的归纳、类比、联想、推广的思维能力；注重强化基本图形的识别，培养空间观念和几何直觉的思维能力；注重体验解题的探索过程，在操作中领悟数学的思想方法，培养学生的创新思维能力。使学生在一个充满探索的过程中感悟学习，从中感受数学问题发现的乐趣，树立学好数学的信心，形成应用意识和创新意识。

【关键词】空间与图形；探索过程；几何直觉

在认识数学与现实世界的密切联系方面，“空间与图形”的作用是不可替代的。图形的直观不仅为学生感受、理解抽象的概念提供了有力的支撑，有助于学生获得相应的知识和技能，而且为学生自主探索图形的性质提供了方便，有助于培养学生的合情推理和演绎推理能力，引导学生感受数学的思想方法，享受学习数学的乐趣，逐步积累数学活动经验，体验数学推理的力量和证明的意义，发展空间观念和自主创新的意识。根据空间与图形的自身特点，“要让学生亲自经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程”，这不仅与学生的创新意识和实践能力的培养紧密相连，而且是学生体验、探索、经历获取知识的重要途径.我就空间与图形的教学作了如下探索：

一、联系实际，注重空间与图形的概念的形成过程，培养抽象、概括能力

空间与图形的概念是从客观世界中直接或间接抽象出来的，其定义大多采用“问题情景—抽取本质属性—推广到一般”的方法给出。在教师的引导下，让学生以探索者的姿态出现，参与空间与图形概念的形成的揭示过程，使其思维亲身经历一个由具体到抽象、概括事物本质的认知过程，领悟知识形成过程中隐藏的思维方法，则学生获得的不仅是图形的概念，更重要的是拓宽了思维空间，在掌握空间与图形概念的同时，其概括能力也得到训练。如“直线与圆的位置关系”教学设计：通过多媒体观看杂技《独轮车过钢丝》，引起学生的兴趣，播放车轮在钢丝上的特写，提出问题：你能把这一现象用几何图形来表示吗？引起学生的数学思考。通过动手画图实践，小组合作交流等形式，把实际问题转化成数学问题，由学生自己发现直线与圆的位置关系，并合理分类。第一次通过直线与圆的交点的个数定量的刻画直线与圆的位置关系。接着引导学生用语言描述三种位置关系，培养学生严谨的语言表达能力。进而探索圆心到直线的距离与圆的半径之间的数量关系：①引导学生类比点与圆的位置关系的性质与判定，通过画图、测量、分析等数学活动发现圆心到直线的距离与圆的半径之间的数量关系，第二次定量刻画直线与圆的位置关系，渗透数形结合的数学思想；②通过小组交流与合作，交流学生自主探索的结果；③通过直线与圆的相对运动，揭示直线与圆的位置关系，培养学生的运动变化的辩证唯物主义观点。最终解决引例中的问题。

二、揭示定理的形成过程，培养学生的归纳、类比、联想、推广的思维能力

空间与图形中的定理的形成大致分为两种情况：一是经过观察分析，用不完全归纳法、类比方法等得出猜想，而后再寻求逻辑证明：二是从理论推导出发得到结论。如何在揭示定理过程中培养学生的能力，教学中要“推陈出新”，引导学生遵循从特殊到一般，从实践到理论的认知规律。源于生活，创设问题情景，激活学生的思维，调动学生的自主性和创造性，探究讨论，最终使问题得到解决。例如，等腰三角形性质的引入，可让学生利用对折等腰三角形纸片，来发现等腰三角形的等边对等角及底边上的高线、底边上的中线、顶角平分线互相重合这两个事实，这一猜想对于不等边三角形是否也具备？是不是所有等腰三角形都具有这两个特点呢？再次实验操作得出结论。然后分析证明猜想，形成定理。通过探究→猜想→归纳→论证，使学生了解发现真理的方法，体会证明的必要性。

三、強化基本图形的识别，培养空间观念和几何直觉的思维能力

就初中生而言，“空间观念”一般是指：能够由实物的形状想象出几何图形或由几何图形想象出实物形状；能够由复杂的平面图形分解出简单的、基本的图形；能够在基本的图形中找出基本元素及其关系；能够根据条件作出或画出图形，进行几何体与图形之间的转化；能根据条件做出立体模型；能描述实物或几何图形的运动与变化；能采用适当的方式描述物体间的位置关系；能运用图形形象地描述问题，利用直观来进行思考。例如：图1是由若干个小正方体搭成的几何体，图2是从图1的上面看这个几何体看到的图形，那么从图1的左边看这个几何体所看到的图形是（ ）

学生可通过观察、分析、思考与图形有关的知识进行整理，能想象出实物与几何图形之间的内在联系。

“几何直觉”是具有意识的人脑对于数学对象、结构以及规律性的敏锐的空间想象和迅速的判断，是想象和判断的有机结合。几何直觉以熟悉的知识及其结构为依据，使思维者可能实现跳跃、越级和采取捷径并需要比较、分析、验证结果，它是创造的先声。创新，源于“问题”，往往发端于直觉。几何图形以直观形象为学生进行自主探索、创新活动提供了更有利的条件，在借助图形直观进行合情推理的过程中，学生能增强探索的好奇心，加深对数学的理解，激发出潜在的创造力，逐步形成创新意识。例3：图3，△ABC中，∠C=Rt，AC=4，BC=8，D是BC的中点，点M、N分别在BD、AC上，BM=CN=a，MN交AD于E，若以M、D、E为顶点的/角形与△ABD相似，则a的值为（ ）

此题若用常规的解法，不少学生感到困难。如果由点M、N的位置和我们所熟悉的知识就能得到MN与AB有平行和不平行两种位置关系，可猜想选（C）或（D），再由当a=4时，点M与点D重合，则△DME不存在，排除（C），从而选（D）。此解法利用几何直觉和合理推理，能激发学生学习数学的兴趣，培养创新意识。在数学学习中，几何直觉有时能产生意想不到的、甚至是奇妙的数学意境，几何直觉的培养，将使思维的敏捷性、灵活性和创造性品质得到有益的发展。

重視培养学生的空间观念和几何直觉对学生学好整个中学教学有着重要的意义。在学习过程中，图形的直观性起着重要的作用。例3：一个扇形的半径为R，一个圆的半径为r，若扇形的弧长等于圆的周长，则（ ）

如果从条件：扇形的弧长等于圆的周长来联想，我们可以构造一个圆锥模型，从而巧妙地把R和r联系起来，即把扇形作为圆锥的侧面，圆作为圆锥的底面，做成一个圆锥（如图4，则R变成圆锥母线，r为底面半径，在Rt△OAB中易得R>r），此解法能培养学生动手、动脑的能力，有利于学生发挥创造力和想象力。

实际上，数学通过数与形的联系成为一个有机的整体，从某种意义来说，整个数学与图形密切相关，所以，在几何教学中必须重视培养学生的空间观念和几何直觉。

四、体验解题的探索过程，在操作中领悟数学的思想方法，培养学生的创新思维能力

空间与图形具有丰富的直观背景，通过动手实践，发现新结论，自主探索知识的发展过程，形成主动的学习活动，对培养学生的创新精神和创造能力起到较好的作用。如折纸活动就是一种动手动脑的益智游戏。小小纸片本身易于操作，在一定程度上适合中学生好玩好动的习性，妙趣驱动着学生的思维，使数学知识面的考查情趣化、生活化，贴近了现实。例如取一张矩形的纸进行折叠，具体操作过程如下：第一步：先把矩形ABCD对折，折痕为MN，如图（1）；第二步：再把点B叠在折痕线上，折痕为AE，点B在MN上的对应点为B′，得Rt△AB′E，如图（2）；第三步：沿EB线折叠得折痕EF，如图（3）；利用展开图（4）探究：①△AEF是什么三角形？证明你的结论。②对于任一矩形，按照上述方法是否能折出这种三角形？请说明理由。

题目给出实践操作过程，然后探究新问题，此过程可以凭数学知识在头脑中想，也可动手折纸操作，而学生更乐于接受后者，通过分组合作，折叠几种不同类型的矩形纸片会发现：①△AEF是正三角形，②结论不一定，观察图（4）可知只有当矩形的长AD大于或等于正△AEF的边长时才能折出。再通过证明归纳出当宽AB≤AD时一定能折出正三角形，当AD

新课标不仅关心知识、技能，而且强调中学数学的育人功能，按新课标的要求，空间与图形的教学将更加关心学生的“态度、情感、经验、生活、探究”，大力倡导“学生活动、自主发展、引导探究、合作交流、实践创新”的学习方式，以真正体现“空间与图形”的教育价值。

参考文献：

[1]浙江省教育委员会.《义务教育全日制初级中学数学教学指导纲要》.浙江教育出版社，1997年11月9第二版

[2]王子兴.《中学数学教育心理研究》.湖南师范大学出版社，1999年5月9第一版