一次三角函数值域教学的探索实践

孙浩

摘 要：三角函数是一种特殊的函数，其以角度为自变量的函数使得初学者对函数的认知极为不适应. 在高一对三角函数的教学中，函数值域教学是三角函数教学的难点，也是学生不太能掌握的. 本文以一次三角函数复习课值域教学为主进行的三角函数值域核心知识的探索，以主动探究方式、积极参与建构等新课程理念进行渗透实施，使学生对三角函数求值域这类核心问题的解决有了更深的认知和了解.

关键词：三角函数；合一变形； 二次函数；斜率；探究

作为一种特殊的函数——三角函数，因其以角度为自变量，使得高一学生往往接受较为困难. 在三角函数中，作为其核心内容的值域求解问题，一直是困扰学生三角函数水平提高的一个“坎”. 本文从一道三角函数值域问题出发，进行多角度的值域变式研究、探索和函数问题本质的追问，以典型的问题展开，使学生对三角函数求值域这类核心问题有了更深的认知和了解.

[?] 基本问题

对于三角函数求解值域的最基本问题，最显著的双基知识来自两个方面：其一是三角函数两角和与差正、余弦公式的逆用，即由asinx+bcosx?Asin（ωx+φ）；其二是对三角函数基本图象y=sinx进行整体运用和处理.我们来看一个最基本的三角求值域问题.

说明：sin（α±β）与cos（α±β）的公式正向展开与逆向合并，使学生真正理解了两角和与差的正余弦. 从高一学生的学习情况来看，往往对公式的正向展开熟练有加、思维稳定，但是对公式的逆向使用却往往不熟练，究其原因，主要在于：其一，学生对刚刚掌握的公式没有真正亲身经历公式形成的过程，导致其印象不深刻；其二，对公式的逆用熟悉程度比不上公式的顺用；其三，很多学生合一变形之后，对自变量无法进行从x→x-→sin

教师：本题的函数有两种不同的角，明显是两倍角关系，同学们想想该怎么处理？

学生：将两倍角利用公式转化为单角，然后对单角的函数进行处理.

学生（板书）：y=1-2sin2x+2sinx=-2·

说明：本题的处理不同于案例，明显在两倍角与单角之间存在互相转化的公式，将角度转化为单角后，我们发现本题的实质是闭区间上的二次函数最值问题. 将陌生的三角情境转化为熟悉的二次函数情境，是解决本问题的关键.通过教学实际，我们发现学生在“基础性转化”（即只有一个弯的转化问题上）上有着极强的能力，对于高中起步阶段的学生可以进行思维的推动.

教师：请大家看变式2，能不能利用案例和上述变式1思考解决.

学生：我认为，只要将上述函数中的sin2x与cos2x进行合并，然后利用变式1二次函数的解决方式就可以.

教师：第一步说的很正确，sin2x+sinxcosx+cos2x?+sinxcosx+cos2x，但是后期的处理是二次函数的转化吗？

学生：哦！应该利用二倍角公式的逆用，进而转化为案例的方式解决.

教师：这次说对了. 二倍角公式的逆用，即我们课堂上常常说的降幂公式的使用，这是高考三角问题最基本的处理方式，请同学来详细解答.

说明：对上述变式2类型的探索，是高考数学中比较重要的三角数学模型.从知识角度而言，对三角重要公式：两倍角的逆用、两角和与差的正、余弦公式的逆用都需要极为扎实、熟练的基本功；从思想角度来说，在处理三角函数值域时，整体思想和图形的运用很关键，要学生从最基本的正弦函数图象中进行转化吸收；从问题背景而言，考虑到y=asin2x+bsinxcosx+ccos2x类型的每一项均为二次，通过转化降解为一次的函数，正是案例所研究的基本模型. 因此，上述案例、变式1、变式2，均为层层递进式、螺旋上升式的值域探索问题，都属于基本三角函数值域型问题.

教师：在研究了上述3个基本问题后，我们来看看变式3. 请大家看看如何处理上述变式？

学生：好像原来的三种问题均和本题没有什么联系.

教师：提醒一下，要从变式2最后我们对问题本质的总结去思考.

学生：将上述式子展开，我发现y=sinx+cosx+sinxcosx+1，从函数次数来考虑，这是一个明显的二次函数.

教师：好！这位同学说到最核心的问题了. 那么如何转化？

学生：我觉得可以利用换元思想来进行处理吧. 我在参考书上看到过类似的问题，令t=sinx+cosx，则sinxcosx=，而由x∈

说明：对于变式3的问题研究，着重要培养学生从思维的高度开始思考，何为思维的高度呢？就是剥离外表看本质的能力. 数学教学最基本的在于概念教学和基本知识、基本能力的教学，在此基础之上的问题正是引导学生对数学本质的思考. 通过教学实践，我们发现学生对数学问题的处理一般都是下意识的，如何提高学生的数学问题解决能力？要从高度上提点学生：认识数学形式的背后所阐述的数学本质，即本题中二次函数问题的猜想、转换、求解.

变式4：求函数y=的值域.

教师：我们来看看与变式3类似的问题，请同学们思考一下变式的处理.

学生：我觉得和变式3类似，可以利用换元的方式进行处理，但是必须考虑它的定义域.

教师：这位同学说得很好，让我们看看同学们的计算.

学生（板书）：由sinx+cosx≠-1，所以x≠2kπ+π且x≠2kπ-，令t=sinx+cosx，则sinxcosx=，f（x）=g（t）=，根据案例所得到的模型特点，可得其定义域：t≤且t≠-1，所以原函数的值域为y∈

说明：问题的解决往往在于不断将陌生的情形转化为熟悉的情形，即转化思想的不断运用和渗透. 我们知道，学生对转化思想的欠缺和处理问题基本知识和基本运算的不熟练，导致其解决全新变式问题时有时不知所措. 通过变式4，笔者引导学生将转化思想不断渗透进去，对不同函数模型下的值域问题进行分类，利用不同策略求解.

变式5：求函数y=的值域.

教师：看最后一个变式问题，请大家分析.

学生：好像前面的方式都不能解决这样的模型. 我觉得它的形式有点像直线的斜率.

教师：是的，这位同学对知识间的联系非常熟悉，我们请他来分析.

学生：y的几何意义是定点A（-2，3）和椭圆x2+=1上任意一点（sinx，2cosx），连线的斜率，所以y的最值即为切线AC，AB的斜率，设切线方程y=k（x+2）+3，联立x2+=1，得（k2+4）x2+（4k2+6k）x+（4k2+12k+5）=0，令Δ=0，得k=-6±，所以原函数的值域为y∈[-6-，-6+].

教师：这位同学对数形结合思想理解得非常透彻，利用椭圆的切线求解三角值域问题，非常有创新的感觉.

学生：我还有其他的办法，将分子中的2提出，是不是可以变成2·？然后利用单位圆和定点A

教师：不错，但是方法上本质依旧是数形结合思想.有没有代数方式呢？

学生：可以将原式化简为y（sinx+2）=2cosx-3，则sin（x+θ）=2y+3，利用正弦的有限性，即解不等式

说明：本题的解答方式比较多样性，既可以利用代数方式回归到案例的解法，也可以利用数形结合思想对问题进行图形化的切线问题处理. 在这样的提高问题中，教师努力指导学生，注重于基本问题的联系以及图形化思维的指导.

[?] 思考

本文对三角函数求值域问题进行了实践的探索，教师引导以教材问题作为案例进行基本的剖析，并以不同形式的变式进行了探索. 笔者认为，这样的课程比较适合在总结性的复习课堂内使用，要体现值域教学的多样性和整合性. 本文中的案例和变式将学生的基本知识和知识链接、能力进行了有效的整合，提高了课堂教学的有效性. 融会贯通能力的达到必须有一个循序渐进的过程，从最近的三角函数试题考查而言，能力立意的考查成为主流，通过变式教学堆积起来的数学知识的熟练运用能力和转换能力是学生一笔宝贵的财富.

文中所涉及的值域基本问题围绕二倍角公式、两角和与差的正、余弦公式等建构，也是考查的重点公式；所涉及的思想方法围绕整体思想、数形结合思想、转化思想等进行渗透；对学生能力立意的角度而言，这是一种不断循序渐进式的整合和提升. 特别是在复习教学的时候，应该把缘自教材的试题进行深加工，利用教师自身对三角函数值域问题的理解和掌握，以变式教学引领学生将多角度、多思维的方向进行到底. 复习教学是一种讲求教学效率的教学，利用教材试题进行的演变、加工，可以提高学生整体把握知识点的能力，提高课堂教学的效率.