极限法在高中物理解题中的应用探究

赖晓芳

笔者查阅高中阶段的各类物理考试和竞赛试题发现，目前高中物理试题考察的角度已经不是简单的物理定律和理论知识，而是学生的实际应用能力、逻辑思维能力和思变意识。极限法和极限思维本来是一种数学思维，在物理学上近些年开始广泛地使用。极限法在高中物理中的应用主要针对物理对象的过程和状态的变化，按照物理过程的变化趋势合理外推到极端的情况。这种方法的应用为物理难题的解决找到了突破口和切入点，一定程度上简化了解题过程和提高了解题效率。笔者通过大量的案例来诠释极限法在高中物理试题解答中的具体应用。

案例1如图1中所示，角度数为OP的斜面上方有一点O，在O点放一至斜面的光滑直轨道，并且满足这一质点从O点沿轨道到达斜面P点的时间最短。试问直轨道与竖直方向的夹角β是多少？

图1试题解析从题干中给出的条件知道质点沿OP做的是匀加速直线运动，其运动到P点的时间应该和待求的问题β角有一定的关系，从另外一个角度分析，只要解答t对于β角的函数的极值就可以解决问题。

对于学过的物理知识，需要运用的是牛顿运动定律。由此可知，这一质点沿光滑轨道下滑的加速度为a=gcosβ，该质点沿轨道由静止滑到斜面所用的时间为t，

则112at2=OP，

解得t=2OOP1gcosβ ①

利用数学关系式，在△OPC中有

OP1sin（90°-α）=OC1sin（90°+α-β）

解得OP=OCcosα1cos（α-β） ②

将②式代入①式得

t=2OCcosα1gcosβcos（α-β）=4OC1[cosα+cos（α-2β）]g

经分析得知，当cos（α-2β）=1，即β=α12时，求得t的最小值，即β=α12时，t最短。

案例2如图2，底角为θ的斜面顶端，以初速度为v0水平抛出一小球，忽略阻力，则小球被抛出后，求离开斜面的最大距离H？

图2解析解决此题的关键是分析什么时间小球距离斜面的距离最大。从图形可以看出只有当所抛物体的速度方向与斜面平行时，二者的距离最大。解决问题的过程中，首先建立坐标系，以水平向右为x轴正方向，竖直向下为y轴正方向，则由

vy=v0tanθ=gt，

解得t=v01gtanθ，

该点的坐标为 （x=v0t=v201gtanθy=112gt2=v2012gtan2θ）。

由几何关系得

H/cosθ+y=xtanθ。

图3案例3如图3中所示，一人的质量视为m，此人在一个长是l、重是M的铁板一端匀加速跑向另一端，且在另一端骤然停止。假如铁板和水平面间的摩擦因数是μ，人和铁板间摩擦因数为μ′，且μ′μ。求人能使铁板朝其跑动方向移动的最大距离L？

解析题干中告知的是人跑向另一方之后骤然停止，人原有的动量就转化成与铁板一起向前冲的动量，此后，地面对载人铁板的阻力是地面对铁板的摩擦力f，其加速度

a1=f1M+m=μ（M+m）g1M+m=μg。

铁板移动距离L=v′212a1越大，L越大。v′是人与铁板的速度，因此人应以不会引起铁板运动的最大加速度奔跑。人在铁板上奔跑但铁板没有移动时，人若达到最大加速度，则地面与铁板之间的摩擦力达到最大静摩擦力μ（M+m）g，根据牛顿第二定律得F=ma2+M·0

解得a2=F1m=μM+m1mg ①

设v、v′分别是人奔跑结束及人和铁板一起运动时的速度

因为mv=（M+m）v′ ②

且v2=2a2l，v′2=2a1L

将a1、a2代入②式

解得L=m1M+mlH=v2012gtanθ·sinθ。endprint

笔者查阅高中阶段的各类物理考试和竞赛试题发现，目前高中物理试题考察的角度已经不是简单的物理定律和理论知识，而是学生的实际应用能力、逻辑思维能力和思变意识。极限法和极限思维本来是一种数学思维，在物理学上近些年开始广泛地使用。极限法在高中物理中的应用主要针对物理对象的过程和状态的变化，按照物理过程的变化趋势合理外推到极端的情况。这种方法的应用为物理难题的解决找到了突破口和切入点，一定程度上简化了解题过程和提高了解题效率。笔者通过大量的案例来诠释极限法在高中物理试题解答中的具体应用。

案例1如图1中所示，角度数为OP的斜面上方有一点O，在O点放一至斜面的光滑直轨道，并且满足这一质点从O点沿轨道到达斜面P点的时间最短。试问直轨道与竖直方向的夹角β是多少？

图1试题解析从题干中给出的条件知道质点沿OP做的是匀加速直线运动，其运动到P点的时间应该和待求的问题β角有一定的关系，从另外一个角度分析，只要解答t对于β角的函数的极值就可以解决问题。

对于学过的物理知识，需要运用的是牛顿运动定律。由此可知，这一质点沿光滑轨道下滑的加速度为a=gcosβ，该质点沿轨道由静止滑到斜面所用的时间为t，

则112at2=OP，

解得t=2OOP1gcosβ ①

利用数学关系式，在△OPC中有

OP1sin（90°-α）=OC1sin（90°+α-β）

解得OP=OCcosα1cos（α-β） ②

将②式代入①式得

t=2OCcosα1gcosβcos（α-β）=4OC1[cosα+cos（α-2β）]g

经分析得知，当cos（α-2β）=1，即β=α12时，求得t的最小值，即β=α12时，t最短。

案例2如图2，底角为θ的斜面顶端，以初速度为v0水平抛出一小球，忽略阻力，则小球被抛出后，求离开斜面的最大距离H？

图2解析解决此题的关键是分析什么时间小球距离斜面的距离最大。从图形可以看出只有当所抛物体的速度方向与斜面平行时，二者的距离最大。解决问题的过程中，首先建立坐标系，以水平向右为x轴正方向，竖直向下为y轴正方向，则由

vy=v0tanθ=gt，

解得t=v01gtanθ，

该点的坐标为 （x=v0t=v201gtanθy=112gt2=v2012gtan2θ）。

由几何关系得

H/cosθ+y=xtanθ。

图3案例3如图3中所示，一人的质量视为m，此人在一个长是l、重是M的铁板一端匀加速跑向另一端，且在另一端骤然停止。假如铁板和水平面间的摩擦因数是μ，人和铁板间摩擦因数为μ′，且μ′μ。求人能使铁板朝其跑动方向移动的最大距离L？

解析题干中告知的是人跑向另一方之后骤然停止，人原有的动量就转化成与铁板一起向前冲的动量，此后，地面对载人铁板的阻力是地面对铁板的摩擦力f，其加速度

a1=f1M+m=μ（M+m）g1M+m=μg。

铁板移动距离L=v′212a1越大，L越大。v′是人与铁板的速度，因此人应以不会引起铁板运动的最大加速度奔跑。人在铁板上奔跑但铁板没有移动时，人若达到最大加速度，则地面与铁板之间的摩擦力达到最大静摩擦力μ（M+m）g，根据牛顿第二定律得F=ma2+M·0

解得a2=F1m=μM+m1mg ①

设v、v′分别是人奔跑结束及人和铁板一起运动时的速度

因为mv=（M+m）v′ ②

且v2=2a2l，v′2=2a1L

将a1、a2代入②式

解得L=m1M+mlH=v2012gtanθ·sinθ。endprint

笔者查阅高中阶段的各类物理考试和竞赛试题发现，目前高中物理试题考察的角度已经不是简单的物理定律和理论知识，而是学生的实际应用能力、逻辑思维能力和思变意识。极限法和极限思维本来是一种数学思维，在物理学上近些年开始广泛地使用。极限法在高中物理中的应用主要针对物理对象的过程和状态的变化，按照物理过程的变化趋势合理外推到极端的情况。这种方法的应用为物理难题的解决找到了突破口和切入点，一定程度上简化了解题过程和提高了解题效率。笔者通过大量的案例来诠释极限法在高中物理试题解答中的具体应用。

案例1如图1中所示，角度数为OP的斜面上方有一点O，在O点放一至斜面的光滑直轨道，并且满足这一质点从O点沿轨道到达斜面P点的时间最短。试问直轨道与竖直方向的夹角β是多少？

图1试题解析从题干中给出的条件知道质点沿OP做的是匀加速直线运动，其运动到P点的时间应该和待求的问题β角有一定的关系，从另外一个角度分析，只要解答t对于β角的函数的极值就可以解决问题。

对于学过的物理知识，需要运用的是牛顿运动定律。由此可知，这一质点沿光滑轨道下滑的加速度为a=gcosβ，该质点沿轨道由静止滑到斜面所用的时间为t，

则112at2=OP，

解得t=2OOP1gcosβ ①

利用数学关系式，在△OPC中有

OP1sin（90°-α）=OC1sin（90°+α-β）

解得OP=OCcosα1cos（α-β） ②

将②式代入①式得

t=2OCcosα1gcosβcos（α-β）=4OC1[cosα+cos（α-2β）]g

经分析得知，当cos（α-2β）=1，即β=α12时，求得t的最小值，即β=α12时，t最短。

案例2如图2，底角为θ的斜面顶端，以初速度为v0水平抛出一小球，忽略阻力，则小球被抛出后，求离开斜面的最大距离H？

图2解析解决此题的关键是分析什么时间小球距离斜面的距离最大。从图形可以看出只有当所抛物体的速度方向与斜面平行时，二者的距离最大。解决问题的过程中，首先建立坐标系，以水平向右为x轴正方向，竖直向下为y轴正方向，则由

vy=v0tanθ=gt，

解得t=v01gtanθ，

该点的坐标为 （x=v0t=v201gtanθy=112gt2=v2012gtan2θ）。

由几何关系得

H/cosθ+y=xtanθ。

图3案例3如图3中所示，一人的质量视为m，此人在一个长是l、重是M的铁板一端匀加速跑向另一端，且在另一端骤然停止。假如铁板和水平面间的摩擦因数是μ，人和铁板间摩擦因数为μ′，且μ′μ。求人能使铁板朝其跑动方向移动的最大距离L？

解析题干中告知的是人跑向另一方之后骤然停止，人原有的动量就转化成与铁板一起向前冲的动量，此后，地面对载人铁板的阻力是地面对铁板的摩擦力f，其加速度

a1=f1M+m=μ（M+m）g1M+m=μg。

铁板移动距离L=v′212a1越大，L越大。v′是人与铁板的速度，因此人应以不会引起铁板运动的最大加速度奔跑。人在铁板上奔跑但铁板没有移动时，人若达到最大加速度，则地面与铁板之间的摩擦力达到最大静摩擦力μ（M+m）g，根据牛顿第二定律得F=ma2+M·0

解得a2=F1m=μM+m1mg ①

设v、v′分别是人奔跑结束及人和铁板一起运动时的速度

因为mv=（M+m）v′ ②

且v2=2a2l，v′2=2a1L

将a1、a2代入②式

解得L=m1M+mlH=v2012gtanθ·sinθ。endprint