若隐若现的梯形

白梅　曹军

教育部于2011年12月28日正式公布了《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《课标（2011）》），标志着始于2005年6月、历时6年半的课标修订工作终于尘埃落定.《课标（2011）》与实验稿课标相比，其中一个较大的变化就是在“内容标准”部分“第三学段（7～9年级）空间与图形”中删除了有关梯形的所有内容，而对第二学段（4～6年级）梯形的相关要求继续保留.《课标（2011）》对于梯形的要求，给人以“若隐若现”的直觉感受.梯形在第三学阶段该不该删除，目前还存在不小的争议，如文[1]就认为不该删除.然而，笔者却认为删的好，理由如下：

1精中求简，不宜过分追求严谨性与完整性

现如今的中学数学根本做不到完全严谨[2].数学逻辑学家罗素和怀特海要证1+1=2，使用了300页，这样的严谨性谁又能受得了？希尔伯特的《几何基础》是完全严谨的，可是大多数数学教师并不能做到这样的严谨，我们只能做到局部严格，更别奢望学生能够做到完全严格.其实数学活动不需要完全严格，我们研究数学，进行数学教学，从来不是在绝对严格的环境内进行的，不懂希尔伯特《几何基础》中的严密性，照样可以教几何.因此，中学里平面几何的公理体系，当然不能使用极端严密的希尔伯特公理体系，也不可能使用原始的欧氏几何体系.从全部教材的逻辑结构和具体内容看，总体上体现了公理化的解题思想，但就其公理系统而论，因为考虑到中学生接受能力和教材的精简，所以对公理独立性的要求不是那么严格，而且公理系统也不完备.因此，并不是“教材”都能做到严格，只是为了适应学生年龄，按照人们的需要，才故意降低严格程度.例如，平面几何教材，从它的逻辑结构和具体内容来看，基本上沿用了欧氏的不完善的公理系统.但是，这样做却能够减少初学者的困难，便于让学生接受，从教学论的角度来看是有积极作用的.《课标（2011）》在第三学段删除梯形的所有内容，并没有改变现行平面几何的公理系统，这也许是专家组在此处删除梯形的主要原因之一.

2与时俱进，要分清基本要求和较高要求

随着社会的进步、课改的深入，学时数大量减少.同时，未来公民所需要学习的知识却在不断膨胀、甚至爆炸.古希腊把几何学作为高级知识分子学习的内容，而今天的几何教育，则是为大众服务的.教师只能在有限时间内让学生掌握平面几何的精髓.因此，在义务教育阶段，21世纪中学平面几何内容，一定会比20世纪的要少些.删减一些内容势在必行.当然，随着时代的不断变迁，适当增加或调整部分章节也是必然的，不必大惊小怪.

如上所述，对所有公民实行的几何教育，主要是体会、了解理性思维的价值，提高思维水平.但是，平面几何的价值不仅如此.一部分将来从事科学研究的知识分子，管理国家的决策人员，需要从事创造性工作的各行各业的精英，需要学习更多的平面知识，他们应该学的更加系统，更加深入，对公理化思想要有更深体会.为了解决这样的问题，让不同的人学习不同的几何，在义务教育阶段设置“平面几何”的研究性学习，应是一个不错的选择.

3物极必反，不搞一刀切

实验稿课标中“体会数学与自然及人类社会的密切联系”，侧重的是数学的现实应用，而《课标（2011）》把它修改为“体会数学知识之间、数学与其他学科之间、数学与生活之间的联系，”侧重的是数学知识的广泛联结，数学联结的目的是从不同角度审视知识、赋予知识以现实背景，形成联系丰富的知识模块，使得知识节点具有深度和灵活性.

譬如，梯形在与其它数学（或其它学科）知识中应用非常广泛，如“等腰梯形的同底底角相等、对角线相等”、“梯形的中位线与两底平行且等于两底长度和的一半”等等应用较多.如果再谈到本部分问题解决的方法，恐怕“平移腰”、“补成三角形”、“过上底两端点作下底垂线”是再经典不过的，它为解决很多其它问题的提供了较强的借鉴意义.当然，梯形也是现实生活中常见的基本图形之一，现实生活中的很多问题都是梯形问题，如大堤或拦河大坝的切面、梯子、房顶、塔、汽车部件、倒车影像、墙壁装饰图案、马路警示线、水渠、路灯等等，哪儿没有梯形的影子？哪个不得用到梯形的知识？杜威说“教育即生活”，英国著名思想家怀特海在《教育的目的》一书中曾提出：“教育只有一个主题，那就是五彩缤纷的生活.”从这一点来说，梯形的学习很有现实意义，换句话说，不学习梯形不行！因此，虽然《课标（2011）》在第三学段删除梯形的所有知识，但是从生活的实际需要教师也要对梯形做适当的研究，不能搞一刀切，不能因删除而不讲.事实上，这也是大部分人反对《课标（2011）》在第三学段删除梯形的主要原因之一.

其实，《课标（2011）》对于梯形的要求在小学段（第二学段（7～9年级））仍然保留：通过观察、操作认识梯形、探索梯形的面积公式.也就是说，学生通过小学段的学习，对梯形从形状上讲有了一个初步的认识（也会运用梯形的面积公式），在初中教材继续出现并研究梯形也属正常，而文[1]中所指：“以后初中的学生再不会学习到‘梯形的一点内容”是否过于偏激.

4改变观念，正确理解《课标（2011）》提出的理念

人们在对四边形进行分类时，依据边、角的性质常把四边形分成梯形（梯形中又分为直角梯形，……）、平行四边形（平行四边形中又包含矩形，……），而且这种分类在教师的心目中已经根深蒂固，几十年的考试和教学经验都已经告诉并彰显了梯形是初中教材不可或缺的内容，《课标（2011）》在第三学段忽然删除梯形的所有知识，当然会引起较大的反响.因此，从这种意义上说删除梯形确实给初中数学教学带来了一定的“不便”（也许为困惑）.

但仔细阅读《课标（2011）》，笔者也欣喜的发现《课标（2011）》提出了“数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验”，即“四基”概念；同时，《课标（2011）》在实验稿课标“分析问题、解决问题”的基础上增加了“发现问题、提出问题”，这样就实现了“双基”到“四基”、“两能”到“四能”的变迁，体现了对学生创新意识与创新能力培养的要求.史宁中教授曾明确指出：“基本思想”可作为一门学科教学的主线或学科内容的诠释架构和逻辑架构[3].学生通过平行四边形的学习已经基本掌握了研究该问题的“基本思想”，学生利用所得的“基本思想”来研究新的知识（梯形），用旧的角度去观察、研究新的问题，以此来培养学生的创新意识与创新能力.因此，《课标（2011）》在第三学段删除梯形不仅没有弱化梯形的学习，反而提出了更高的能力要求，事实是，每次的考试不都是对学生基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验的考查吗？利用所学知识、技能不断的解决新的问题.米山国藏说：“学生接受的数学知识……很快就忘掉了……唯有深深铭刻于头脑中的数学的精神、数学的思想方法、数学研究的着眼点，却随时随地发生作用，使他们受益终生.”

笔者写到这里，有点恐惶，但想到以下，笔者又感到释然.西南大学宋乃庆教授在一次培训会上曾明确指出：争鸣即是观点上的对立，认识上的分歧以及在实践中出现的反复，当前教育问题中存在的许多疑问的解决，……，争鸣就显得尤为重要，真理越辩越白，争论越争越清，争鸣能把是非曲折弄清楚，并且作为一种总结、学习，能够推动教学教育发展的同时为学术界注入活力，使得“百家争鸣，百花齐放”.鉴于此，本文提出了一些不同意见，开展争鸣，欢迎同行提出不同看法，进行商榷.

参考文献

[1]董林，刘霞.梯形——我们呼唤你回来[J].中学数学教学，2013（2）：6～7.

[2]张奠宙，沈文选.中学几何研究[M].北京：高等教育出版社，2006：56～57.

[3]史宁中，柳海民.素质教育的根本目的与实施路径[J].教育研究，2007（8）：13.