公理是什么

彭翕成+张景中

两千多年间，数学家对公理的看法有了巨大变化.

从前，公理被认为是自明之理.自明之理是哪里来的呢？唯心论者认为是人的先天洞察，上帝给人的启示，人对理念的认识，等等；唯物论者认为公理来自人对客观世界规律性的认识，是经验的总结与升华；二元论者认为公理是人用先天的感知能力对经验总结的结果.虽然这些观点千差万别，但有一点是共同的：公理是真理，是相对真理或绝对真理，是不必再加以证明的命题.

受上述各种哲学观点的支配，数学家也倾向于认为公理应当是自明之理，是真理.只有从真理出发，才能得到真理.

现在，数学家看法变了，没有什么自明之理.即使有，也不必要求数学公理是真理.数学公理是对数学对象的性质的约定.什么是直线，直线就是满足我的这几条公理的某种东西.满足欧几里得公理，叫欧氏直线；满足罗巴切夫斯基公理，叫罗氏直线；等等.

公理对不对，这问题对数学家是没有意义的.数学家只说：如果某一些对象适合于这些公理，它一定也适合于从公理推出的定理.在这个意义上，数学定理总是对的，就如同中国象棋中“单车难破士象全”总是对的一样.它依赖于下棋的规则，

非欧几何的创立，标志着数学真理性的终结.数学家可以探索任何可能的問题，建构任何可能的公理体系，理论数学从此得到空前的发展，数学经历了一个自由的新生，它不再被束缚于直接从现实世界抽象而得的概念，而有了探索人类心智的创造的自由.

不过，也不是随便几条命题凑起来便可作为公理.首先，公理不能自相矛盾，也不能推出自相矛盾的东西.这叫做公理的相容性或协调性.其次，从精练的角度来说，任一条公理都应不能从别的公理推出来.能推出来，就作为定理算了，何必算作公理呢？这叫做公理的相互独立性.还有一条完全性，就是在这个系统中，一切命题的真假都是可以确定的.一般说来，有了前两条，也就可以了.有人甚至认为独立性也不重要，最重要的是相容性，

对公理看法的这种进步，大大解放了数学家的思想.现代数学中各种公理系统层出不穷，谁也不能说谁的公理不对.然而，有些公理系统很有用，很受欢迎.有些公理系统没什么用，“束之高阁，并不实行”，建立之后渐渐被人们忘了，甚至没有人注意它.

数学家也是人，也要吃饭、穿衣，要靠社会供养，他自然希望自己的研究于人类有用.尽管他在逻辑上有建立任何能够自圆其说的公理系统的权利，但是他总还会想到“有什么用”的问题.这样，实际上被数学家重视的公理系统中的公理，总是在一定程度土反映了人们在社会实践中的经验，或代表了人类向某一未知领域探索的愿望，在这个意义上，公理也就不完全是人们任意的约定了.

最后，用棋类游戏为喻结束本章.

石桌面上刻着纵横相错的网格，旁边摆放着黑白两种颜色的棋子.你认为这一定是为下围棋准备的么？未必，可以下围棋，还可以下五子棋.

围棋和五子棋最大的区别并不在于棋具，而是走棋的规则.同样的棋具，人们可以根据自己的兴趣爱好选择规则，进入完全不同的棋类世界.

人人都可以发明创造新的棋类游戏，规则的制定，当然可以由你说了算.但你发明的新游戏，是否吸引人，有人愿意玩，这可得由社会实践来检验了.endprint