洛尔中值定理的推广及应用

付淑娟 李杰

摘 要：洛尔中值定理是数学分析中一个基本定理，洛尔中值定理及其推广形式在数学分析中应用十分广泛。本文将展示洛尔中值定理的各种推广形式及其在数学分析中的灵活应用，并清晰指出各种推广形式之间的蕴涵关系及发展关系。

关键字： 洛尔中值定理 应用

中图分类号：G434 文献标识码：A 文章编号：1674-3520（2014）-01-0049-02

洛尔定理：若在上连续，在内可导，且，则， 使。

一、洛尔定理在无穷区间上的推广

若在处处可导，且， 则，使

证明：（i） 若a， b均为有限值，构造函数

则在上连续，在 上可导，且则，有

（ii） 若我们试图通过一个变换将无穷区间变换为有限区间。

设，，使 则条件变为

研究函数

二、洛尔中值定理在函数的推广

如果给函数本身加强条件，则有洛尔定理在函数意义上的推广，即所谓的拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒展式。

拉格朗日中值定理：若在上连续，在内可导，则存在，使得。

当时即洛尔定理。

柯西中值定理：若和在上连续，在内可导。

且则存在，使 。

当时，此定理即为拉格朗日中值定理。

泰勒展式：若在的某邻域内有直到阶的导数，且存在，则

（于与之间）称为拉格朗日余项。

泰勒展式是拉格朗日中值定理的推广。

应用举例：设在上可微，<0，<0，≤。

試证：在内有相异两个根。

证明：∵≤，在上不恒单调减小；

∵<0，在的右邻域单调减小；

∵连续，使=。

由拉格朗日中值定理，

-==0，<<。

由此，=0，为的一个根。

又：<0，在的左邻域单调减小，

∵连续，在上不恒单调减小，使，

由拉格朗日中值定理，

==0，<<，

∴=0，为的另一个根。

又例：设在二次可微且有界，证明：使。

证明：（i） 若≡0，则=，则，恒有点存在。

（ii）0，不失一般性，设>0，是任一点。

断定，不可能严格单调。

否则，设严格单调，因此有>0或者<0。

由泰勒展式：

（于与之间）。

当>0 ，取>则>+，；当<0，取<

则<+，。

这两种情况均与在上的有界性矛盾，

∴不可能严格单调。

∴，使=，由洛尔定理，，有。

一般情况下，洛尔定理通常用于求方程或解的存在性；拉格朗日中值定理用于证明含有函数改变量的问题及某些不等式的证明，在证明函数的二阶或二阶以上的导数的性质时，通常用泰勒展式。我们说，中值定理沟通了函数及其各阶导数之间的关系，一般遇到用导数来研究函数性态的问题，都要想到中值定理。

三、洛尔定理推广到多元函数情形

设点集：

定理：设→满足以下条件

（i）在上连续， （ii）在内可微，

（iii）存在非零向量使有

·=0，（·为内积）则一点使（这里为矩阵）即

与向量组正交。

参考文献：

[1]华东师范大学数学系.《数学分析》（上）高等教育出版社.2003

[2]张志军编著.《数学分析中的一些新思想与新方法》兰州大学出版社.1997