利用Matlab开展“二次函数”数学实验教学探索

周素芬

【摘要】 数学实验，以“做”为载体，能帮助学生架起思维和构建的平台，通过学生动手实验，让学生体验数学的过程. 在诸多的软件中，Matlab是一款很好的软件，很适合用于开展中学数学实验. 利用Matlab编写程序，演示函数y = a（x - h）2 + k图像的性质，学生便可顺利地掌握二次函数的图像上下左右平移的知识难点.

【关键词】 数学实验；Matlab；二次函数图像；相互变换

所谓“数学实验” 是指为了获得某些数学知识，形成或检验某个数学猜想，解决某类问题，运用有关工具，在数学思维活动的参与下进行的一种人人参与的以实际操作为特征的数学探究或验证活动. 随着计算机技术的发展，数学软件引入教学这一新事物，是数学教学体系、内容和方法改革的一项尝试. 在初中数学教学中恰当地引入数学实验，引导学生发现问题、提出猜想、验证猜想和创造性地解决问题，可以提高学生学习数学的积极性，对培养学生的直观思维及创新思维有着非常重要的作用. 建构主义教学观认为，学生的学习不应该是一个被动吸取知识、单纯记忆、机械练习的过程. 一个有意义的学习过程是学生以积极的心态，调动已有的知识和经验，同化新知识、解决新问题并建构他们自己的意义这样一种过程，学生的学习只有通过自身的操作活动和再现创造性的做，才可能是有效的.

在诸多的软件中，Matlab是一款很好的软件，很适合用于开展中学数学实验. Matlab是美国MathWorks公司出品的商业数学软件，用于算法开发、数据可视化、数据分析以及数值计算的高级技术计算语言和交互式环境，Matlab具有语言简单、易学、适用范围广、功能强、开放性强、网络资源丰富等特点.

Matlab可以帮助学生从动态中观察、探索和发现对象之间的数量变化关系与空间结构关系，因此能够充当数学实验中的有效工具. 通过Matlab能够实现动画效果，让学生自己动手通过设置参数的不同，改变图形、曲线的状态、参数的数值等，发现“形”和“数”的变化，去猜测、归纳、验证从而得出正确的结论，更进一步可以为证明思路找到突破口. Matlab还可以对动态的对象进行“追踪”，并能显示该对象的轨迹，如点的轨迹、线的轨迹，形成曲线或包络线.

例如：在“二次函数y = ax2 + bx + c的图像”一节中，如何向学生说明y = ax2，y = ax2 + k，y = a（x - h）2，y = a（x - h）2 + k等函数图像之间的关系？这些函数图像的相互关系一直是传统教学中的重点和难点，学生难以理解，教师也难以用文字语言说明. 因此我们尝试了实验教学，首先教给学生在“Matlab”中作图的基本方法，讲解简单的程序编制方法. 打开“Matlab”软件，以绘制y = x2图像为例，编制以下主要程序：

x = -4：0.1： 4；

y = 0.5*x.^2；

plot（x， y）；%画图

针对上述程序，逐条讲解每条程序含义，然后让学生自己定义参数，可以参照Matlab软件中的plot绘图函数的参数，在上述第三条程序上加上相应的字符串，从而可以绘制各种类型的图像.

下面举例让学生绘制参数不同的二次函数图像. 比如比较只有a不同的二次函数y = x2，y = - x2图像区别.

x = -4：0.1：4；

y1 = 0.5*x.^2；

plot（x， y1，'r'）；

hold on

y2 = -0.5*x.^2；

plot（x，y2）；

结果见图1，改变a的值，学生得出当a > 0时，抛物线开口向上，当a < 0时，抛物线开口向下.

再举例比较只有k不同的二次函数y = - x2，y = - x2 - 1图像区别.

figure（1） %创建新的图形窗体

subplot（1，3，1）； %第1个子图

x = -4：0.1：4；

y1 = -0.5*x.^2；

y2 = -0.5*x.^2-1；

plot（x， y1， x， y2，'r'）；

结果见图2第1个子图，改变k的值，二次函数顶点的纵坐标发生改变. 两图像是上下平移关系.

观察只有h不同的二次函数y = - x2，y = - （x + 1）2图像. subplot（1，3，2）；%第2个子图

x = -4：0.1：4；y1 = -0.5*x.^2； y2 = -0.5*（x+1）.^2； plot（x， y1， x， y2，'r'）；

结果见图2第2个子图，改变h的值，二次函数顶点的横坐标发生改变. 两图像是左右平移关系.

观察h，k不同的二次函数，图像.

subplot（1，3，3）； %第3个子图

x = -4：0.1：4；

y1 = -0.5*x.^2；

y2 = -0.5*（x+1）.^2-1；

plot（x， y1， x， y2，'r'）；

结果见图2第3个子图，改变h，k的值，二次函数顶点的横、纵坐标均发生改变.

将四个二次函数y = - x2，y = - x2 - 1，y = - （x + 1）2，y = - （x + 1）2 - 1在同一坐标系画出图像.

x = -4：0.1：4；

y1 = -0.5*x.^2； y2=-0.5*x.^2-1； y3=-0.5*（x+1）.^2；y4=-0.5*（x+1）.^2-1；

plot（x， y1，‘b， x， y2，'k'， x， y3，'r'， x， y4，'g'，）；

结果见图3.

学生观察三个特征量a，h，k对图像的影响. 由学生观察或者自己操作对a，h，k三个变量进行改变，看对图像有什么影响，也可移动图像观察a，h，k三个值的变化，从而通过数形结合和整体的观点，学生很容易掌握y = a（x - h）2 + k的图像和性质. 通过学习，学生清楚知道：a是决定二次函数图像的开口方向（性质符号）和大小，h是决定二次函数的对称轴，k是决定二次函数的顶点的纵坐标.

利用Matlab反复动态演示y = ax2，y = ax2 + k，y = a（x - h）2，y = a（x - h）2 + k等函数图像的相互变换，学生便可顺利地掌握二次函数的图像上下左右平移的知识难点. 学习过程除了被动接受知识外，还存在大量的发现与探究等认识活动. 新课程要求学习方式的转变，就是要转变单一的被动接受式学习，把学习过程之中的发现、探究等认识活动凸显出来，使学习过程更多地成为学生发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的过程. 在这样的数学活动中，学生不仅深刻了解、认识了这些函数的性质和它们之间的关系外，更重要的是从学习过程中培养了学生自主发展能力、认识能力、动手能力.

学生通过实验探索，让他们猜想和发现许多结论. 老师引导学生进行实验，组织学生的小组学习，引导学生将实验结果进行归纳证明. 学生们通过实验、操作进行观察、分析、探索、猜想和归纳，从而亲身体验数学、理解数学，学生的学习已由接受性学习转变为探索性学习.

数学实验，以“做”为载体，能帮助学生架起思维和构建的平台，使学生体验数学的过程. 学生通过做“数学实验”去主动发现、主动探索，不仅使学生的逻辑思维能力、空间想象能力和数学运算能力得到较好的训练，而且还有效地培养了学生的发散思维和直觉思维.

【参考文献】

[1]罗硕，幸翀，赖哓涛. 利用MATLAB开展初中数学“一次函数”数学实验教学探索[J].中小学电教，2010，06.

[2]张威.MATLAB基础与编程入门[M].西安：电子科技大学出版社，2004.

[3]李亚克.数学实验[M].北京：高等教育出版社， 2004.