一道最值问题引发的尴尬

陈露蕾

课间，学生X拿着一道题是进办公室，让我助他一臂之力. 题目如下：

某木材加工厂有甲、乙、丙、丁四个小组制造学生使用的桌子和凳子，甲组每天能制造8张桌子或10条凳子，乙组每天能制造9张桌子或12条凳子，丙组每天能制造7张桌子或11条凳子，丁组每天能制造6张桌子或7条凳子，现在桌子和凳子要配套制造，问：21天中这四个小组最多可制造多少套桌凳？

审完题，我确定了这是一道在整数范围内解不定方程的问题，于是很快在草稿纸上写下以下过程：

设甲、乙、丙、丁四个小组分别用x，y，u，v天生产桌子，其余时间生产凳子，并恰好满足要求.

则有8x + 9y + 7u + 6v = 10（21 - x） + 12（21 - y） + 11（21 - u） + 7（21 - v），

整理，得18x + 21y + 18u + 13v = 40 × 21.①

待求8x + 9y + 7u + 6v② 在满足① 式条件下的最大整数值.

手中疾速挥动的笔此刻突然尴尬地停了下来，只有一个已知的四元一次不定方程，怎样确定所得到的非负整数解能让 ② 式取得最大值呢？无奈之下，我与学生X开始尝试寻找方程 ① 的特解，再观察这些解的变化对 ② 式值的影响，多次尝试后，终于找到方程 ① 的一组解，使得 ② 式的值与标准答案一致.

生X走后，我对这道让我身陷尴尬的题目耿耿于怀，于是上网搜索它的标准解答，结果如下.

解：设甲组制造桌子x天，制造凳子（21 - x）天；乙组制造桌子y天，制造凳子（21 - y）天；丙组制造凳子21天，丁组制造桌子21天，则四组21天共制造桌子[8x + 9y + 6 × 21]件，制造凳子[10（21 - x） + 12（21 - y） + 11 × 21]件，由题意，得8x + 9y + 6 × 21 = 10（21 - x） + 12（21 - y） + 11 × 21，

即6x + 7y = 189，y = .

设生产的桌凳总套数为w套，由题意，得

w = 8x + 9y + 6 × 21 = x + 369.

∵ 0 ≤ x ≤ 21，w随x的增大而增大，且w须为整数，

∴ x = 21时，y = 9，w最大值为375.

∴这21天中四个小组最多可制造375套桌凳.

它的解题思路与我并无两样，却因为有了“丙组制造凳子21天，丁组制造桌子21天”这两个关键条件的出现，将四元一次不定方程转化为二元方程，得以顺利解出答案. 而这两个条件的出现是否合理？为什么可以做这样的假设？我心中仍存有疑惑.

再回到题目本身，如果将数据稍作整理，可得到下表.

表格中“每日生产凳子占桌子的比例”这项数据，为“丙组制造凳子21天，丁组制造桌子21天”的假设提供了一定的依据，但仍旧无法完全解释其合理性.

于是，我回到最初的思路，18x + 21y + 18u + 13v = 40 × 21①可变形为 × 8x + × 9y + × 7u + × 6v = 40 × 21 ③，不妨设s = 8x，t = 9y，m = 7u，n = 6v，其中0 ≤ x，y，u，v ≤ 21且均为整数，则 ③ 可改写为

s + t + m + n = 40 × 21. ④

显然s，t，m，n满足线性关系，

∵ > > > ，

∴ n值的增大对s，t，m值的影响最弱，

∴ 令n取最大值，即v = 21，n = 6 × 21时，代入 ④ 式可得

s + t + m = 27 × 21，

∵ > > ，

∴令s取最大值，即x = 21，s = 8 × 21时，可得

t + m = 9 × 21，

同理，令t取最大值，即y = 21，t = 9 × 21时，可得

21 × 21 + m = 9 × 21，

∵ 此时m的解为负数，不符题意，

∴令t取使得m ≥ 0的最大值，即y = 9，t = 81时，有

× 81 + m = 9 × 21，

m = 0.

从而当x = 21，y = 9，u = 0，v = 21时，

生产桌凳总套数 = s + t + m + n = 168 + 81 + 0 + 126 = 375（套）.

至此，这道曾经让我倍感尴尬的题目算是得以解决，而对于不定方程解法的探索，仍是路漫漫其修远兮.