三重生态视域下的初中动态数学问题教学探究

【摘要】 动态型问题是近几年中考常考常新的热点，也是中考复习中的难点，对此类问题的研究有利于我们教师在教学中把握方向、研究对策. 这样才能更好地培养学生解题素养，在素质教育的背景下更明确地体现课程标准的导向.本文从三重生态观的视角对动态型问题的有效教学进行了探究与思考.

【关键词】 动态型问题；三重生态观；教学探究

所谓“三重生态”即自然生态、类生态和内生态. 其中， 自然生态是人生命的物质滋养， 类生态是人生命的社会依托， 内生态是人生命安顿的心灵居所. 中央教科所刘惊铎教授认为：每一个生命个体都处于自然生态、类生态和内生态三重生态关系之中. 其实，课堂也是三重生态关系圆融互摄的生态场，自然生态和类生态始终对内生态产生直接或间接的影响和感染，最后通过内生态的体验使三重生态得以融通.

以运动的观点来探索几何图形部分规律的问题称之为动态型问题，其特点是图形中的某个元素（点、线段、角等）或整个几何图形按某种规律运动，图形的各个元素在运动变化的过程中互相依存、和谐统一，体现了数学中的“变”与“不变”及由简单到复杂、由特殊到一般的辩证思想，它集代数与几何、概率统计等众多知识于一体，渗透了分类讨论、转化、数形结合、函数、方程等重要数学思想方法，问题具有开放性、综合性. 这类题目蕴含着“变”与“不变”、“运动”与“静止”、“一般”与“特殊”的辩证思想，由于形式多样，立意新颖，符合新课程的要求，历来都是中考复习中的难点， 对此类问题的研究有利于我们教师在教学中把握方向、研究对策. 这样才能更好地培养学生的解题素养，在素质教育的背景下更明确地体现课程标准的导向. 下面本人将从三重生态观的视角对此类问题进行研究、分析，并给出解决此类问题的一般思路.

1. 动态型数学问题课堂教学中生态因子分析

如果把整个动态型问题的教学过程看作一个生态系统来说的话，自然生态的主要因子可以看成师生课堂学习与成长的物质环境和课堂空间. 类生态的主要因子可以看成是教师与学生以及由此而呈现出来的师与生、生与生等共同遵循的课堂活动方式，课堂双边活动的制度等. 内生态的主要因子则是师生内心世界的感受和领悟. 具体来说，课堂教学的环境与内容可以看成是自然生态因子，课堂教学的组织形式、教学方法等可以看成是类生态因子，而师生在课堂教学中的体验、感悟则可以看成是内生态因子.

2. 动态型数学问题学生思维障碍分析

从教学实践来看，学生很怕这种动态型问题，考试中得分率也比较偏低，一方面固然是题目自身的难度较大，另一方面来讲，其实是课堂教学中三重生态关系未能产生该有的化学反应，主要表现为以下几种形式：

2.1 自然生态因子的不和谐

动态型问题需要描述基本元素运动、变化的过程，这种文字的描述需要在学生头脑中建立一种“图景”体验，例如：苏州市2004中考数学卷第29题的题干描述：

如图，平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A，B的坐标分别为（3，0），（3，4）. 动点M，N分别从O，B同时出发，以每秒1个单位的速度运动. 其中，点M沿OA向终点A运动，点N沿BC向终点C运动. 过点N作NP⊥AC，交AC于P，连接MP. 已知动点运动了x秒.

这里“动点M，N分别从O，B同时出发，以每秒1个单位的速度运动”，这段文字语言学生必须将其转化为头脑中建立的一种“图景”体验，即点的运动路径转化为“路程 = 速度 × 时间”这一数量关系，一旦这种“体验”不能建立，学生往往会对此类问题无从下笔.

2.2 类生态因子的不和谐

在动态型问题的教学过程中，我们发现， 有些教师的教学更注重于单一问题的解决，缺乏对学生的思维进行高屋建瓴的引领，缺乏对问题理性的思考. 这就造成了部分学生喜欢按照某种习惯思路考虑问题，当学生熟悉它的常见功能以后，往往会形成思维定式，从而对于在新条件下转化它的功能会感到困难，尤其是对一些“旧瓶装新酒”问题，学生往往会根据以往学习的例题和作业所获得的“套路”去走，而对形成“套路”的基本原理不去探究. 造成这种现象的原因主要在于类生态因子的不和谐，即课堂教学中学生未能体验这种点或线的运动对图形和图形中的数量关系产生的影响，只能按造他们所熟悉的某种习惯思路考虑问题.

2.3 内生态因子的不和谐

初中学生在解决动态型问题的过程中往往表现出两大思维能力的缺失：数形结合和分类讨论. 学生这种内生态因子的缺失往往导致学生要么在寻找相似、等腰或符合条件的特殊点的过程中出现漏解的结果，要么无法根据图形找出“临界点”进行分类讨论造成错解. 这种内生态因子的不和谐也是中考中学生失分的主要原因.

3. 问题解决

从三重生态观的课堂追求来看，就是要围绕学习内容，尽可能地使自然生态、类生态和内生态三者都能有一个最佳的发挥. 但只有三重生态各自的最佳发挥还是不够的. 生态课堂更看重的是三重生态之间的最佳组合与有机渗透，强调三者之间的高境界的圆融互摄，进而创设最为理想的课堂学习与成长的生态场. 那么，在动态型问题的教学过程中如何实现三重生态的完美融合呢？我认为需要做好以下几点：

3.1 正确理题干文本和图形，融合自然生态

二次课改以来，中考卷上的动态型问题呈现题型繁多、题意创新的特点，题目更加注重考查学生分析问题、解决问题的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等. 虽然题型众多，但并非无迹可寻，动态型问题基本可以归纳为以下两大类型：

① 未引入变量型：此类问题多为纯几何问题，其运动形式基本表现为点动、线动或者面（形）动，重点考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形等. 解此类问题的方法相对比较固定，解决方法主要是相似和全等.

② 引入变量型：此类问题多为综合题，题目往往以变量为载体，集几何、函数、开放、最值等问题于一身，题目难度相对较大，多为压轴题.

对题目文本和图形等自然生态因子的解读是学生解决动态型问题的首要条件. 所以我们需要引导学生正确理解题目所给出的条件，要从运动中找出其规律性的东西，首先要解读出哪些图形元素在动，其次要解读出图形中哪些特殊点在运动，最后将其归结为某一点在运动.

如苏州市2012中考数学卷第28题：

如图，正方形ABCD的边AD与矩形EFGH的边FG重合，将正方形ABCD以1 cm/s的速度沿FG方向移动，移动开始前点A与点F重合，在移动过程中，边AD始终与边FG重合，连接CG，过点A作CG的平行线交线段GH于点P，连接PD.已知正方形ABCD的边长为1 cm，矩形EFGH的边长FG，GH的长分别为4 cm，3 cm.设正方形移动时间为x（s），线段GP的长为y（cm），其中0 ≤ x ≤ 2.5.

（1）试求出y关于x的函数关系式，并求当y = 3时相应x 的值；

（2）记△DGP的面积为S1，△CDG的面积为S2，试说明S1 - S2是常数；

（3）当线段PD所在直线与正方形ABCD的对角线AC垂直时，求线段PD的长.

本题首先应引导学生从题意中解读出运动的是正方形ABCD，其次引导学生从图形中解读出运动的其实可以归结为四个点，即点A，B，C，D，最后要引导学生从运动中发现其实运动可以归结为一个点，即点D的运动. 从而发现只要证出两个三角形相似就能解决问题了.

3.2 创新课堂教学模式，注重类生态

有一次初三一模考试，考试前碰巧我很详细地给学生讲了一道动态型问题，这道题刚好考到了，但结果却令我大失所望，全班能把这个问题完整解决的仅有两名同学. 这样的经历可能很多数学老师都有过，为什么会出现这种情况呢？通过和学生交流发现我们在课堂教学中缺乏对类生态因子的关注. 学生要将老师对这个问题的理解内化为自己的理解需要足够的体验与交流，否则就容易产生相异构想，出现所谓“一听就懂”但“一做就错”的状态. 那么课堂中具体该怎么做呢？

首先，课堂中老师要努力为学生创设体验的“图景”，对于学生而言动态型问题既“美丽”但又“冰冷”，因为这种运动对学生而言太过抽象，缺乏必要的体验. 数学教师应在自然、合理的教学情境中引导学生数学地思维，让学生的思维在课堂上翩翩起舞，把数学冰冷的美丽变成火热的思考. “动态型”问题之所以“抽象”，是因为“看不到”这种实实在在的运动. 因此，在动态型问题的教学中引入信息技术是非常必要的，例如几何画板，可以让学生在图形的运动中去理清题意、体验“图景”、解决问题. 更为出色的是电子白板，可以让学生自己去拖动“点”进行运动，这种“图景”体验比老师的说教要深刻得多.

其次，老师必须改变自己的行走方式. 教师的理念决定着教学的高度，在课堂教学中，老师扮演的不仅是课堂教学的组织者、引领者的角色，而且是“整体活动进程的调节者和局部障碍的排除者”的角色. 教师在对话中要能以伙伴式的态度真诚、平等地面对学生彻底改变传统课堂上师生之间审视与拷问的状态， 在学习中起到引导、帮扶学生的作用.

第三，老师必须改变师生交流、生生交流的方式. 变“线性交流”为“网络模块化交流”，变“一问一答”为“多位互动”，主要表现为交流渠道自由畅通，师生之间、生生之间实现无障碍沟通；交流形式的多层次，自我交流、合作交流、小组交流等随着学习任务的展开而自觉生成.

3.3 注重课堂提升，激发内生态

一名学生在课堂上没有享受过高峰体验，他就不太可能有求知的渴望. 许多学生之所以讨厌“动态型”问题，一个重要原因，就是这样的学习经历没有让他产生过高峰体验. 数学课堂上的高峰体验是什么？是用独一无二的方式真切地体会到数学的作用，是震撼地感受到数学的价值，是思考的幸福和快乐，是冥思苦想的苦闷和痛苦，更是豁然开朗的震撼和兴奋.

例如，2011年苏州中考数学卷第29题：

如图，已知AB是⊙O的弦，OB = 2，∠B = 30°，C是弦AB上的任意一点 （不与点A，B重合），连接CO并延长CO交⊙O于点D，连接AD.

（1）弦长AB等于 （结果保留根号）；

（2）当∠D = 20°时，求∠BOD的度数；

（3）当AC的长度为多少时，以A，C，D为顶点的三角形与以B，C，O为顶点的三角形相似？请写出解答过程.

学生在遇到第（3）小题相似的问题时很是烦恼，该怎样分类讨论呢？老师应该告诉他：相似要么从边对应成比例考虑，要么从角相等考虑，然后让学生在合作交流中去体验“角相等”要比“边对应”更容易找，最后从角的讨论中去发现∠ACD是△OCB的外角，因此，能与∠ACD相等的只能是∠OCB. 这种豁然开朗的震撼和兴奋给学生带去的绝不仅仅是解决这个问题的喜悦这么简单.

教学活动的关键一定是要能打开学生的“心门”，学生的这种力量一旦激发出来，其能量远比我们的说教大得多. 三重生态观是一种全新的理论，而动态型问题是常考常新的热点，也许，用全新的理论去思考与实践当前教学中的热点问题可能还有许多不太成熟的地方，但是我能在教学过程中体验着学生思维的碰撞和生命的成长，对我来说也是一种难得的心理体验和生命成长.

【参考文献】

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[2]周海东. 三重生态观下初中数学课堂教学生态的研究[D].苏州大学，2011.

[3]吴兆明. 动态几何问题解析 [J].2007（6）.

[4]吴增生. 初中生数学考试指导初探[J].中国数学教学，2010（4）.

[5]冯乔炳. 浅谈初中数学动态问题的解法[J].成才之路，2007（6）.