闲看问题如临花照水，巧借参数似云卷云舒

刘勤 何长林

摘  要：题海茫茫，卷帙浩繁. 对于某些疑难问题，看之如临花照水，这时我们不妨巧借参数，就会发现解题似云卷云舒，并乐在其中. 这样的例子很多，本文主要通过几个例子来研究参数在解决疑难问题过程中的应用.

关键词：参数;运算;意义;变量;关系

巧借参数，便于运算，妙释疑难

例1  已知x，y，z>0，且lgx+lgy+lgz=0，求x·y·z的值. （选自高三考试题）

解析：由lgx+lgy+lgz=0

？摇？摇？摇？摇？圯lg（xyz）=0

？摇？摇？摇？摇？圯xyz=1.

设x·y·z=t，？摇？摇？摇 ①

将①式两边同取以10为底的对数得

lgx·y·z=lgt

？圯lgx+lgy+lgz=lgt

？圯+lgx++lgy++lgz=lgt

？圯+++++=lgt

？圯logyx+logzx+logzy+logxy+logxz+logyz=lgt

？圯logy（xz）+logz（xy）+logx（yz）=lgt.？摇②

由xyz=1得到xz=，xy=，yz=，代入②得到

logy+logz+logx=lgt

？圯（-1）+（-1）+（-1）=lgt

？圯lgt=-3=lg10-3

？圯t=10-3=，

即x·y·z=t=.

点评：本题化简x·y·z较为复杂，我们通过引入参数t，将式子x·y·z设为t，，将题目中要求的值转化为求t的值，而等式x·y·z=t是较为容易化简的，只需将等式两边同取对数，容易算出t=10-3=，于是得到结果. 本题通过巧借参数t使式子x·y·z便于运算.

巧借参数，利用意义，妙释疑难

例2  如图1，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在（0，1），此时圆上一点P的位置在（0，0），圆在x轴上沿正向滚动.当圆滚动到圆心位于（2，1）时，的坐标为___________.（2012山东高考（文）16）

图1

解析：如图1所示设Q（2，1），Q在x轴的射影为B，设PB弧长为l，过点Q且平行与x轴的直线QM交圆Q右侧于M点，设 ∠PQM=θ，此时圆Q：（x-2）2+（y-1）2=1.

由题意知 l=OB=2，则∠PQB==2，

则∠PQM=θ=-2，对于圆Q：（x-2）2+（y-1）2=1上点P（x，y），

由圆的参数方程的几何意义知

？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇x=2+cosθ，y=1+sinθ，

即x=2+cos-2=2-sin2，y=1+sin-2=1-cos2，

所以=（2-sin2，1-cos2）.

点评：本题先利用弧长公式得到∠PQB==2，再由圆的参数方程的几何意义知圆Q上点P（x，y）满足x=2+cosθ，y=1+sinθ， ①将θ的值代入①化简即可求出P的坐标，进而可以求出的坐标，因此解决本题的关键是巧借参数θ，利用参数θ的几何意义解题.

巧借参数，减少变量，妙释疑难

例3  已知P（x，y）是椭圆+=1上的点，求x+y的取值范围. （选自高三考试题）

解析：本题采用三角换元

令x=3cosθ，y=sinθ，

则x+y=3cosθ+sinθ=·sinθ+=2sinθ+∈[-2，2]

点评：本题通过三角换元的方法巧借参数θ，于是我们将含两个变量x和y的式子x+y变为含一个变量θ的式子3cosθ+sinθ，从而减少未知量的个数，使式子便于处理.

巧借参数，方可运算，妙释疑难

例4  已知圆C：x2+y2=9，点A（-5，0），直线l：x-2y=0. 在直线OA上（O为坐标原点），存在定点B（不同于点A），满足：对于圆C上任一点P，都有为一常数，试求所有满足条件的点B的坐标. （江苏模拟考试）

解析：设P（3cosθ，3sinθ），B（x0，0），

设=λ，

则？坌θ∈R，

=λ成立

？圯？坌θ∈R，

=λ成立

？圯？坌θ∈R，9-6x0cosθ+x=30λcosθ+34λ成立

？圯？坌θ∈R，（30λ+6x0）cosθ+34λ-x-9=0成立

？圯30λ+6x0=0，34λ-x-9=0，

？圯x0=-5，λ=1，（不合题意，舍去）或x0=-，λ=，

所以B的坐标为-，0.

点评：本题得到为一常数，为了让上式可以运算下去，我们通过引入参数λ，构造一个恒等式，从而求出B的坐标. 因此本题是通过巧借参数，让题目可以运算下去.

巧借参数，得到关系，妙释疑难

例5  已知椭圆+=1以及点D（2，1），过D任意引直线l交椭圆与A，B两点，求线段AB中点M的轨迹方程. （选自高三考试题）

解析：由题意设点M（x，y），

（1）当l的斜率存在时，设经过点D（2，1）的直线l的方程为：

y-1=k（x-2），

即y=kx+1-2k.

将y=kx+1-2k与+=1联立，

？摇？摇 +=1，y=kx+1-2k，

？圯+=1

？圯+=1

？圯+x2+x+-1=0

？圯x==-？摇

？圯x=-？摇 ①（此时x表示点M（x，y）的横坐标）.

又点M（x，y）在直线l：y-1=k（x-2）上，

所以k=，？摇？摇 ②

将②代入①，

得

x=-

？圯4x+9x=-9+18

？圯4x+9+9（x-2）=0

？圯4x+9+9=0

？圯4x（x-2）+9（y-1）+9（y-1）2=0

？圯4（x2-2x）+9（y2-y）=0

？圯4（x-1）2+9y-=

？圯+=（x≠2）.

③

（2）当l的斜率不存在时M（2，0）在③上，符合题意.

综合（1）（2）知线段AB中点M的轨迹方程为+=.

点评：本题要求线段AB中点M的轨迹方程，因此设出点M（x，y），寻找x与y的关系即可.

我们通过巧借l的斜率k来联系x与y，消去k即可得到x与y的关系.