“生动”课堂因生而“动”

朱国仙 章显联

摘  要：“生动”课堂不是平常意义上的“生动”，还包括了另一种诠释：即生“动” ，包括学生“能说”、“能做”、“能思”. 在高中数学课堂上，如何才能做到“生动”呢？本文结合同课异构的课《椭圆及其标准方程》给予说明.

关键词：“生动”;生“动”;“可动”;“会动”;“愿动”;“自然而动”

？摇近日，绍兴县名师班成员活动期间安排了两节同课异构的课，课题是《椭圆及其标准方程》，笔者全程听了二位老师的精彩上课，并参与了课后的点评. 大家一致认为其中郑老师开设的课给人的感觉是很“生动”，但绝不是平常意义上的“生动”，还包括了另一种诠释：即生“动”. 以下是这节课的教学简录及启示.

教学简录

1. 情境创设，引入课题

教师：很高兴能和大家一起来研究数学，今天我们来学习椭圆，提到椭圆，同学们并不陌生.

问题1：你能举出生活中的椭圆吗？

学生举例：小到我们常吃的一些蛋类的外形，再到我们在马路上见到的油罐车的横截面，大到一些建筑，如漂亮的国家大剧院、世博会上令人目不暇接的沙特馆，它们的外形都给我们以椭圆的印象，再大到轰动世界观的“神六”则赋予了椭圆更多的内涵.

问题2：我们已能画圆，你能画椭圆吗？

教师在自制的纸板上做了演示后，请了几位学生在纸板上演示.

（这样的处理虽然少了点发现的惊喜，但是这样节约了时间，提高了课堂效率，为教学难点即椭圆的方程的推导提供了更充足的时间）

问题3：“在整个运动过程中什么是不动的或者不变的？”“什么是运动的或变化的”？由此你们能说出椭圆上的点的几何特征吗？ 并能归纳出椭圆的定义吗？

学生1：到两个定点的距离和保持不变的点的轨迹.

教师：也就是距离和永远是一个固定的值，到两个定点的距离的和为定值的点的轨迹，一定是椭圆吗？

学生2：不一定，如线段上所在的点到两个定点距离之和为定值，但不是椭圆上的点.

最后师生共同归纳出椭圆完整定义，并提醒学生：“认准商标（PF1+PF2>F1F2），谨防假冒”.

2. 自主探究，意义构建

问题4：圆x2+y2=4横坐标保持不变，纵坐标压缩为原来的一半后成为椭圆，联想椭圆的方程为________（可利用几何画板课件演示，引导学生得出椭圆的方程）

问题5：我们如何求圆的方程？

学生3（笑）：“建设现（限）代化”.

问题6：结合问题4类比圆，你觉得如何建立合适的坐标系求椭圆的方程？

学生4：以F1F2所在直线为x轴，以F1F2的中点为坐标原点.

教师：还有其他建系方法吗？

学生5：以F1F2所在直线为x轴，以F1或F2在为坐标原点.

教师：建系方法可以说仁者见仁，智者见智，不同的建系方法下，我们会有不同的计算过程，得到不同方程，因此我们在建系的时候应考虑图形的几何特征，如椭圆是有对称性. 学生4的建系方法，符合对称性，学生5的方法大家课后可以尝试一下. 还有其他的对称的建系方法吗？

学生6：以F1F2中点为原点，F1F2所在直线为y轴建立平面直角坐标系.

问题7：设P（x，y），由PF1+PF2=2a，得到方程+=2a后如何化简呢？

学生7：平方.

教师：我们是直接平方还是移项后平方？

学生7：移项后平方.

教师：这样做是否合适呢？给大家一点时间尝试一下，看看怎样化简最合适. （学生讨论，尝试不同方法，教师巡视）

七分钟后，教师挑了学生8和学生9上台展示过程及结果：（a2-c2）x2+a2y2=a4-a2c2.

教师：方程改为（a2-c2）x2+a2y2=a4-a2c2后还能化简吗？

学生10：因为a2-c2>0，所以+=1.

教师：的确比以前美了，还能更美吗？（这个问题可以放给学生，让学生去观察，发现）

学生11：令a2-c2=b2，则+=1（a>b>0）.

教师：这个想法非常棒，即方程可化为+=1（a>b>0），这是所求椭圆方程，我们还要做什么？

学生12：一是验证椭圆上任一点坐标都是方程的解，二是验证方程的解为坐标的点都在椭圆上.

教师：说得非常好，这个工作留给同学课后去做.

教师：还有其他的推导方法吗？学生的方法见2.4中的说明.

教师：根据前面的讨论，你能猜测学生6的建系方法可得到椭圆方程吗？请大家利用课外时间推导.

学生13：+=1（a>b>0）.

构建1： 焦点在x轴上的椭圆的标准方程为

+=1（a>b>0），

焦点不在x轴上的椭圆的标准方程为

+=1（a>b>0）.

教师：很好，我们最终得到的两个方程为椭圆的标准方程.

构建2：请填表1.

问题8：椭圆的两种形式的方程有哪些共同特征？

学生14：方程的左边是两个式子的平方和，右边都是1.

教师：（追问1）它们表示的椭圆有何特点？

学生15：都是中心在原点，焦点在坐标轴上.

教师：（追问2）如何判断焦点所在的坐标轴？

学生16：焦点在哪个轴上，a2就扛着谁.

教师：该同学回答得很形象.

3. 数学应用，深化理解

例1  填空：已知椭圆的方程为：+=1，则a=______，b=______，c=______，焦点坐标为：______焦距等于______;若CD为过左焦点F1的弦，则△F2CD的周长为________. （强调定义的应用）

例2  如果方程x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆，求实数k的取值范围.

例3  两定点的坐标分别是（-3，0）、（3，0），求到两定点距离之和等于10的点P的轨迹方程.

思考：化简：

+=10.

例4  已知椭圆的两焦点的坐标分别是（-2，0）、（2，0），并且经过，-，求它的标准方程.

由学生说解法，教师帮助板书，补充讲解.

4. 课堂小结，提炼法

（1）知识点：椭圆的定义及其标准方程;

（2）数学方法：用坐标化的方法求动点轨迹方程;

（3）数学思想：数形结合思想、化归思想、类比思想.

几点启示

“生动”的课堂不仅是老师讲得生动，而且是学生能“动”，包括学生“能说”、“能做”、“能思”.在高中数学课堂上，如何才能做到“生动”呢？受郑老师的这节课的启示，笔者收获了以下几点启示：

1. 教师树立“使学生学会思考”作为最核心的教学任务的意识，立足学生“可动”

教师最基本且重要的职责是教好课本，而“教课本”的核心是“教概念”，这是因为：“数学是玩概念的”;概念中蕴涵着数学思维，它对学生学会思考的训练价值最大;概念是思维的细胞，概念清楚了，思维的基础就有了;将概念中蕴涵的数学思维打开，并用于训练学生，是提高学生数学能力的捷径，也是提高高考成绩的法宝;另外教师应努力在知识发生发展过程中培养学生的数学思维.

在选修2中，教材利用三种圆锥曲线进一步深化如何利用代数方法研究几何问题. 由于教材以椭圆为重点交代如何求方程、如何利用方程讨论几何性质的一般方法，在双曲线、抛物线的教学中进一步得到应用和巩固，因此“椭圆及其标准方程”起到了承上启下的重要作用. 在教师教学用书中明确指出，不仅要求学生能化简得到椭圆的标准方程，还要求学生掌握化简含根号等式的方法. 因此，在教学设计中，郑老师在这一部分做了较为充分的准备，除教材中介绍的移项后两次平方这种方法，又准备了两个预案：引入历史上的赖特“平方差法”（共轭无理数对法）和洛比达“和差数”. 在实际教学中，学生思维活跃，其中前一种方案得以实施，学生感受到了数学知识间的普遍联系，更感受到了创新思维带来的成就感和满足感，教师确实做到了既讲结果，更重过程和方法. 为保证课堂上有足够的时间让学生“可动”， 郑老师对课堂各个环节进行精心的设计与对时间进行合理的分配. 如对焦点在y轴上的椭圆标准方程的处理，采用了课上猜想、课下证明的方式;本课的引人采用教师在自制的纸板上做了演示后，请了几位学生在纸板上演示. 这样的处理虽然少了点发现的惊喜，但是这样节约了时间，提高了课堂效率，为教学难点即椭圆的方程的推导提供了更充足的时间，保证了学生有足够的时间“可动”.

2. “循循善诱”中促进学生“会动”

问题是数学的心脏，有效的提问才能保证探究的顺其自然. 课堂提问的有效性应具有以下几个特征：（1）可及性. 问题的设计要结合学生一般认知律，身心发展规律;（2）开发性. 问题富有层次感，入手较易，开发性强，解决方案多，学生思维与创造的空间多;（3）挑战性. 能引起学生的认知，冲突与学习心向，能激发兴趣，促进学生积极参与，接受问题的挑战;（4）体验性. 能给学生提供深刻体验，人人有所得，包括操作、探究的机会或替代性实验，学生能感受，体验数学.

在本节课的教学中， 郑老师先后设置了八个问题来推进教学. 问题1可激发学生学习兴趣;问题2与3通过师生的动手操作，三个小问题对学生提炼概念有很好的引导作用;问题4设置是本节的一大亮点，一方面让学生知道，圆按某个方向作伸缩变换可以得到椭圆，另一方面为椭圆方程的化简指引方向; 问题5、问题6通过类比圆的方程的推导方法自然想到椭圆方程的推导，问题7在讲解焦点在y轴上的椭圆的标准方程时，只是一带而过，“容易知道，此时（焦点在y轴上）椭圆的标准方程是+=1（a>b>0）”，没有过程. 其实这是培养学生运用化归思想解决问题的一个很好的机会，可引导学生抓住事物间联系，化未知为已知，用已知解决未知，可以通过翻折和旋转的方式实现图形变换，从而利用焦点在x轴上椭圆的标准方程得到焦点在y轴上椭圆的标准方程，避免烦琐、重复的推导过程（这过程可留在课外让学生思考）. 但在椭圆方程的推导过程中，教师直接给出设绳长为2a，两点间距离为2c，没有给学生足够的时间与空间对比不同的设立参数方法对于计算和化简的影响，从思维的角度看是有损失的. 问题8是引导学生如何区分与记忆椭圆的标准方程，最后一句总结“焦点在哪个轴上，a2就扛着谁”，这对学生记忆方程是很有帮助的.

3. “平等对话”中鼓励学生“愿动”

有人说“课堂应变成“学堂”，一字之差体现了不同的教育观，后者体现了以“学生为主体”，但实际教学中，很多教师将教学目标锁定在完成教学任务上，更多的是采取“讲授法”，而忽视了学生的表现，于是造成了课堂上学生“不愿动”. 因此，每当学生展示后，教师要对学生的成果及时做出点评，对其中正确成分要不吝惜赞美，使学生始终处在积极兴奋的状态中，让师生“平等对话”成为学生主动探究的加油站.

在本节课的教学中，郑老师运用多种形式对学生在课堂学习中的表现进行评价. 在教学过程中郑老师多次激励学生进行探究，如“很好”，“你的想法太妙了”，“回答得很棒”. 由于郑老师不断给学生“加油”，因此课堂上学生的学习积极性很高.

4. 经历椭圆方程之旅，让学生“自然而动”

数学教学的现实是重教书轻育人，重分数轻情感，重技术轻文化. 今天的中学教科书采用椭圆第一定义，并以此为出发点，通过两次平方，推导出椭圆的标准方程. 我们太熟悉这种方法，以致不会去想：椭圆的方程有怎样的历史发展过程，我们还有别的推导方法吗？正是基于郑老师对椭圆方程历史的深刻认识，本节课推导椭圆方程时用了多种方法，开阔了学生的视野，教材中呈现的两次平方法，不过是历史上许多方法中的一种而已. 以下是学生推导椭圆方程的一种方法：

因为PF1=，PF=，所以PF -PF =4cx，

所以+=2a-==a+x+=1.

因此若要丰富椭圆方程的教学，拓实学生的思维，让学生“自然而动”，就需在历史这座宝藏中汲取营养.