如何准确判断二面角中两法向量的方向

赵圣涛 武金仙

立体几何中的二面角问题一直是高考的热点，向量法是解决该问题常用的方法. 该方法简单实用，便于掌握，但我们常在判断二面角大小与其两半平面法向量的夹角是相等还是互补时产生困难，原因在于难以准确判断出法向量的方向. 我们常采用直观观察的方法，这对空间想象力弱的同学来说效果并不好，也有失数学学科的严谨性. 笔者结合自身教学经验探索出了一个准确判断两法向量方向的方法.

法向量方向的判断方法

在判断二面角大小和其两法向量夹角的关系时，我们常采用如下方法：

已知二面角α-l-β的大小为θ，向量n1，n2分别为半平面α，β的法向量，若法向量n1，n2均指向二面角的内部（或外部），则θ=π-〈n1，n2〉（图1）;若法向量n1，n2一个指向二面角的内部，另一个指向二面角的外部，则θ=〈n1，n2〉（图2）.

在应用该方法时，对法向量方向的判断是个难点，本文将给出如下判断方法：

定理：已知二面角α-l-β，半平面α的法向量为n1，在棱l上任取一点O，在半平面β内任取一点A（点A不在棱l上），构造辅助向量 ，当n1· >0时，法向量n1指向二面角的内部;当n1· <0时，法向量n1指向二面角的外部（简记为“内正外负”）.

证明：根据数量积定义，若n1· >0，则〈n1， 〉∈0， ，因为对平面α，其法向量的方向只有两个，所以，易知此时法向量n1的方向指向二面角的内部（如图1）.

若n1· <0，则〈n1， 〉∈ ，π，易知此时n1的方向指向二面角的外部（如图2）. 同理，可判断出半平面β的法向量n2的方向，当n1，n2方向确定后，即可求出二面角.

该方法的优点在于可准确判断出每一个法向量的方向，在实际应用中，辅助向量 并不需要专门构造，只需从已求得的向量中选取即可，这也是该方法简便实用的一个地方.

评注：定理中，在半平面β内选取辅助向量 时，我们将起点限定在了棱l上，这主要是为了应用方便，并不是必要条件. 实际上，辅助向量 只需满足〈 ，m〉∈0， 即可，其中向量m是半平面β内垂直于棱的一个向量，其方向如图3所示.

方法应用举例

例1  如图4， 在四棱锥P-ABCD中，已知PA⊥底面ABCD，BC=CD=2，AC=4，∠ACB=∠ACD= ，F为PC的中点，AF⊥PB.

（1）求PA的长;

（2）求二面角B-AF-D的余弦值.

圖4

解析：（1）略.

（2）如图4， 连结BD交AC于点O. 因为BC=CD， AC平分∠BCD，所以AC⊥BD， 过点O作OM∥AP，则OM⊥平面ABC. 以O为坐标原点，分别以OB，OC，OM所在直线为x轴，y轴，z轴建立坐标系O-xyz.

则OC=CDcos =1，而AC=4，所以AO=AC-OC=3，易知OD=CDsin = ，所以A（0，-3，0），B（ ，0，0），D（- ，0，0）.

由（1）知F（0，-1， ），故 =（ ，3，0）， =（- ，3，0）， =（0，2， ）.

设平面ABF的法向量为n1=（x1，y1，z1），则由n1· =0，n1· =0得 x1+3y1=0，2y1+ z1=0.取y1= ，得n1=（-3， ，-2）.

设平面ADF的法向量为n2=（x2，y2，z2），则由n2· =0，n2· =0得- x2+3y2=0，2y2+ z2=0.取y2= ，得n2=（3， ，-2）.

所以cos〈n1，n2〉= =- .

下面应用定理判断法向量n1，n2的方向：

分别取 ， 为法向量n1，n2的辅助向量，由n2· =6 >0，n1· =6 >0知，n1，n2均指向二面角的内部，由此易知，〈n1，n2〉与二面角A-PD-C的大小是互补的关系，所以二面角A-PD-C为锐角，其余弦值为 .

点评：为便于选取辅助向量，在构造向量计算法向量时，可将二面角棱上的点作为所构造向量的起点，如例1中，A，D两点所构成的向量写成 而非 的形式，这样就省去了找点构造辅助向量的麻烦.

例2 如图5，在四棱锥P-ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°，BC=2AD，△PAB和△PAD都是等边三角形.

（1）证明：PB⊥CD;

（2）求二面角A-PD-C的大小.

图5

解析：取BC的中点E，连结DE，则四边形ABED为正方形.过P作PO⊥平面ABCD，垂足为O.连结OA，OB，OD，OE. 由△PAB和△PAD都是等边三角形知PA=PB=PD，所以OA=OB=OD，即点O为正方形ABED对角线的交点，故BD⊥AE.

（1）略.

（2）以O为原点，建立坐标系O-xyz（如图5）. 设 =1，则A（-1，0，0），C（2，-1，0）， D（0，-1，0），P（0，0，1）， =（2，-1，-1）， =（0，-1，-1）， =（-1，0，-1）.

设平面PCD的法向量为n1=（x1，y1，z1），则由n1· =0，n1· =0得2x1-y1-z1=0，y1+z1=0.取z1=1，得n1=（0，-1，1）.

设平面PAD的法向量为n2=（x2，y2，z2），则由n2· =0，n2· =0，得x2+z2=0，y2+z2=0.取z2=-1，得n2=（1，1，-1）.

所以cos〈n1，n2〉= = - .

下面应用定理判断法向量n1，n2的方向：

分别选取 ， 为法向量n1，n2的辅助向量，由n1· =-1<0，n2· =2>0知，n1指向二面角的外部，n2指向其内部. 由此易知，〈n1，n2〉即为二面角A-PD-C的大小，所以二面角A-PD-C为钝角，所以其大小为π-arccos .