直线、平面平行的判定与性质

宋利军

重点难点

本部分内容包括直线与平面平行的判定与性质，面面平行的判定与性质.

重点：①理解线面平行的定义，掌握线面平行的判定定理和性质定理，掌握面面平行的判定定理和性质定理. ②能运用公理、定理和已获得的结论，证明一些有关空间图形的平行关系的简单命题.

难点：掌握“线线平行”“线面平行”和“面面平行”这三种平行关系的相互转化.

方法突破

线面平行的判定定理的实质是：对于平面外的一条直线，只需在平面内找出一条直线与这条直线平行，就可断定这条直线必与这个平面平行. 线面平行的性质定理的实质是：已知线面平行，过已知直线作一平面与已知平面相交，其交线必与已知直线平行. 两个平面平行问题的判定与证明，是将其转化为一个平面内的直线与另一个平面平行的问题，即“线面平行，则面面平行”，必须注意这里的“线面”是指一个平面内的两条相交直线和另一个平面.

1. 判定线线平行的三种方法

（1）公理4：证明两直线同时平行于第三条直线.

（2）线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，且经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线与交线平行.

推理模式：l∥α，l∥β，α∩β=m l∥m.

（3）平行平面的性质定理：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行.

推理模式：α∥β，γ∩α=a，γ∩β=b a∥b.

2. 判定线面平行的三种方法

（1）根據线面平行的判定定理：如果不在某个平面内的一条直线与该平面内的一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行.

推理模式：l α，m α，l∥m l∥α.

使用定理时，一定要说明“平面外的一条直线与平面内的一条直线平行”，若不注明该条件，则证明过程就不完备.

（2）面面平行的另一性质：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面.

推理模式：α∥β，a α a∥β.

（3）向量法（详见例4）.

3. 判定面面平行的三种方法

（1）根据面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面互相平行.

推理模式：a β，b β，a∩b=P，a∥α，b∥α β∥α.

（2）平行平面的判定定理推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面互相平行.

推理模式：a∩b=P，a α，b α，a′∩b′=P′，a′ β，b′ β，a∥a′，b∥b′ α∥β.

（3）向量法：如果两个不同平面的法向量相互平行，那么就可以判定两个平面平行.

典例精讲

例1  （2014年高考辽宁卷）已知m，n表示两条不同的直线，α表示平面. 下列说法正确的是（    ）

A. 若m∥α，n∥α，则m∥n

B. 若m⊥α，n α，则m⊥n

C. 若m⊥α，m⊥n，则n∥α

D. 若m∥α，m⊥n，则n⊥α

思索  本题主要考查空间线、面的位置关系，意在考查同学们的空间想象能力和推理论证能力.

解答此类问题，首先是要对概念认识清楚、定理理解透彻，其次是要具备较强的空间想象能力，能通过对题设条件的分析想象出所研究的线线、线面、面面之间的位置关系，从而做出正确判断和简单的论证.

破解  选项A中，平行于同一平面的两条直线可以平行、相交、异面，故选项A是错误的;选项B中，由线面垂直的性质知：直线垂直于平面，则直线垂直于平面内的任意一条直线，故选项B正确;选项C中，n可能在平面α内，故选项C错误;选项D中，两直线垂直，其中一条直线与一个平面平行，则另一条直线和这个平面可以平行、相交，也可以在平面内，故选项D错误. 本题也可以通过举反例的方式来说明其他选项是错误的，从而得到正确的选项. 选B.

例2  如图1，在三棱锥S-ABC中，AS=AB. 过A作AF⊥SB，垂足为F，点E，G分别是侧棱SA，SC的中点. 求证：平面EFG∥平面ABC.

图1

思索  证明平面EFG∥平面ABC，需要在平面EFG内找到两条相交直线与平面ABC平行，而线面平行的判定定理告诉我们，要证明线面平行，需要转化为证明线线平行. 因此，证明该题的关键是在平面内最为恰当的位置找出一条直线与该直线平行.

破解  （1）因为E，G分别是侧棱SA，SC的中点，所以EG∥AC.

因为AC 平面ABC，EG 平面ABC，所以EG∥平面ABC.

因为AS=AB，AF⊥SB，所以F为SB的中点，所以EF∥AB.

因为AB 平面ABC，EF 平面ABC，所以EF∥平面ABC.

因为EF∩EG=E，EF，EG 平面EFG，所以平面EFG∥平面ABC.

例3  （2014年高考湖北卷）如图2，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，P，Q，M，N分别是棱AB，AD，DD1，BB1，A1B1，A1D1的中点. 求证：

（1）直线BC1∥平面EFPQ;

（2）直线AC1⊥平面PQMN.

图2

思索  本题主要考查空间线线和线面位置关系等知识，意在考查同学们的空间想象能力、逻辑推理能力和运算求解能力，考查转化与化归思想.

（1）要证直线BC1∥平面EFPQ，只要在平面EFPQ内找一条直线与BC1平行即可，F，P分别是AD，DD1的中点，易证FP∥AD1，而AD1∥BC1，即得线面平行;

（2）要证线面垂直，根据线面垂直的判定定理，只要在平面PQMN中找两条相交直线与AC1垂直即可，从条件看易证BD⊥平面ACC1，再由线面垂直的性质得到BD⊥AC1，进而证明MN⊥AC1;同理可证PN⊥AC1，从而证明线面垂直.

破解 （1）如图3，连结AD1，由ABCD-A1B1C1D1是正方体，知AD1∥BC1，因为F，P分别是AD，DD1的中点，所以FP∥AD1. 从而BC1∥FP.

而FP 平面EFPQ，且BC  平面EFPQ，故直线BC1∥平面EFPQ.

（2）如图3，连结AC，BD，则AC⊥BD. 由CC1⊥平面ABCD，BD 平面ABCD，可得CC1⊥BD. 又AC∩CC1=C，所以BD⊥平面ACC1. 而AC1 平面ACC1，所以BD⊥AC1. 连结B1D1，因为M，N分别是A1B1，A1D1的中点，所以MN∥B1D1，故MN∥BD，从而MN⊥AC1. 同理可证PN⊥AC1. 又PN∩MN=N，所以直线AC1⊥平面PQMN.

图3

例4  如图4，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB= ，AF=1，M是线段EF的中点. 求证：AM∥平面BDE.

图4

思索  设AC与BD相交于G，连結EG，证明四边形AGEM是平行四边形，可得EG∥AM，利用线面平行的判定定理可证.

破解  设AC与BD相交于G，连结EG，则G是AC的中点. 因为M是线段EF的中点，ACEF是矩形，所以EM∥AG，EM=AG，所以四边形AGEM是平行四边形，所以EG∥AM. 因为AM不在平面BDE内，EG在平面BDE内，所以AM∥平面BDE.

变式练习

1. 下列命题正确的有_______.（填序号）

（1）若m α，n α，m，n是异面直线，则n∥α;

（2）若m α，n α，m，n是异面直线，则n与α相交;

（3）若m α，n∥α，m，n共面，则m∥n;

（4）若m∥α，n∥α，则m∥n.

2. 如图5，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=CA= ，AD=CD=1，平面AA1C1C⊥平面ABCD. 若E为线段BC的中点，求证：A1E∥平面DCC1D1.

图5

3. 如图6，在三棱锥S-ABC中，M，N，P分别为棱SA，SB，SC的中点，求证：平面MNP∥平面ABC.

图6

4. 如图7，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA1=4，点D为AB的中点，求证：AC1∥平面CDB1.

图7

参考答案

1. ③  ①中n与α可以相交，只要不过m上的点就行;②中n α包含n与α相交或平行;③正确，由线面平行的性质即可得到;④平行于同一平面的两直线异面或平行.

2. 因为AB=BC=CA= ，DA=DC=1，所以∠BAC=∠BCA=60°，∠DCA=30°. 连结AE，因为E为BC的中点，所以∠EAC=30°.所以∠EAC=∠DCA，所以AE∥DC.因为DC 平面DCC1D1，AE 平面DCC1D1，所以AE∥平面DCC1D1. 因为棱柱ABCD-A1B1C1D1，所以AA1∥DD1，因为DD1 平面DCC 1D1，AA1 平面DCC1D1，所以AA1∥平面DCC1D1.因为AA1 平面AA1E，AE 平面AA1E，AA1∩AE=A，所以平面A1AE∥平面DCC1D1. 因为A1E 平面AA1E，所以A1E∥平面DCC1D1.

3. 因为M，N，P分别为棱SA，SB，SC的中点，所以MN∥AB，PN∥BC. 因为MN 平面ABC，AB 平面ABC，PN 平面ABC，BC 平面ABC，所以MN∥平面ABC，PN∥平面ABC. 因为MN∩PN=N，MN，PN 平面MPN. 所以平面MNP∥平面ABC.

4. 证法一（利用线面平行的判定定理）：设C1B与CB1的交点为E，由已知得E为C1B的中点. 连结AC1，DE，则OE  AC1. 又DE 平面CDB1，AC1 平面CDB1，所以AC1∥平面CDB1.

证法二（利用共线向量定理证明线面平行）：因为直三棱柱ABC-A1B1C1底面三边长AC=3，BC=4，AB=5，所以AC，BC，CC1两两垂直，以AC，BC，CC1为x，y，z轴建立空间直角坐标系，由已知可得C（0，0，0），A（3，0，0），C1（0，0，4），B（0，4，0），B1（0，4，4），D ，2，0. 设CB1与C1B的交点为E，则E（0，2，2），因为 =- ，0，2， =（-3，0，4），所以 =  ，所以 ∥ . 因为DE 平面CDB1，AC1 平面CDB1，所以AC1∥平面CDB1.

证法三（利用法向量证明线面平行）：因为直三棱柱ABC-A1B1C1底面三边长AC=3，BC=4，AB=5，所以AC，BC，CC1两两垂直，以 ， ， 为正交基底，建立空间直角坐标系，则C（0，0，0），A（3，0，0），C1（0，0，4），B （0，4，4），D ，2，0，故 =（-3，0，4）， =（0，4，4）， = ，2，0. 设平面CDB1的法向量为n=（x，y，z），则4y+4z=0， x+2y=0，故有n=（4，-3，3），所以 ·n=0. 因此 ⊥n. 又AC1不在平面CDB1内，从而有AC1∥平面CDB1.