长沙长郡中学 长沙雅礼中学 月考试卷调研（理科）

（说明：本套试卷满分150分，考试时间120分钟）

命题人：湖南长沙市长郡中学  赵攀峰

试卷报告

试卷严格按照新课标的范围命题，注重数学的学科本质，坚持对基础知识、基本技能和基本方法的考查，兼顾了数学思想方法、思维、应用和潜能等多方面的考查. 体现了“深化能力立意”命题指导思想的重要命题思路. 力求试题设计的创新而不刻意追求知识点的覆盖面. 在数学知识的综合运用、数学思维量与思维深刻性、数学证明、分类整合的思想方法等方面有较高的要求. 在三大题型的分值分布中，解答题仍保持6题75分的格局，在填空题中依然设置了3题选做题的方式. 主要体现以下特点：①坚持“重点内容重点考查，非重点内容渗入考查”的思路，突出考查了数学中支撑学科知识体系的主干内容，体现了重点知识在试卷中的突出位置，如函数在本试卷中占了显著的地位. ②注重知识的交叉、渗透和综合，注重检测学生是否具备了有序的网络化的知識体系. 试卷中知识交汇的试题比比皆是，如第9、10、16、22题等. ③关注数学知识的合理应用，比较重视对应用与创新能力的考查，如理科第5、8、16、22题.

难度系数：★★★★

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.

1. 设非空集合P，Q满足P∩Q=P，则（    ）

A.  x∈Q，有x∈P B.  x Q，有x P

C.  x0 Q，使得x0∈P D.  x0∈P，使得x0 Q

2. 某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名. 现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为（    ）

A. 6   B. 8 C. 10 D. 12

3. 若复数z=2i+ ，其中i是虚数单位，则复数z的模为（    ）

A. 2   B.   C.   D. 1

4. 在区间[-1，1]上随机取一个数x，则sin 的值介于- 与 之间的概率为（    ）

A.     B.   C.   D.

5. 若某程序框图如图1所示，则输出的n的值是（    ）

A. 43   B. 44

C. 45         D. 46

6. △ABC外接圆的半径为1，圆心为O，且2 + + =0， = ，则 · 的值是（    ）

A. 3           B. 2

C. 1        D. 0

7. 双曲线 -y2=1（a>1）的一个焦点为F，点P在双曲线上，且 = （O为坐标原点），则△OPF的面积为（    ）

A.     B.

C. 1   D. 4

8. 已知实数x，y满足2x-y≤0，x+y-5≥0，y-4≤0， 若不等式a（x2+y2）≥（x+y）2恒成立，则实数a的最小值是（    ）

A.     B.             C.         D. 2

9. 已知函数f（x）=4x-m·2x+1，若存在实数x0，使得f（-x0）=-f（x0）成立，则实数m的取值范围是（    ）

A. m≥1      B. m≤1       C. m≥      D. m≤

10. 设等差数列{an}满足：

=1，公差d∈（-1，0）. 若当且仅当n=9时，数列{an}的前n项和Sn取得最大值，则首项a1的取值范围是（）

A.，      B.  ，

C.  ，       D.  ，

二、填空题：本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分.

（一）选做题（请考生在11、12、13三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分）

11. （几何证明选讲）如图2，在Rt△ABC中，斜边AB=12，直角边AC=6，如果以C为圆心的圆与AB相切于D，则圆C的半径长为________.

12. （坐标系与参数方程选讲）在极坐标系中，已知点A1， ，点P是曲线ρsin2θ=4cosθ上任意一点，设点P到直线ρcosθ+1=0的距离为d，则PA+d的最小值为________.

13. （不等式选讲）已知a，b，c为实数，λ为正实数，若a2+ b2+ c2≥ ，则λ的最小值为________.

14. 一个几何体的三视图如图3所示，若该几何体的表面积为92m2，则h=_______m.

15. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2+b2= c2，则直线ax-by+c=0被圆x2+y2=9所截得的弦长为________.

16. 已知函数f（x）=x2-2ax-2alnx，a为不等于零的实数. 给出下列命题：

①当a<0时，函数f（x）有零点;②若函数f（x）有零点，则a<0;

③存在a>0，函数f（x）有唯一零点;④若函数f（x）有唯一零点，则a≤1.

正确命题的序号是________.（把所有正确的命题的序号填上）

三、解答题：本大题共6小题，共75分.

17. （本小题满分12分）已知函数f（x）= sin2x-cos2x- ，x∈R.

（1）求函数f（x）的最小值和最小正周期;

（2）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c= ， f（C）=0，若sinB=2sinA，求a，b的值.

18. （本小题满分12分）某市为了提升市民素质和城市文明程度， 对市民进行了“生活满意”度的调查. 现随机抽取40位市民， 对他们的生活满意指数进行统计分析， 得到如下分布表：

（1）求这40位市民满意指数的平均值;

（2）以这40人为样本的满意指数来估计全市市民的总体满意指数，若从全市市民（人数很多）中任选3人，记ξ表示抽到满意级别为“非常满意或满意”的市民人数，求ξ的分布列;

（3）从这40位市民中，先随机选一个人，记他的满意指数为m，然后再随机选另一个人，记他的满意指数为n，求n≥m+60的概率.

19. （本小题满分12分）如图4，已知四棱锥P-ABCD的底面为菱形，且∠ABC=60°，AB=PC=2，AP=BP= .

（1）求證：平面PAB⊥平面ABCD;

（2）求二面角A-PC-D的余弦值.

20. （本小题满分13分）已知正项数列{an}的前n项和Sn= ，bn=1+  .

（1）求数列{an}的通项公式;

（2）定理：若函数f（x）在区间D上是下凸函数，且f′（x）存在，则当x1>x2（x1，x2∈D）时，总有

21. （本小题满分13分）已知斜率为k（k≠0）的直线l交椭圆C： +y2=1于不同两点M（x1，y1），N（x2，y2）.

（1）记直线OM，ON的斜率分别为k1，k2，且3（k1+k2）=8k，证明：直线l过定点;

（2）若直线l过点D（1，0），设△OMD与△OND的面积比为t，当k2< 时，求t的取值范围.

22. （本小题满分13分）已知函数f（x）=（2x2-6x+a+6）·ex（e为自然对数的底数）.

（1）求函数f（x）在（0，+∞）上的单调区间;

（2）设函数g（x）=f（x）+（2x-a-4）·ex，是否存在区间[m，n] （1，+∞），使得当x∈[m，n]时函数g（x）的值域为[2m，2n]，若存在，求出m，n;若不存在，说明理由.