南京外国语学校 南京师大附中 月考试卷调研
2014-04-29
（说明：本套试卷满分200分，考试时间150分钟）
命题人：江苏南京外国语学校 朱胜强
试卷报告
本试卷覆盖了整个高中所学的主要内容，并突出了对函数、不等式、解析几何、数列、三角函数等知识的考查，可供高三一轮复习结束时检测使用. 本套试卷严格按照江苏《考试说明》的要求设置，结构与近几年江苏省高考数学试卷一致，难度与2014年的江苏高考数学试卷难度基本相当，填空题部分，容易题、中等题、难题的比例约为4 ∶ 7 ∶ 3;解答题部分，容易题、中等题、难题的比例约为2 ∶ 3 ∶ 1. 问题的设计意在考查同学们的思维能力及探究能力. 试卷对高中数学的重要思想方法（数形结合思想、函数与方程思想、分类讨论思想、转化与化归思想）也进行了全面、深入、有效的考查.
难度系数：★★★☆
必做题部分
（考试时间：120分钟 总分160分）
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.
1. 已知集合A={x-1≤x≤2}，B={xx<1}，则A∩（CRB）=_________.
2. 设i是虚数单位，则复数z=（1+i）·2i对应的点在第________象限.
3. 把容量为100的样本分成8组，从第1组到第4组的频数分别是15，17，11，13，第5组到第7组的频率之和是0.32，那么第8组的频率是________.
4. 图1是一个算法流程图，若输出的结果是31，则判断框中的整数M的值是________.
5. 如果实数x，y满足x+2y≤1x≥0y≥0，那么 的最大值为________.
6. 已知直线l1：ax-y+2a+1=0和l2：2x-（a-1）y+2=0（a∈R），则l1⊥l2的充要条件是________.
7. 设函数f（x）=log -a在区间（1，2）内有零点，则实数a的取值范围是________.
8. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若1+ = ，则角A的大小为________.
9. 对于问题：“已知关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为（-1，2），关于x的不等式ax2-bx+c>0”，给出如下一种解法：
解：由ax2+bx+c>0的解集为（-1，2），得a（-x）2+b（-x）+c>0中，-x的取值范围是（-1，2），所以x的取值范围是（-2，1）.
参考上述解法，若关于x的不等式 + <0的解集为-1，- ∪ ，1，则关于x的不等式 + <0的解集为________.
10.已知l，m是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面.下列命题：①若l α，m α，l∥β，m∥β，则α∥β;②若l α，l∥β，α∩β=m，则l∥m;③若α∥β，l∥α，则l∥β;④若l⊥α，m∥l，α∥β，则m⊥β. 其中真命题是______（写出所有真命题的序号）.
11. 如图2，在平面四边形ABCD中，若AC=3，BD=2，则（ + ）·（ + ）=_______.
12. 定义在R上的函数f（x）的图象过点M（（6，2）和N（2，（6），对任意正实数k，有f（x+k） 13. 已知椭圆C的方程为 + =1（a>b>0），B是它的下顶点，F是其右焦点，BF的延长线与椭圆及其右准线依次交于P，Q两点，若点P恰好是BQ的中点，则此椭圆的离心率为_______. 14. 在直角坐标系xOy中，点P（xP，yP）和点Q（xQ，yQ）满足xQ=yP+xP，yQ=yP-xP，按此规则由点P得到点Q，称为直角坐标平面的一个“点变换”. 此变换下，若 =m，∠POQ=θ，其中O为坐标原点，则y=msin（x+θ）的图象在y轴右边第一个最高点的坐标为_________. 二、解答题：本大题共6小题，共90分. 15. （本小题满分14分）已知函数f（x）=sin2x+ -cos2x+ +2cos2x. （1）求f 的值; （2）求f（x）的最大值及相应的x的值. 16. （本小题满分14分）如图3，在棱长均为4的三棱柱ABC-A1B1C1中，D，D1分别是BC和B1C1的中点. （1）求证：A1D1∥平面AB1D; （2）若平面ABC-平面BCC1B1，∠B1BC=60°，求三棱锥B1-ABC的体积. 17. （本小题满分14分）环保研究所对市中心每天环境放射性污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合放射性污染指数f（x）与时刻x（时）的关系为f（x）= -a+2a+ ，x∈[0，24]，其中a是与气象有关的参数，且a∈0， ，若用每天f（x）的最大值为当天的综合放射性污染指数，并记作M（a）. （1）令t= ，x∈[0，24]，求t的取值范围; （2）省政府规定，每天的综合放射性污染指数不得超过2，那么目前市中心的综合放射性污染指数是否超标？ 18. （本小题满分16分）在直角坐标系xOy中，中心在原点O，焦点在x轴上的椭圆C上的点（2 ，1）到两焦点的距离之和为4 . （1）求椭圆C 的方程; （2）過椭圆C 的右焦点F作直线l与椭圆C分别交于A，B两点，其中点A在x轴下方，且 =3 ，求过O，A，B三点的圆的方程.
19. （本小题满分16分）已知数列{an}满足：a1=1，a2=a（a>0）. 数列{bn}满足bn=anan+1（n∈N ）.
（1）若{an}是等差数列，且b3=12，求a的值及{an}的通项公式;
（2）若{an}是等比数列，求{bn}的前n项和Sn;
（3）当{bn}是公比为a-1的等比数列时，{an}能否为等比数列？若能，求出a的值;若不能，请说明理由.
20. （本小题满分16分）已知函数f（x）= ax2-（2a+1）x+2lnx（a为正数）.
（1）若曲线y=f（x）在x=1和x=3处的切线互相平行，求a的值;
（2）求f（x）的单调区间;
（3）设g（x）=x2-2x，若对任意x1∈（0，2]，均存在x2∈（0，2]，使得f（x1） 理科附加题部分 （考试时间：30分钟 总分40分） 21. 【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每题10分，共计20分. A. 选修4-1 几何证明选讲：如图4，设AB为⊙O的任一条不与直线l垂直的直径，P是⊙O与l的公共点，AC⊥l，BD⊥l，垂足分别为C，D，且PC=PD. 求证： （1）l是⊙O的切线; （2）PB平分∠ABD. B. 选修4-2 矩阵与变换：已知矩阵A=2 -1-4 3，B=4 -1-3 1，求满足AX=B的二阶矩阵X. C. 选修4-4 参数方程与极坐标：若两条曲线的极坐标方程分别为ρ=1与ρ=2cosθ+ ，它们相交于A，B两点，求线段AB的长. D. 选修4-5 不等式证明选讲：设a，b，c为正实数，求证：a3+b3+c3+ ≥2 . 【必做题】第22题、23题，每题10分，共计20分. 22. （本小题满分10分）如图5，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，PA⊥底面ABCD，点M是棱PC的中点，AM⊥平面PBD. （1）求PA的長; （2）求棱PC与平面AMD所成角的正弦值. 23. （本小题满分10分）已知构成某系统的元件能正常工作的概率为p（0 （1）试分别求出p1，p2; （2）比较p1与p2的大小，并从概率意义上评价两系统的优劣.
