长沙长郡中学 长沙雅礼中学月考试卷调研（文科）
2014-04-29
（说明：本套试卷满分150分，考试时间120分钟）
命题人：湖南长沙市长郡中学 赵攀峰
试卷报告
试卷严格按照新课标的范围命题，注重数学的学科本质，坚持对基础知识、基本技能和基本方法的考查，兼顾了数学思想方法、思维、应用和潜能等多方面的考查. 体现了“深化能力立意”命题指导思想的重要命题思路. 试卷在整体上体现了“知能并重、深化能力立意;突出作为数学核心的思维能力的考查. 主要体现以下特点：①坚持“重点内容重点考查，非重点内容渗入考查”的思路，突出考查了数学中支撑学科知识体系的主干内容，体现了重点知识在试卷中的突出位置. ②注重知识的交叉、渗透和综合，注重检测学生是否具备了有序的网络化的知识体系. 试卷中知识交汇的试题比比皆是，如第9、10、21题等. ③关注数学知识的合理应用，比较重视对应用与创新能力的考查，如第3、15、17题. ④规避命题的“模式化”，如第8、13、14、20题. ⑤由一题把关变为多题把关，如第19、20、21题都有一问需具有较好的数学基础才可完成.
难度系数：★★★★
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.
1. 设集合M={-1，0，1}，N={xx2≤x}，则M∩N等于（）
A. {0} B. {-1，1} C. {-1，0} D. {0，1}
2. 如果复数（2-bi）i（其中b∈R）的实部与虚部互为相反数，则b等于（ ）
A. -2 B. -1 C. 1 D. 2
3. “a>0”是“a2+a≥0”的（ ）
A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件
C. 充要条件 D. 非充分非必要条件
4. 函数f（x）=ex+x-2的零点所在的一个区间为（ ）
A. （-2，-1） B. （-1，0） C. （0，1） D. （1，2）
5. 要得到一个奇函数，只需将函数f（x）=sinx- cosx的图象（ ）
A. 向右平移 个单位 B. 向右平移 个单位
C. 向左平移 个单位 D. 向左平移 个单位
6. 图1是某几何体的三视图，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，则该几何体的体积是（ ）
A. π B. π C. π D. π
7. 执行图2所示的框图，若输出结果为3，则可输入的实数x值的个数为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
8. 如果直线y=kx+2总不经过点（cosθ，sinθ），其中θ∈R，那么k的取值范围是（ ）
A. （-3，3） B. [-3，3]
C. （- ， ） D. [- ， ]
9. 如图3，已知Rt△ABC的三边CB，BA，AC的长度成等差数列，点E为直角边AB的中点，点D在斜边AC上，且 =λ ，若CE⊥BD，则λ等于 （ ）
A.
B.
C.
D.
10. 已知α，β是函数f（x）= x3+ ax2+2bx（a，b∈R）的两个极值点，且α∈（0，1），β∈（1，2），则 的取值范围是（ ）
A. -∞， B. ，1
C. （1，+∞） D. -∞， ∪（1，+∞）
二. 填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.
11. 若圓的极坐标方程ρ=sinθ+cosθ，则该圆的半径是________.
12. 设一直角三角形的两条直角边长均是区间（0，1）上的任意实数，则斜边长小于 的概率为________.
13. 过抛物线y2=4x焦点的直线交抛物线于A，B两点，若AB=10，则AB的中点P到y轴的距离等于________.
14. 已知命题p： x∈1， ， 使函数g（x）=log2（tx2+2x-2）有意义. 若 p为假命题，则t的取值范围是________.
15. 意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一组数：1，1，2，3，5，8，13，…，其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和. 该数列是一个非常美丽、和谐的数列，有很多奇妙的属性. 比如：随着数列项数的增加，前一项与后一项之比越逼近黄金分割0.6180339887…. 人们称该数列{an}为“斐波那契数列”. 若把该数列{an}的每一项除以4所得的余数按相对应的顺序组成新数列{bn}，在数列{bn}中第2014项的值是________， 数列{bn}中，第2014个值为1的项的序号是________.
三.解答题：本大题共6小题，共75分.
16. （本小题满分12分）已知在△ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c，角A为锐角，若m=sin ， ，n=cos ，- ，m⊥n.
（1）求cosA的大小;
（2）若a=1，b+c=2，求△ABC的面积S.
17. （本小题满分12分）某校从参加高一年级期中考试的
学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六段[40，50），[50，60），…，[90，100]后得到如下频率分布直方图（图4）. 观察图形的信息，回答下列问题：
（1）求分数在[70，80）内的频率，并补全这个频率分布直方图;
（2）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，据此估计本次考试的平均分;
（3）用分层抽样的方法在分数段为[60，80）的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至多有1人在分数段[70，80）的概率.
18. （本小题满分12分）已知平面PAD⊥平面ABCD，PA=PD=2，矩形ABCD的边长AB=DC=2，AD=BC=2 .
（1）证明：AD∥平面PBC;
（2）求直线PC和平面ABCD所成角的大小.
19. （本小题满分13分）设公比大于零的等比数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，S4=5S2，数列{bn}的前n项和为Tn，满足b1=1，Tn=n2bn，n∈N .
（1）求数列{an}，{bn}的通项公式;
（2）设cn=（Sn+1）（nbn-λ），若数列{cn}是单调递减数列，求实数λ的取值范围.
20. （本小题满分13分）已知椭圆C： + =1（a>b>0）的离心率为 ，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为 .
（1）求椭圆C的方程;
（2）已知动直线y=k（x+1）与椭圆C相交于A，B两点，点M- ，0，求证： · 为定值.
21. （本小题满分13分）设函数f（x）=lnx- ax2-bx.
（1）令F（x）=f（x）+ ax2+bx+ （0 （2）当a=0，b=-1时，方程2mf（x）=x2有唯一实数解，求正数m的值.
