在解题中发现 在探究中升华

周海娟

摘 要：接受、记忆、模仿和练习是数学常规教学中的基础，但绝不是目的和根本。高中数学课程更应该倡导学生的自主探究，动手实践，合作交流，使学生在学习活动中成为“创造者”，而不是“模仿者”。探讨从例题讲解到“探究，拓展”的几个可行性阶段，使学生在学习数学的过程中，得到更有效的思维锻炼，真正实现由“学会”到“会学”的转变。

关键词：教学反思；数学探究；自主学习；教育价值

一、背景

《普通高中数学课程标准》指出：学生的数学学习活动不应只限于接受、记忆、模仿和练习，高中数学课程还应倡导自主探究，动手实践，合作交流等学习数学的方式，使学习活动成为在教师引导下“再创造”的过程。人们在学习数学和运用数学解决问题时，不断经历直观感知、观察发现、归纳类比、空间想象等思维过程，这些过程是数学思维能力的具体体现，有助于学生对客观事物中蕴涵的数学模式进行思考和作出判断。

对于例题的讲解，通常分为紧密联系的三个层次：感受、理解；思考、运用；探究、拓展，但教师的教学通常会到第二层次，无视或忽视了第三层次。事实上，“探究、拓展”中含有丰富的资源，可以充分挖掘，整合。其核心思想是将第一思考时间还给学生，将第一表达机会还给学生，将第一反思机会还给学生。数学探究是学生学习的心理回归，是数学教学的学术回归。它有利于学生深入理解数学知识，把握数学的思想方法。基于此，教师要明确如何通过课堂例题的教学向学生呈现数学思维方式的形成过程，并努力构建基于数学学科本质的探究。

二、案例

例1.当函数f（x）=（x2-2x）ex取得最小值时，x的值是（ ）

A.2 B.-2 C. D.-

分析：f′（x）=ex（x2-2），令f′（x）=0，则x=±

画出f（x），f′（x）的表格如下：

选C

例2.（2005，全国卷II）已知a≥0，函数f（x）=（x2-ax）ex

（1）当x为何值时，f（x）取得最小值，证明你的结论；

（2）设f（x）在[-1，1]上是单调函数，求a的取值范围。

分析：（1）f′（x）=[x2-（2a-1）x-2a]·ex

令f（x）=0，则x= =a-1±

令x1=a-1- ，x2=a-1+ ，

画出f（x），f′（x）的表格如下：

故当x=x2=a-1+ 时，f（x）取得最小值。

（2）略解：已知a≥0，有a-1- <-1，a-1+ ≥a≥0

故[-1，1]？哿（x1，x2），只需a-1- ≥-1即可，解得a≥

通常在讲解完这两道例题之后，大部分学生会就此结束思考、探究，匆忙进入下一个环节的问题解决中。这种情况下，教师不妨引导学生观察，这两道例题研究的函数有没有什么共同的特征？最终都归结于研究什么样的函数问题上呢？

可以发现，形如函数y=（ax2+bx+c）·ex+m（a≠0，x∈R）与二次函数y=ax2+bx+c（a≠0，x∈R）有着千丝万缕的关系。

这时，教师就可以带领学生利用《几何画板》共同来探究函数 f（x）=（ax2+bx+c）·ex+m（a≠0，x∈R）的性质和图象：

f′（x）=[ax2+（2a+b）x+（b+c）]·ex+m

设Δ=b2-4ac，Δ′=（2a+b）2-4a（b+c）=4a2+b2-4ac=4a2+Δ

（1）若Δ=0，有Δ′>0，此时函数f（x）=（ax2+bx+c）·ex+m与y=ax2+bx+c有相同的零点x0=- ，而f′（x）=0有两个不同的根x′1和x′2 （x′1

借助《几何画板》，画出f（x）的图象大致如图1、图2。

图1（a>0） 图2（a<0）

（2）若Δ>0，有Δ′>0，函数f（x）=（ax2+bx+c）·ex+m与y=ax2+bx+c有相同的零点x1和x2（x1

画出f（x）图象大致如图3、图4。

图3（a>0） 图4（a<0）

（3）若Δ<0，有Δ′>0仍成立，但f（x）=（ax2+bx+c）·ex+m与y=ax2+bx+c均没有零点，此时f′（x）=0仍有两个不同的根x′1和x′2（x′1

图5（a>0） 图6（a<0）

综上研究，发现函数f（x）=（ax2+bx+c）·ex+m（a≠0，x∈R）的零点，极值，单调性与二次函数y=ax2+bx+c的性质密切相关，我们可以总结出如下的结论：

①当Δ=b2-4ac=0时，有Δ′=4a2+Δ>0，函数f（x）有一个零点 x0=- 和两个极值点x0-2及x0，其中x0为最小值点，且恒有f（x）≥0（a>0），或x0为最大值点，且恒有f（x）≤0（a<0）.

②当Δ=b2-4ac=0，有Δ′=4a2+Δ>0，函数f（x）有两个零点和两个极值点，其中x′2是最小值点（a>0）或是最大值点（a<0）.

③当Δ=b2-4ac=0，但Δ′=4a2+Δ>0，时，函数y=（ax2+bx+c）ex+m（a≠0，x∈R）没有零点，但有两个极值点，无最值点。且恒有f（x）>0（a>0），或f（x）<0（a<0）.

三、思考

“学之道在于悟”，如果在解决问题之后将其束之高阁，理解也就停留在较低经验水平之上，难以上升到理性阶段，也难以真正提高学生数学思维能力。数学作为一门“观察的科学”，探究显得尤为重要。而“探究”，顾名思义包含了“探”与“究”两层意思。“探”是“探索，探导”，核心是“发现，提出问题”；“究”是“研究，深究”，核心是“解决，升华问题”。从教学实践中，我认为，从例题讲解到“探究，拓展”可以有这么三个阶段：

1.深入观察，洞悉本质

波利亚给教师的箴言：要找出手边那些对后来解题有用的特征——即设法去揭示出隐藏在眼前具体情形中的一般模式。例题就是一道门户，把学生引入一个完整的领域，譬如这个案例，让学生从二道例题的解决中发现f（x）=（x2-2x）·ex和f（x）=（x2-2ax）·ex，不仅在形式上有共通之处，而且最终解决的落脚点都归结到研究一个二次函数的方程根问题上，洞悉问题的本质。

2.顺水推舟，引导探究

“探究”是数学发现的源泉。探究能力的培养应贯穿在教学的全过程中，教师应有一种本领，能把学生头脑中模糊的认识“挤”出来。学生通过初步观察，有了一定的基本想法，而这只是露在“水”面以上的部分，只注意到问题的基本结构特征，解题的一般思路，这时，教师可以顺“水”推舟，适时引导，开发“水”面以下的部分，即探究问题的本质是什么？譬如：提出如果是f（x）=（ax2+bx+c）·ex+m（a≠0，x∈R）呢？引导学生做进一步的探究，为学生导航，让学生有“的”放矢，教师“导”而代，消除学生的依赖心理，克服惰性思维，主动探究，启迪学生的创造性思维。

3.自主反思，提炼升华

“探究”只是手段，数学思想方法才是灵魂。布鲁纳说：“掌握数学思想和方法可使数学更容易理解和更容易记忆，更重要的是，领会基本思想和方法是通向迁移大道的光明之路。”数学思想方法的渗透应该秉承数学教育家傅仲孙先生所说的“思想方法为经，教材知识为纬”的理念，细化在每一个教学环节中。比如这个案例，最后通过几何画板，分类讨论出各种可能情形，并画出图形，在形与数的转换过程中，让学生体会数形结合，特殊到一般的数学思想方法，体会直观到抽象，感性到理性的认知过程。

“数学是思维的体操”，加里宁的这句名言揭示了数学学习的本质是一种思维活动。数学学习不是简单的“告诉”。讲数学问题一定不能太“功利”，太功利最后可能无利！通过问题的驱动，立足于问题的解决过程，让学生自己主动地识别、观察、分析、综合、启迪和训练学生的思维，促进学生对所学内容的深刻理解。使学生真正实现由“学会”到“会学”的转变，从而培养学生的自我探究能力，享受学习数学所带来的乐趣。

“给学生一个活性的大脑”，应该是数学教育最好的“教育价值”！

（作者单位 福建省福州第三中学）

编辑 薄跃华endprint

1.深入观察，洞悉本质

波利亚给教师的箴言：要找出手边那些对后来解题有用的特征——即设法去揭示出隐藏在眼前具体情形中的一般模式。例题就是一道门户，把学生引入一个完整的领域，譬如这个案例，让学生从二道例题的解决中发现f（x）=（x2-2x）·ex和f（x）=（x2-2ax）·ex，不仅在形式上有共通之处，而且最终解决的落脚点都归结到研究一个二次函数的方程根问题上，洞悉问题的本质。

2.顺水推舟，引导探究

“探究”是数学发现的源泉。探究能力的培养应贯穿在教学的全过程中，教师应有一种本领，能把学生头脑中模糊的认识“挤”出来。学生通过初步观察，有了一定的基本想法，而这只是露在“水”面以上的部分，只注意到问题的基本结构特征，解题的一般思路，这时，教师可以顺“水”推舟，适时引导，开发“水”面以下的部分，即探究问题的本质是什么？譬如：提出如果是f（x）=（ax2+bx+c）·ex+m（a≠0，x∈R）呢？引导学生做进一步的探究，为学生导航，让学生有“的”放矢，教师“导”而代，消除学生的依赖心理，克服惰性思维，主动探究，启迪学生的创造性思维。

3.自主反思，提炼升华

“探究”只是手段，数学思想方法才是灵魂。布鲁纳说：“掌握数学思想和方法可使数学更容易理解和更容易记忆，更重要的是，领会基本思想和方法是通向迁移大道的光明之路。”数学思想方法的渗透应该秉承数学教育家傅仲孙先生所说的“思想方法为经，教材知识为纬”的理念，细化在每一个教学环节中。比如这个案例，最后通过几何画板，分类讨论出各种可能情形，并画出图形，在形与数的转换过程中，让学生体会数形结合，特殊到一般的数学思想方法，体会直观到抽象，感性到理性的认知过程。

“数学是思维的体操”，加里宁的这句名言揭示了数学学习的本质是一种思维活动。数学学习不是简单的“告诉”。讲数学问题一定不能太“功利”，太功利最后可能无利！通过问题的驱动，立足于问题的解决过程，让学生自己主动地识别、观察、分析、综合、启迪和训练学生的思维，促进学生对所学内容的深刻理解。使学生真正实现由“学会”到“会学”的转变，从而培养学生的自我探究能力，享受学习数学所带来的乐趣。

“给学生一个活性的大脑”，应该是数学教育最好的“教育价值”！

（作者单位 福建省福州第三中学）

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1.深入观察，洞悉本质

波利亚给教师的箴言：要找出手边那些对后来解题有用的特征——即设法去揭示出隐藏在眼前具体情形中的一般模式。例题就是一道门户，把学生引入一个完整的领域，譬如这个案例，让学生从二道例题的解决中发现f（x）=（x2-2x）·ex和f（x）=（x2-2ax）·ex，不仅在形式上有共通之处，而且最终解决的落脚点都归结到研究一个二次函数的方程根问题上，洞悉问题的本质。

2.顺水推舟，引导探究

“探究”是数学发现的源泉。探究能力的培养应贯穿在教学的全过程中，教师应有一种本领，能把学生头脑中模糊的认识“挤”出来。学生通过初步观察，有了一定的基本想法，而这只是露在“水”面以上的部分，只注意到问题的基本结构特征，解题的一般思路，这时，教师可以顺“水”推舟，适时引导，开发“水”面以下的部分，即探究问题的本质是什么？譬如：提出如果是f（x）=（ax2+bx+c）·ex+m（a≠0，x∈R）呢？引导学生做进一步的探究，为学生导航，让学生有“的”放矢，教师“导”而代，消除学生的依赖心理，克服惰性思维，主动探究，启迪学生的创造性思维。

3.自主反思，提炼升华

“探究”只是手段，数学思想方法才是灵魂。布鲁纳说：“掌握数学思想和方法可使数学更容易理解和更容易记忆，更重要的是，领会基本思想和方法是通向迁移大道的光明之路。”数学思想方法的渗透应该秉承数学教育家傅仲孙先生所说的“思想方法为经，教材知识为纬”的理念，细化在每一个教学环节中。比如这个案例，最后通过几何画板，分类讨论出各种可能情形，并画出图形，在形与数的转换过程中，让学生体会数形结合，特殊到一般的数学思想方法，体会直观到抽象，感性到理性的认知过程。

“数学是思维的体操”，加里宁的这句名言揭示了数学学习的本质是一种思维活动。数学学习不是简单的“告诉”。讲数学问题一定不能太“功利”，太功利最后可能无利！通过问题的驱动，立足于问题的解决过程，让学生自己主动地识别、观察、分析、综合、启迪和训练学生的思维，促进学生对所学内容的深刻理解。使学生真正实现由“学会”到“会学”的转变，从而培养学生的自我探究能力，享受学习数学所带来的乐趣。

“给学生一个活性的大脑”，应该是数学教育最好的“教育价值”！

（作者单位 福建省福州第三中学）

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