利用二次函数求最值应注意的两个问题

杨虎成+熊罴

在北师大版九年级数学下册教材第二章中有两节《何时获得最大利润》《最大面积是多少》，都涉及利用二次函数求最大值的问题，在实际应用中我们发现学生存在以下几个误区。

误区一：二次函数的顶点纵坐标为最大值

在二次函数的实际应用中，二次函数的顶点纵坐标并不一定为最大值，我们应具体问题具体分析，如下题：

例1.如下图，某鸡场要建一个矩形的养鸡场ABCD，鸡场的一边靠墙，（墙长20米），另三边用木栏围成，木栏长100米，设AB=x米，矩形的面积为S平方米，那么x为多少时，S的值最大？

错解：∵AB=x ∴BC=100-2x

∴S=AB·BC=x（100-2x）=-2x2+100x=-2（x-25）2+1250

∵a=-2<0

∴当x=25时，Smax=1250

正确解答：

∵AB=x ∴BC=100-2x

∴S=AB·BC=x（100-2x）=-2x2+100x=-2（x-25）2+1250

由题意可得：0

解得：40≤x<50

∵a=-2<0，x>25

S随x的增大而减小

∴当x=40时，Smax=-2（40-25）2+1250=800

点评：很多学生在学习中经常犯这样的错误，他们认为利用二次函数求最大值，只要求出二次函数表达式，并将之化为顶点式，顶点纵坐标即为最大值，而没有考虑自变量的取值范围，此题中的顶点就不在自变量范围内，因此最大面积就不会取到1250，又由于自变量x的范围全部在对称轴x=25左侧，根据二次函数的增减性，我们可知当x=40时，S会有最大值。

误区二：二次函数开口向上没有最大值

例2.根据市场调查与预测，种植树木的利润y1与投资量x成正比例关系，如图（1）所示，种植花卉的利润y2与投资量x成二次函数关系，如图（2）所示（注：利润与投资量的单位：万元）。（1）分别求出利润y1与y2关于投资量x的函数关系式；（2）如果这位专业户以8万元资金投入种植花卉和树木，他至少获得多少利润？他能获得的最大利润是多少？

图（1） 图（2）

解：（1）设y1=kx（x≥0），设y2=ax2（x≥0）则由题意可得：

2=k，2=4a 解得：k=2，a=0.5 ∴y1=2x，y2=0.5x2

（2）设这位专业户种植树木和花卉能获得的利润为w万元，其中投资x万元种植树木，则投资（8-x）万元种植花卉，由题意可得：w=y1+y2=2（8-x）+0.5x2=0.5x2-2x+16=0.5（x-2）2+14 ∵a=0.5>0，∴当x=2时，wmin=14∵0≤x≤8，在w=0.5（x-2）2+14中，当0≤x≤2时，w随x的增大而减小，∴当x=0时，wmax=（0-2）2+14=16当2≤x≤8时，w随x的增大而增大，∴当x=8时，wmax=（8-2）2+14=32 ∵32>12，∴这位专业户能获得的最大利润是32万元。

点评：此题第（2）问，很多学生会说a=0.5，二次函数开口向上，应该没有最大值，其实不然，本题中自变量x的取值范围是0≤x≤8，在二次函数w=0.5（x-2）2+14对称轴x=2左侧（即当0≤x≤2时），由于w随x的增大而减小，故当x=0时，w有最大值16；在对称轴x=2右侧（即当2≤x≤8时），w随x的增大而增大，当x=8时，w有最大值32，通过比较16与32，我们得出最大值为32，此时自变量x=8。

总述：

在利用二次函数来求最大值问题时，一定要先求出自变量的取值范围，再看二次函数的开口方向。①当开口向下，顶点位于自变量范围内时（北师大九年级下教材中两节均为此种类型），顶点纵坐标为最大值；②当开口向下，顶点不位于自变量范围内时（如例1），要求出端点坐标，通过比较端点纵坐标大小来确定最大值；③当二次函数开口向上（如例2）时，也有最大值，直接比较两个端点纵坐标，大的即为最大值。

（作者单位 湖北省秭归县九畹溪中学）

编辑 薄跃华

在北师大版九年级数学下册教材第二章中有两节《何时获得最大利润》《最大面积是多少》，都涉及利用二次函数求最大值的问题，在实际应用中我们发现学生存在以下几个误区。

误区一：二次函数的顶点纵坐标为最大值

在二次函数的实际应用中，二次函数的顶点纵坐标并不一定为最大值，我们应具体问题具体分析，如下题：

例1.如下图，某鸡场要建一个矩形的养鸡场ABCD，鸡场的一边靠墙，（墙长20米），另三边用木栏围成，木栏长100米，设AB=x米，矩形的面积为S平方米，那么x为多少时，S的值最大？

错解：∵AB=x ∴BC=100-2x

∴S=AB·BC=x（100-2x）=-2x2+100x=-2（x-25）2+1250

∵a=-2<0

∴当x=25时，Smax=1250

正确解答：

∵AB=x ∴BC=100-2x

∴S=AB·BC=x（100-2x）=-2x2+100x=-2（x-25）2+1250

由题意可得：0

解得：40≤x<50

∵a=-2<0，x>25

S随x的增大而减小

∴当x=40时，Smax=-2（40-25）2+1250=800

点评：很多学生在学习中经常犯这样的错误，他们认为利用二次函数求最大值，只要求出二次函数表达式，并将之化为顶点式，顶点纵坐标即为最大值，而没有考虑自变量的取值范围，此题中的顶点就不在自变量范围内，因此最大面积就不会取到1250，又由于自变量x的范围全部在对称轴x=25左侧，根据二次函数的增减性，我们可知当x=40时，S会有最大值。

误区二：二次函数开口向上没有最大值

例2.根据市场调查与预测，种植树木的利润y1与投资量x成正比例关系，如图（1）所示，种植花卉的利润y2与投资量x成二次函数关系，如图（2）所示（注：利润与投资量的单位：万元）。（1）分别求出利润y1与y2关于投资量x的函数关系式；（2）如果这位专业户以8万元资金投入种植花卉和树木，他至少获得多少利润？他能获得的最大利润是多少？

图（1） 图（2）

解：（1）设y1=kx（x≥0），设y2=ax2（x≥0）则由题意可得：

2=k，2=4a 解得：k=2，a=0.5 ∴y1=2x，y2=0.5x2

（2）设这位专业户种植树木和花卉能获得的利润为w万元，其中投资x万元种植树木，则投资（8-x）万元种植花卉，由题意可得：w=y1+y2=2（8-x）+0.5x2=0.5x2-2x+16=0.5（x-2）2+14 ∵a=0.5>0，∴当x=2时，wmin=14∵0≤x≤8，在w=0.5（x-2）2+14中，当0≤x≤2时，w随x的增大而减小，∴当x=0时，wmax=（0-2）2+14=16当2≤x≤8时，w随x的增大而增大，∴当x=8时，wmax=（8-2）2+14=32 ∵32>12，∴这位专业户能获得的最大利润是32万元。

点评：此题第（2）问，很多学生会说a=0.5，二次函数开口向上，应该没有最大值，其实不然，本题中自变量x的取值范围是0≤x≤8，在二次函数w=0.5（x-2）2+14对称轴x=2左侧（即当0≤x≤2时），由于w随x的增大而减小，故当x=0时，w有最大值16；在对称轴x=2右侧（即当2≤x≤8时），w随x的增大而增大，当x=8时，w有最大值32，通过比较16与32，我们得出最大值为32，此时自变量x=8。

总述：

在利用二次函数来求最大值问题时，一定要先求出自变量的取值范围，再看二次函数的开口方向。①当开口向下，顶点位于自变量范围内时（北师大九年级下教材中两节均为此种类型），顶点纵坐标为最大值；②当开口向下，顶点不位于自变量范围内时（如例1），要求出端点坐标，通过比较端点纵坐标大小来确定最大值；③当二次函数开口向上（如例2）时，也有最大值，直接比较两个端点纵坐标，大的即为最大值。

（作者单位 湖北省秭归县九畹溪中学）

编辑 薄跃华

在北师大版九年级数学下册教材第二章中有两节《何时获得最大利润》《最大面积是多少》，都涉及利用二次函数求最大值的问题，在实际应用中我们发现学生存在以下几个误区。

误区一：二次函数的顶点纵坐标为最大值

在二次函数的实际应用中，二次函数的顶点纵坐标并不一定为最大值，我们应具体问题具体分析，如下题：

例1.如下图，某鸡场要建一个矩形的养鸡场ABCD，鸡场的一边靠墙，（墙长20米），另三边用木栏围成，木栏长100米，设AB=x米，矩形的面积为S平方米，那么x为多少时，S的值最大？

错解：∵AB=x ∴BC=100-2x

∴S=AB·BC=x（100-2x）=-2x2+100x=-2（x-25）2+1250

∵a=-2<0

∴当x=25时，Smax=1250

正确解答：

∵AB=x ∴BC=100-2x

∴S=AB·BC=x（100-2x）=-2x2+100x=-2（x-25）2+1250

由题意可得：0

解得：40≤x<50

∵a=-2<0，x>25

S随x的增大而减小

∴当x=40时，Smax=-2（40-25）2+1250=800

点评：很多学生在学习中经常犯这样的错误，他们认为利用二次函数求最大值，只要求出二次函数表达式，并将之化为顶点式，顶点纵坐标即为最大值，而没有考虑自变量的取值范围，此题中的顶点就不在自变量范围内，因此最大面积就不会取到1250，又由于自变量x的范围全部在对称轴x=25左侧，根据二次函数的增减性，我们可知当x=40时，S会有最大值。

误区二：二次函数开口向上没有最大值

例2.根据市场调查与预测，种植树木的利润y1与投资量x成正比例关系，如图（1）所示，种植花卉的利润y2与投资量x成二次函数关系，如图（2）所示（注：利润与投资量的单位：万元）。（1）分别求出利润y1与y2关于投资量x的函数关系式；（2）如果这位专业户以8万元资金投入种植花卉和树木，他至少获得多少利润？他能获得的最大利润是多少？

图（1） 图（2）

解：（1）设y1=kx（x≥0），设y2=ax2（x≥0）则由题意可得：

2=k，2=4a 解得：k=2，a=0.5 ∴y1=2x，y2=0.5x2

（2）设这位专业户种植树木和花卉能获得的利润为w万元，其中投资x万元种植树木，则投资（8-x）万元种植花卉，由题意可得：w=y1+y2=2（8-x）+0.5x2=0.5x2-2x+16=0.5（x-2）2+14 ∵a=0.5>0，∴当x=2时，wmin=14∵0≤x≤8，在w=0.5（x-2）2+14中，当0≤x≤2时，w随x的增大而减小，∴当x=0时，wmax=（0-2）2+14=16当2≤x≤8时，w随x的增大而增大，∴当x=8时，wmax=（8-2）2+14=32 ∵32>12，∴这位专业户能获得的最大利润是32万元。

点评：此题第（2）问，很多学生会说a=0.5，二次函数开口向上，应该没有最大值，其实不然，本题中自变量x的取值范围是0≤x≤8，在二次函数w=0.5（x-2）2+14对称轴x=2左侧（即当0≤x≤2时），由于w随x的增大而减小，故当x=0时，w有最大值16；在对称轴x=2右侧（即当2≤x≤8时），w随x的增大而增大，当x=8时，w有最大值32，通过比较16与32，我们得出最大值为32，此时自变量x=8。

总述：

在利用二次函数来求最大值问题时，一定要先求出自变量的取值范围，再看二次函数的开口方向。①当开口向下，顶点位于自变量范围内时（北师大九年级下教材中两节均为此种类型），顶点纵坐标为最大值；②当开口向下，顶点不位于自变量范围内时（如例1），要求出端点坐标，通过比较端点纵坐标大小来确定最大值；③当二次函数开口向上（如例2）时，也有最大值，直接比较两个端点纵坐标，大的即为最大值。

（作者单位 湖北省秭归县九畹溪中学）

编辑 薄跃华