重视解题后的再思考

王明兰

摘 要：通过两个“解题后的再思考”的典型案例，引发广大老师对解题后再思考的重视，注重解题后从多途径引导学生体验从数学角度思考问题的方法，逐步养成解决问题的科学思维习惯，使他们真正懂得“学会学习”。

关键词：“多解”选优法；再思考；数学方法

数学教学中，许多教师不重视对例题和基本题的研究，不重视问题内在潜力的挖掘、改造，只满足于它们的解答，不追究问题的来源，看不清问题的本质。取而代之的是大量的题海战术来训练学生的解题能力，无谓重复，唯恐题型有遗漏，分题型、套解法、记技巧成了解题教学的法宝，而“解题后的再思考”这一促使学生形成各种能力的重要环节却没有得到应有的重视。

长此以往，学生只会关心题目解决了没有，不去关心问题的答案是否正确，更不关心自己到底悟到了什么，只习惯于解决别人的问题而不会自己发现和提出问题。

笔者认为，问题解决后，教师应引导学生做进一步思考与探索，让学生明白“解题后再思考”的重要性并掌握“解题后再思考”的方法，使学生真正懂得“学会学习”。那么，在解题后如何引导学生思考与探索呢？对此，笔者结合实例谈谈自己的看法与体会。

一、探索“多解”选优法

题目解完以后，不应该满足于已经有的解法，而应该充分利用题目设计条件，围绕解题思路展开广泛的联想，寻找多种解法。这样可以拓宽思路，从多种解法中比较优劣。

例如，已知关于一元二次方程（k2-k-2）x2-（5k-1）x+6=0，

（k≠-1，k≠2）

（1）求证：这个方程一定有两个实数根；

（2）求出方程的两个实数根x1，x2；

（3）若方程的两实数根x1，x2，满足关系式 + = ，求k的值？

这是一道中等难度的试题，我原以为学生的得分率不会低，但是对80份试卷作出的统计后，得到的却是相反的结论，在抽取80份试卷中，得分率为24.8%，满分者仅4人，占学生人数的1.2%，第（1）问是基本题，得分率仅33.9%，（3）问得分率15.1%，特别是在把x1= ，x2= 代入关系式 + = ，两边平方，化简得25k2-55k-152=0的过程中，因为受固定解题模式的影响，选择不恰当的解题方法，不能避免的是较繁琐的计算。致使运算冗繁，浪费大量的时间，最终半途而废、令人痛心。

本题答卷中存在两个主要问题：

第一，概念不清，基础知识掌握不扎实

对于第一问65位学生这样表述：证明：Δ=b2-4ac=[-（5k-1）]2

-4x6（k2-k-2）=k2+14k+49=（k+7）2≥0，此方程一定两个实数根。

实际上，对于定理“ax2+bx+c=0（a≠0），有两个实数根？圳Δ≥0”，多数学生已经熟记，但是应用时，却把条件a≠0丢掉了。殊不知当a=0时，即k=-1，或k=2时原方程变成一元一次方程，只有一个根，怎么能“一定有两个实数根呢”。

之所以出现上述问题，就是因为基础知识模糊，忽视了题目条件，概念不清。因此对于数学概念一定要切实理解，并且字斟句酌；书写证明，一定要完整严密，做到步步有据。

第二，不注意数学方法的选择

在（3）问中，有些学生运用“换元”的思想方法，就轻松地化难为易：设 =y，则原方程y+ = ，解之得y=2或y= ，当y=2，代入 即 = ，解之得K1= 。当y= ，即得 = ，解之得k2=- ，

将K1= ，k2=- 代入方程检驗均满足题意。本题出现问题的症结在于：缺乏正确选择数学方法的能力。但是在解题的过程中，如果没有“养成良好的审题的习惯”，对问题不作具体问题具体分析，见到题目，沿固定的解题模式，解题很容易误入歧途，不能自拔。

二、推广引申，培养能力

“思维是从提出问题开始的。”对于一些典型习题，可在题设条件不变的情况下，推广原有结论，或者部分地变换题设条件，研究结论的变化情况，通过这种推广引申的思考，不仅可以更好地复习基础知识，而且可以加深对重点知识的理解，既可训练学生的思维方法，又可以培养学生的创造性思维能力。因此，解题过程中，我们要善于把蕴含其中的数学思想方法提炼出来，挖掘出隐含的问题的本质性，从特殊拓展到一般。

例如，1.比较下列各组数的大小、找规律、提出你的猜想：

< ； < ； < ； < ；……

（1）根据规律写出一个含有数字的式子__________

（2）从上面的格式里发现：一个正分数的分子、分母______，

所得的分数的值比原来的值要__________

（3）猜想：设a>b>0，m>0，则 >

2.用你发现的规律解答下列问题：

=1- ； = - ； = - ；……

（1） + + + + =

（2） + + +…+ =（用含n的式子表示）

（3）若 + + +…+ 的值为 ，求n的值？这样不但能复习分式的基本性质，还能灵活运用所学知识，来解答有关的实际问题。

总之，解题要达到举一反三的目的，就要及时提炼在探求解题思路过程中所运用的有效的思考方法、解题技巧以及题目本身所反映出来的一般特性，做好总结归纳，以便在以后的解题中借鉴，这方面的例子很多，同学们可试着对一些典型的习题作解后的总结。如果教师能引导学生认真做好解题后的总结，横穿纵拓地探索，必定会激起学生探求数学奥秘的动机，对数学产生浓厚的兴趣，久而久之，就能让学生学到总结归纳的方法，达到举一反三、触类旁通的功效。

（作者单位 江苏省徐州市贾汪区汴塘中学）

编辑 薄跃华