发散思维，精彩无限

刘燕　王广进

摘 要： 在平时的学习中，学生要发散思维，从各种不同的知识侧面，用不同的思维方式寻求解题途径，比较各种解法的特点，增强解题的灵活性，克服单纯做题的机械模式，变机械思考为主动思考，做一道题，能起到举一反三，复习巩固多个知识点的作用，提高分析问题、解决问题的能力，掌握多种处理问题的方法，特别是最简、最优的方法.本文以一道求最值题进行发散思维，多角度考虑问题的探究.

关键词： 发散思维 数学教学 解题方法

原题：已知正实数a，b，c满足a■+b■=c■，且am+bn+2c=0，求m■+n■的最小值.

解法1：不等式法

因为（m■+n■）（a■+b■）-（am+bn）■=（am-bn）■≥0，

则（m■+n■）（a■+b■）≥（am+bn）■，将a■+b■=c■，am+bn=-2c代入上式得

（m■+n■）c■≥（-2c）■，即（m■+n■）≥4，因此m■+n■的最小值为4.

解法2：换元法

设a=ccosα，b=csinα（0<α<■）；m=tcosβ，n=tsinβ.

代入am+bn+2c=0得ct（cosαcosβ+sinαsinβ）+2c=0，

因为c>0，所以tcos（α-β）+2=0，从而2=|tcos（α-β）|≤|t|，

故t■≥4，因此t■=m■+n■的最小值为4.

解法3：解析法

依题意知，动点P（m，n）在直线l：ax+by+2c=0上运动，它到坐标原点O的距离是|OP|=■.

由平几知识得，点O到直线l垂线段OH最短.

在Rt△AOB中，斜边|AB|=■=■，

斜边上的高|OH|=■=2，所以m■+n■的最小值为4.

解法4：解析法

依题意知，动点P（m，n）在直线l：ax+by+2c=0上运动，动点P（m，n）到坐标原点O的距离是|OP|=■.根据原点O到直线l的垂线段最短，由解析几何知识得

原点O（0，0）到直线ax+by+2c=0的距离是d=■=■=2，

所以m■+n■的最小值为4.

解法5：向量法

设向量■=（a，b），■=（m，n），根据|■·■|≤|■||■|得

故有|am+bn|≤■·■，即|-2c|≤c·■，

则■≥2，所以m■+n■的最小值为4.

点评：以上通过一道求最值题的解法探究，启示我们在学习中，要不断培养自己多角度、利用发散思维考虑问题的能力，帮助复习巩固所学知识，提高分析问题与解决问题的能力.endprint

摘 要： 在平时的学习中，学生要发散思维，从各种不同的知识侧面，用不同的思维方式寻求解题途径，比较各种解法的特点，增强解题的灵活性，克服单纯做题的机械模式，变机械思考为主动思考，做一道题，能起到举一反三，复习巩固多个知识点的作用，提高分析问题、解决问题的能力，掌握多种处理问题的方法，特别是最简、最优的方法.本文以一道求最值题进行发散思维，多角度考虑问题的探究.

关键词： 发散思维 数学教学 解题方法

原题：已知正实数a，b，c满足a■+b■=c■，且am+bn+2c=0，求m■+n■的最小值.

解法1：不等式法

因为（m■+n■）（a■+b■）-（am+bn）■=（am-bn）■≥0，

则（m■+n■）（a■+b■）≥（am+bn）■，将a■+b■=c■，am+bn=-2c代入上式得

（m■+n■）c■≥（-2c）■，即（m■+n■）≥4，因此m■+n■的最小值为4.

解法2：换元法

设a=ccosα，b=csinα（0<α<■）；m=tcosβ，n=tsinβ.

代入am+bn+2c=0得ct（cosαcosβ+sinαsinβ）+2c=0，

因为c>0，所以tcos（α-β）+2=0，从而2=|tcos（α-β）|≤|t|，

故t■≥4，因此t■=m■+n■的最小值为4.

解法3：解析法

依题意知，动点P（m，n）在直线l：ax+by+2c=0上运动，它到坐标原点O的距离是|OP|=■.

由平几知识得，点O到直线l垂线段OH最短.

在Rt△AOB中，斜边|AB|=■=■，

斜边上的高|OH|=■=2，所以m■+n■的最小值为4.

解法4：解析法

依题意知，动点P（m，n）在直线l：ax+by+2c=0上运动，动点P（m，n）到坐标原点O的距离是|OP|=■.根据原点O到直线l的垂线段最短，由解析几何知识得

原点O（0，0）到直线ax+by+2c=0的距离是d=■=■=2，

所以m■+n■的最小值为4.

解法5：向量法

设向量■=（a，b），■=（m，n），根据|■·■|≤|■||■|得

故有|am+bn|≤■·■，即|-2c|≤c·■，

则■≥2，所以m■+n■的最小值为4.

点评：以上通过一道求最值题的解法探究，启示我们在学习中，要不断培养自己多角度、利用发散思维考虑问题的能力，帮助复习巩固所学知识，提高分析问题与解决问题的能力.endprint

摘 要： 在平时的学习中，学生要发散思维，从各种不同的知识侧面，用不同的思维方式寻求解题途径，比较各种解法的特点，增强解题的灵活性，克服单纯做题的机械模式，变机械思考为主动思考，做一道题，能起到举一反三，复习巩固多个知识点的作用，提高分析问题、解决问题的能力，掌握多种处理问题的方法，特别是最简、最优的方法.本文以一道求最值题进行发散思维，多角度考虑问题的探究.

关键词： 发散思维 数学教学 解题方法

原题：已知正实数a，b，c满足a■+b■=c■，且am+bn+2c=0，求m■+n■的最小值.

解法1：不等式法

因为（m■+n■）（a■+b■）-（am+bn）■=（am-bn）■≥0，

则（m■+n■）（a■+b■）≥（am+bn）■，将a■+b■=c■，am+bn=-2c代入上式得

（m■+n■）c■≥（-2c）■，即（m■+n■）≥4，因此m■+n■的最小值为4.

解法2：换元法

设a=ccosα，b=csinα（0<α<■）；m=tcosβ，n=tsinβ.

代入am+bn+2c=0得ct（cosαcosβ+sinαsinβ）+2c=0，

因为c>0，所以tcos（α-β）+2=0，从而2=|tcos（α-β）|≤|t|，

故t■≥4，因此t■=m■+n■的最小值为4.

解法3：解析法

依题意知，动点P（m，n）在直线l：ax+by+2c=0上运动，它到坐标原点O的距离是|OP|=■.

由平几知识得，点O到直线l垂线段OH最短.

在Rt△AOB中，斜边|AB|=■=■，

斜边上的高|OH|=■=2，所以m■+n■的最小值为4.

解法4：解析法

依题意知，动点P（m，n）在直线l：ax+by+2c=0上运动，动点P（m，n）到坐标原点O的距离是|OP|=■.根据原点O到直线l的垂线段最短，由解析几何知识得

原点O（0，0）到直线ax+by+2c=0的距离是d=■=■=2，

所以m■+n■的最小值为4.

解法5：向量法

设向量■=（a，b），■=（m，n），根据|■·■|≤|■||■|得

故有|am+bn|≤■·■，即|-2c|≤c·■，

则■≥2，所以m■+n■的最小值为4.

点评：以上通过一道求最值题的解法探究，启示我们在学习中，要不断培养自己多角度、利用发散思维考虑问题的能力，帮助复习巩固所学知识，提高分析问题与解决问题的能力.endprint