试论高中物理求极值的思路和方法

唐斌

高中物理极值问题解决过程中，离不开数学知识，所以熟练的数学运算能力和数学推理能力是解决物理极值问题必备的能力，高中阶段，学生一定要学会熟练运用数学知识解决物理问题.很多学生认为高中物理求极值问题很难，解题时无从下手，其实物理求极值也有规律可循，只要掌握基本的解题技巧，与数学知识灵活整合，拓展解题思路，很多问题就迎刃而解了.以下对高中物理求极值的思路和方法进行简单介绍，以飨读者.

一、关于极值问题的概述

高中物理试题中经常出现“恰好”、“最大”、“至少”、“不相撞”、“不脱离”等词语，这些词语暗示了求极值的必要性.顾名思义，极值问题就是求某个物理量在某个过程中的极大值和极小值，物体在发展变化中，遵循一定的物理条件和物理规律，通常只有在一定范围内才符合物理问题的实际，而这个范围正是我们所要求得的极值.通常求极值的方法有许多，如三角函数法、均值不等式法等，以下我们以题为例，介绍几种最为常见的物理极值问题的解决方法.

二、高中求极值的基本思路和方法

1.运用二次函数求极值

已知一元二次函数y=ax2+bx+c，当x=-b/2a时，若a>0，则y有极小值4ac-b2/4a；若a<0.则y有极大值：

4ac-b2/4a.

例 一辆汽车在公路上行驶，汽车启动时以3 m/s2的加速度行驶，此时一辆自行车以6 m/s的速度匀速行驶，且刚好从后面追过汽车，问在汽车追上自行车之前，它们相距的最远距离是多少？此时经过了多长时间？

解 设经过的时间为t时两车最大距离为Δs经过时间t后，自行车位移s1=vt；

汽车位移s2=12at2.

则它们的距离为

Δs=s1-s2=vt-12at2

故t=-b2a=-62v（-82）=2（s）

此时Δs=4ac-b2/4a=6（m）

2.数形结合求极值

利用数形结合求极值，既直观又简便，根据给定的已知条件，做出简单的计算或作图，易于理解.

例1 三个共点力分别为：3N、6N、8N，它们位于同一平面上，求合力的极大值和极小值.

分析 三个共面力只要能构成一个三角形（既两边之和大于第三边，两边之和小于第三边），则合力最小值为0；

解 合力极小值Fmin=0；Fmax=F1+F2+F3=17N

例2 一质量均匀的小球置于光滑的斜面上，倾斜角为α，小球滑落一段距离后，用一块木板挡住小球，使之停止（如图1），现逐渐增大木板与斜面之间的夹角，小球对木板的压力F怎样变化，求变化极值.（木板的厚度不计）

解 对小球进行受力分析，根据力的平衡可得出，小球所受斜面支持力N1与挡板压力N2的合力与小球的重力G等大反向，由图可以看出，N1的方向不变，且随着挡板与斜面夹角的增大，N1随之增大，N2先减少后增大，N2的极小值为Gsinα，极大值为G，由于小球对木板的压力与木板对小球压力是一对作用力与反作用力的关系，故小球对木板的压力F的极小值为Gsinα，极大值为G.

3.三角函数求极值

三角函数法是高中物理求极值是比较常用的一种方法，由于-1≤sina≤1，-1≤cosa≤1，如果题中的物理量满足y=sina或y=cosα的形式，则可用此方法来求极值.

例 一个重为G的木箱放在平面上，已知木箱与平面的摩擦因数为μ，现用大小为F，与平面夹角为a的力拉木箱，使之沿水平面做匀速运动，试问a多大时，F的值最小，最小值是多少.

解 对木箱进行受力分析（如图2所示）

①Fsinα+N=G ②Fcosα=f

③f=μN

解得F=μGcosα+μsinα=μC1+μ2sin（α+φ） 其中tgΦ=μ

当sin（α+Φ）=1时，Fmin=μG1+μ2，即α+Φ=π2，故α=

arctgμ

4.利用均值不等式求极值

利用均值不等式求极值时需要掌握a+b≥2ab的应用

例 如图3所示，求电源输出功率的最大值

解 P=（ε2R+r）2R=R（R+r）2ζ2=1（R+rR）2ζ2

根据均值不等式关系得R+RR≥2r

所以当P≤ζ2（2r）2=ζ24r时，外电阻R=r

5.利用数学求导法求极值

例 一艘帆船在海面行驶，已知风对帆的外力为F=12aS（v0-v），S是帆的面积，a为系数，v0为风速，v是船速，求船的速度最大时风的功率是多少？

解 风对帆所做功的功率

N=Fv=12aS（v0-v）2V，

高中物理极值问题解决过程中，离不开数学知识，所以熟练的数学运算能力和数学推理能力是解决物理极值问题必备的能力，高中阶段，学生一定要学会熟练运用数学知识解决物理问题.很多学生认为高中物理求极值问题很难，解题时无从下手，其实物理求极值也有规律可循，只要掌握基本的解题技巧，与数学知识灵活整合，拓展解题思路，很多问题就迎刃而解了.以下对高中物理求极值的思路和方法进行简单介绍，以飨读者.

一、关于极值问题的概述

高中物理试题中经常出现“恰好”、“最大”、“至少”、“不相撞”、“不脱离”等词语，这些词语暗示了求极值的必要性.顾名思义，极值问题就是求某个物理量在某个过程中的极大值和极小值，物体在发展变化中，遵循一定的物理条件和物理规律，通常只有在一定范围内才符合物理问题的实际，而这个范围正是我们所要求得的极值.通常求极值的方法有许多，如三角函数法、均值不等式法等，以下我们以题为例，介绍几种最为常见的物理极值问题的解决方法.

二、高中求极值的基本思路和方法

1.运用二次函数求极值

已知一元二次函数y=ax2+bx+c，当x=-b/2a时，若a>0，则y有极小值4ac-b2/4a；若a<0.则y有极大值：

4ac-b2/4a.

例 一辆汽车在公路上行驶，汽车启动时以3 m/s2的加速度行驶，此时一辆自行车以6 m/s的速度匀速行驶，且刚好从后面追过汽车，问在汽车追上自行车之前，它们相距的最远距离是多少？此时经过了多长时间？

解 设经过的时间为t时两车最大距离为Δs经过时间t后，自行车位移s1=vt；

汽车位移s2=12at2.

则它们的距离为

Δs=s1-s2=vt-12at2

故t=-b2a=-62v（-82）=2（s）

此时Δs=4ac-b2/4a=6（m）

2.数形结合求极值

利用数形结合求极值，既直观又简便，根据给定的已知条件，做出简单的计算或作图，易于理解.

例1 三个共点力分别为：3N、6N、8N，它们位于同一平面上，求合力的极大值和极小值.

分析 三个共面力只要能构成一个三角形（既两边之和大于第三边，两边之和小于第三边），则合力最小值为0；

解 合力极小值Fmin=0；Fmax=F1+F2+F3=17N

例2 一质量均匀的小球置于光滑的斜面上，倾斜角为α，小球滑落一段距离后，用一块木板挡住小球，使之停止（如图1），现逐渐增大木板与斜面之间的夹角，小球对木板的压力F怎样变化，求变化极值.（木板的厚度不计）

解 对小球进行受力分析，根据力的平衡可得出，小球所受斜面支持力N1与挡板压力N2的合力与小球的重力G等大反向，由图可以看出，N1的方向不变，且随着挡板与斜面夹角的增大，N1随之增大，N2先减少后增大，N2的极小值为Gsinα，极大值为G，由于小球对木板的压力与木板对小球压力是一对作用力与反作用力的关系，故小球对木板的压力F的极小值为Gsinα，极大值为G.

3.三角函数求极值

三角函数法是高中物理求极值是比较常用的一种方法，由于-1≤sina≤1，-1≤cosa≤1，如果题中的物理量满足y=sina或y=cosα的形式，则可用此方法来求极值.

例 一个重为G的木箱放在平面上，已知木箱与平面的摩擦因数为μ，现用大小为F，与平面夹角为a的力拉木箱，使之沿水平面做匀速运动，试问a多大时，F的值最小，最小值是多少.

解 对木箱进行受力分析（如图2所示）

①Fsinα+N=G ②Fcosα=f

③f=μN

解得F=μGcosα+μsinα=μC1+μ2sin（α+φ） 其中tgΦ=μ

当sin（α+Φ）=1时，Fmin=μG1+μ2，即α+Φ=π2，故α=

arctgμ

4.利用均值不等式求极值

利用均值不等式求极值时需要掌握a+b≥2ab的应用

例 如图3所示，求电源输出功率的最大值

解 P=（ε2R+r）2R=R（R+r）2ζ2=1（R+rR）2ζ2

根据均值不等式关系得R+RR≥2r

所以当P≤ζ2（2r）2=ζ24r时，外电阻R=r

5.利用数学求导法求极值

例 一艘帆船在海面行驶，已知风对帆的外力为F=12aS（v0-v），S是帆的面积，a为系数，v0为风速，v是船速，求船的速度最大时风的功率是多少？

解 风对帆所做功的功率

N=Fv=12aS（v0-v）2V，

高中物理极值问题解决过程中，离不开数学知识，所以熟练的数学运算能力和数学推理能力是解决物理极值问题必备的能力，高中阶段，学生一定要学会熟练运用数学知识解决物理问题.很多学生认为高中物理求极值问题很难，解题时无从下手，其实物理求极值也有规律可循，只要掌握基本的解题技巧，与数学知识灵活整合，拓展解题思路，很多问题就迎刃而解了.以下对高中物理求极值的思路和方法进行简单介绍，以飨读者.

一、关于极值问题的概述

高中物理试题中经常出现“恰好”、“最大”、“至少”、“不相撞”、“不脱离”等词语，这些词语暗示了求极值的必要性.顾名思义，极值问题就是求某个物理量在某个过程中的极大值和极小值，物体在发展变化中，遵循一定的物理条件和物理规律，通常只有在一定范围内才符合物理问题的实际，而这个范围正是我们所要求得的极值.通常求极值的方法有许多，如三角函数法、均值不等式法等，以下我们以题为例，介绍几种最为常见的物理极值问题的解决方法.

二、高中求极值的基本思路和方法

1.运用二次函数求极值

已知一元二次函数y=ax2+bx+c，当x=-b/2a时，若a>0，则y有极小值4ac-b2/4a；若a<0.则y有极大值：

4ac-b2/4a.

例 一辆汽车在公路上行驶，汽车启动时以3 m/s2的加速度行驶，此时一辆自行车以6 m/s的速度匀速行驶，且刚好从后面追过汽车，问在汽车追上自行车之前，它们相距的最远距离是多少？此时经过了多长时间？

解 设经过的时间为t时两车最大距离为Δs经过时间t后，自行车位移s1=vt；

汽车位移s2=12at2.

则它们的距离为

Δs=s1-s2=vt-12at2

故t=-b2a=-62v（-82）=2（s）

此时Δs=4ac-b2/4a=6（m）

2.数形结合求极值

利用数形结合求极值，既直观又简便，根据给定的已知条件，做出简单的计算或作图，易于理解.

例1 三个共点力分别为：3N、6N、8N，它们位于同一平面上，求合力的极大值和极小值.

分析 三个共面力只要能构成一个三角形（既两边之和大于第三边，两边之和小于第三边），则合力最小值为0；

解 合力极小值Fmin=0；Fmax=F1+F2+F3=17N

例2 一质量均匀的小球置于光滑的斜面上，倾斜角为α，小球滑落一段距离后，用一块木板挡住小球，使之停止（如图1），现逐渐增大木板与斜面之间的夹角，小球对木板的压力F怎样变化，求变化极值.（木板的厚度不计）

解 对小球进行受力分析，根据力的平衡可得出，小球所受斜面支持力N1与挡板压力N2的合力与小球的重力G等大反向，由图可以看出，N1的方向不变，且随着挡板与斜面夹角的增大，N1随之增大，N2先减少后增大，N2的极小值为Gsinα，极大值为G，由于小球对木板的压力与木板对小球压力是一对作用力与反作用力的关系，故小球对木板的压力F的极小值为Gsinα，极大值为G.

3.三角函数求极值

三角函数法是高中物理求极值是比较常用的一种方法，由于-1≤sina≤1，-1≤cosa≤1，如果题中的物理量满足y=sina或y=cosα的形式，则可用此方法来求极值.

例 一个重为G的木箱放在平面上，已知木箱与平面的摩擦因数为μ，现用大小为F，与平面夹角为a的力拉木箱，使之沿水平面做匀速运动，试问a多大时，F的值最小，最小值是多少.

解 对木箱进行受力分析（如图2所示）

①Fsinα+N=G ②Fcosα=f

③f=μN

解得F=μGcosα+μsinα=μC1+μ2sin（α+φ） 其中tgΦ=μ

当sin（α+Φ）=1时，Fmin=μG1+μ2，即α+Φ=π2，故α=

arctgμ

4.利用均值不等式求极值

利用均值不等式求极值时需要掌握a+b≥2ab的应用

例 如图3所示，求电源输出功率的最大值

解 P=（ε2R+r）2R=R（R+r）2ζ2=1（R+rR）2ζ2

根据均值不等式关系得R+RR≥2r

所以当P≤ζ2（2r）2=ζ24r时，外电阻R=r

5.利用数学求导法求极值

例 一艘帆船在海面行驶，已知风对帆的外力为F=12aS（v0-v），S是帆的面积，a为系数，v0为风速，v是船速，求船的速度最大时风的功率是多少？

解 风对帆所做功的功率

N=Fv=12aS（v0-v）2V，