谈谈函数周期的学习

李金峰

【摘 要】函数的周期性是函数的重要性质，本文对周期函数的若干问题予以剖析，帮助同学们对周期函数的理解。

【关键词】周期函数；最小正周期；定义域

函数的周期性是函数的重要性质之一。在学习函数的周期性时，同学们往往存在许多模糊的认识，为此，本文对周期函数的若干问题予以剖析，以帮助同学们澄清认识，加深对周期函数的理解。

一、周期函数的定义域必须是无限集

周期函数的定义是：对于函数f（x），若存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f（x+T）=f（x），则就叫做周期函数，T叫做该函数的周期。

由此定义，对于周期函数，必须对其定义域内的每一个x，都有f（x+T）=f（x）成立。从而x+T也必须在函数的定义域内，否则f（x+T）就不存在，就没有意义了。因此，周期函数的定义域必须是无限集。换句话说，若一个函数的定义域是有限集，则它一定不是周期函数。

二、周期函数不一定都有最小正周期

教材中明确指出：对于一个周期函数f（x），若在它所有的周期中，存在一个最小的正数，则这个正数就叫做f（x）的最小正周期。但并不是所有的函数都有最小正周期，例如，常数函数f（x）=c（x∈R），对任何一个非零常数T，等式f（x+T）=f（x）对一切x∈R恒成立，故它是周期函数，但它没有最小正周期。

【摘 要】函数的周期性是函数的重要性质，本文对周期函数的若干问题予以剖析，帮助同学们对周期函数的理解。

【关键词】周期函数；最小正周期；定义域

函数的周期性是函数的重要性质之一。在学习函数的周期性时，同学们往往存在许多模糊的认识，为此，本文对周期函数的若干问题予以剖析，以帮助同学们澄清认识，加深对周期函数的理解。

一、周期函数的定义域必须是无限集

周期函数的定义是：对于函数f（x），若存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f（x+T）=f（x），则就叫做周期函数，T叫做该函数的周期。

由此定义，对于周期函数，必须对其定义域内的每一个x，都有f（x+T）=f（x）成立。从而x+T也必须在函数的定义域内，否则f（x+T）就不存在，就没有意义了。因此，周期函数的定义域必须是无限集。换句话说，若一个函数的定义域是有限集，则它一定不是周期函数。

二、周期函数不一定都有最小正周期

教材中明确指出：对于一个周期函数f（x），若在它所有的周期中，存在一个最小的正数，则这个正数就叫做f（x）的最小正周期。但并不是所有的函数都有最小正周期，例如，常数函数f（x）=c（x∈R），对任何一个非零常数T，等式f（x+T）=f（x）对一切x∈R恒成立，故它是周期函数，但它没有最小正周期。

【摘 要】函数的周期性是函数的重要性质，本文对周期函数的若干问题予以剖析，帮助同学们对周期函数的理解。

【关键词】周期函数；最小正周期；定义域

函数的周期性是函数的重要性质之一。在学习函数的周期性时，同学们往往存在许多模糊的认识，为此，本文对周期函数的若干问题予以剖析，以帮助同学们澄清认识，加深对周期函数的理解。

一、周期函数的定义域必须是无限集

周期函数的定义是：对于函数f（x），若存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f（x+T）=f（x），则就叫做周期函数，T叫做该函数的周期。

由此定义，对于周期函数，必须对其定义域内的每一个x，都有f（x+T）=f（x）成立。从而x+T也必须在函数的定义域内，否则f（x+T）就不存在，就没有意义了。因此，周期函数的定义域必须是无限集。换句话说，若一个函数的定义域是有限集，则它一定不是周期函数。

二、周期函数不一定都有最小正周期

教材中明确指出：对于一个周期函数f（x），若在它所有的周期中，存在一个最小的正数，则这个正数就叫做f（x）的最小正周期。但并不是所有的函数都有最小正周期，例如，常数函数f（x）=c（x∈R），对任何一个非零常数T，等式f（x+T）=f（x）对一切x∈R恒成立，故它是周期函数，但它没有最小正周期。