函数定义域的若干求法

吴香娥

[摘 要] 函数是中学数学中最重要的概念之一，而定义域作为函数的三要素之一尤为重要。介绍了函数定义域的类型和求法，目的在于使学生能够全面地认识定义域，深刻地理解定义域，并能学会如何求定义域及会解与定义域有关的题，提高学生的数学思维能力。

[关 键 词] 定义域；类型；集合

[中图分类号] G712 [文献标志码] A [文章编号] 2096-0603（2018）08-0070-01

函数的定义域是函数的三要素之一。而函数的定义是：设集合A和B集合是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称f：A→B为集合A到集合B的函数。记作y=f（x），x∈A.其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域。

函数的定义域是使函数有意义的自变量取值的集合，它是函数不可缺少的组成部分，研究函数问题必须树立“定义域优先”的观念。注意定义域必须写成集合的形式。

题型一、求给定函数解析式的定义域

求给定函数的定义域往往转化为解不等式（组）的问题，在不等式（组）取交集时可借助于数轴。

解答的主要依据有：

1.分式的分母不为0；

2.偶次根式的被开方数大于等于0；

3.零次幂的底数不为0；

4.对数的真数大于0；底数大于0且不等于1；

5.正切函数f（x）=tanx（x≠k？仔+■ k∈Z）

6.实际问题对自变量的限制；

7.若函数由几个式子构成，求其定义域时要满足各式子都有意义。（取交集）

定义域问题的两个易错点为：忽略定义域；化简后求定义域。所以在解题时，要时时考虑定义域是什么，不能忽略。否则会解答不出。还有，切记不能化简后求定义域。

下面用几道例题来说明这种题型的解法。

例1.求函数f（x）=■的定义域。

解：要使函数有意义，须使x+1-2≠0 （1）x2-3x-4≥0 （2）

由（1）得：x+1≠2，即x+1≠2或x+1≠-2

∴x≠1或x≠-3

由（2）得：方程x2-3x-4=0的根为：-1，4

∴x≥4或x≤-1

∴函数的定义域为：x■x≥4或x≤1且x≠-3

例2.函数f（x）=■的定义域是 .

解析：要使函数有意义，须使2-x≥0x>0lgx ≠0即x≤0x>0x ≠1

∴0

函数f（x）的定义域为（0，1）∪（1，2]∴

例3.函数f（x）=tan（2x-■）的定义域是

解析：要使函数有意义，须使2x-■≠■+k？仔 k∈Z

即：2x≠■+k？仔 k∈Z

x≠■+■ k∈Z

∴函数的定义域为：x│x≠■+■ k∈Z

题型二、求抽象函数的定义域

注意：1.函数的定义域是指自变量x的范围；

2.法则相同，范围一致。

（1）已知f（x）的定义域为A，求f[g（x）]的定义域。

可通过解关于g（x）∈A的不等式，求出x的范围。

例1.已知f（x）的定义域为[1，2]，求f（2x+1）的定义域。

解：∵f（x）的定义域为[1，2]

∴1≤2x+1≤2 即0≤2x≤2 ∴0≤x≤■

∴f（x）的定義域为：[0，■]

（2）已知f[g（x）]的定义域为A，求f[u（x）]的定义域。

可由x∈A，求g（x）的范围（y=g（x）的值域B）。再通过解关于U（x）∈B的不等式，求出x的范围。

例2.已知f（2x-1）的定义域为[-1，1]，求f（3x+2）的定义域。

解：∵f（2x-1）的定义域为[-1，1]

∴-1≤x≤1 即-2≤2x≤2 ∴-3≤2x-1≤1

于是，-3≤3x+2≤1 即-5≤3x≤-1 ∴-■≤x≤-■

∴f（x）的定义域为：[-■，-■]

题型三、已知定义域确定参数问题

例 已知f（x）=■的定义域为R，求a的取值范围。

解：将逆向思维化归为顺向思维

原函数有意义？圳ax2+4ax+3>0 （*）

f（x）的定义域为R？圳ax2+4ax+3>0对x∈R恒成立。

当a=0时，（*）为3>0，恒成立。

当a≠0时，（*）恒成立？圳a>0Δ=（4a）2-12a<0？圳0

综上所述，a的取值范围：[0，■）

总之，函数的定义域是求解函数一切问题的基础，解决函数的一切问题必须认真考察函数的定义域，学会并掌握求函数定义域的常用方法，是学习好函数有关知识的关键所在。

参考文献：

何志平.高中创新学习[M].中国人民大学出版社，2002.