高中数学教学中的“举一反三”

唐培杰

为适应新课标的理念，让学生在高考中考出理想成绩，作为现行教育制度下的高中数学教师，笔者认为，合理地将知识分解、融会贯通并能运用于解题中是教师们应急切探究的出路。为此，在教学中进行了“举一反三”的尝试后，笔者感受到它既能让学生通过建模找到解题中的定式，又能激发学生探究的灵感，给笔者的教学带来出乎想象的收获。既要“举一”，又要“反三”，笔者认为应该从以下方面来看待此问题。

一题多解

一题多解，即一道题目有多种途径可以解决。比如，在《立体几何》中的证明问题，可以用空间图形解决，也可以用代数的方法即空间向量来解决。例一：如图，已知ABCD为矩形，AD=2AB，F分别是线段BC的中点，PA⊥平面ABCD。求证：DF⊥平面PAF。

方法一：要证明DF⊥平面PAF，只需证明DF⊥PA且DF⊥AF，易证PA⊥DF；而证明DF⊥AF，有两种途径可选：其一，可利用三角形勾股定理的逆定理（代数方法）；其二：可利用角的关系证明∠AFD=90°（几何方法）。方法二：（空间向量坐标法）可利用AB、AD、AP两两互相垂直，满足建系的要求；设出AD的长度，就可以写出各个点的坐标，利用向量数量积为零，可得直线间的相互垂直，从而得到线面垂直。

又如，证明三点共线的问题，可以通过证直线斜率相等、向量相等、点在直线上等多个方法解决。例二：求证三点A（-1，0），B（3，8），C（-4，-6）共线。方法一：斜率法。易得KAB=2，KAC=2，又AB、AC有公共点A，所以三点共线；方法二：向量法。易得，所以共线，又AB与AC有公共点A，即A、B、C三点共线。方法三：点在直线上。易得直线AB的方程，然后将C点坐标代入验证即可。

一题多变

一题多变，即一道题目，多种变式，借题发挥。如在学习抛物线后，在习题中出现了以下一题。例三：过抛物线y2=2px焦点的一条直线和这条抛物线相交，设两个交点纵坐标为y1，y2，求证：y1y2=-P2。（设线段AB为过抛物线焦点的弦）此题证明并不难，但其结论却很有用，关键是运用其结论。在布置此题给学生时，教师可以有针对性的演变，如变成以下3种证明。①证明：过抛物线焦点弦两端点的切线与抛物线的准线，三点共线。②证明：抛物线焦点弦中点与其端点切线的交点的连线，平行于抛物线的对称轴。③证明：抛物线焦点弦中点与其端点切线的交点连结线段，等于焦点弦长的一半，并且被这条抛物线平分。

一题多答

一题多答，即一道题目，多人作答，多种切入点。每个学生都有自己独特的思维方式，他们解决问题的角度和顺序均有不同，哪一种方法更适应自身，那才是最好的解答方法。例如，在解绝对值不等式中，就有好多学生有不同的思路，切入点不同，但取得的效果都很棒。通过解题，让学生们从不同角度认识了绝对值不等式的真实含义。以下就是笔者在教学中遇到的一个实例。

例四：解不等式∣x+2∣+∣x-1∣>3。

学生甲：根据绝对值的定义，观察数轴；如图，实数x，-2，1在数轴上对应的点分别为P，A，B，可知：只有当x不在（-2，1）的范围内，均能使得不等式成立。

学生乙：做出函数y=∣x+2∣+∣x-1∣图像，观察图像得到解集；

学生丙：根据分类讨论，用零点分段法。先讨论函数y=∣x+2∣+∣x-1∣的零点，零点可以将整个定义域分为三个区间：（-∞，-2），（-2，1）和（1，+∞），因此函数可以改写成分段函数：，即可分三类讨论，最后求出并集即为解集。

一题多思

一题多思，即一道题目，多次反复思考，触类旁通。顾名思义，所谓“一题多思”，就是在解好一道题后不能认为一切任务均已完成，而是要对这道题再进行多方向、多角度、多层次的思考和研究。看看除此种解法外，是否有其它解法；想想若将本题推广（或“收缩”）能得到什么结论；试试如把这题的题设、结论换一换，或是将题型变一变，又将得到什么结论。例如：试证以椭圆的焦点的弦为直径的圆必和椭圆相应的准线相离。证完这题后，可进一步引导学生分析和思考：把题目中的条件“椭圆”改为“双曲线”、改为“抛物线”，结论会又有何变化？学生在这三题的证明过程中发现，在不同曲线下可得不同的结论，椭圆是相离，抛物线是相切，双曲线是相交，看似不同的题目方法却都是相同的，都根据圆锥曲线的定义来证。

（作者单位：内蒙古自治区阿拉善盟第一中学）endprint

为适应新课标的理念，让学生在高考中考出理想成绩，作为现行教育制度下的高中数学教师，笔者认为，合理地将知识分解、融会贯通并能运用于解题中是教师们应急切探究的出路。为此，在教学中进行了“举一反三”的尝试后，笔者感受到它既能让学生通过建模找到解题中的定式，又能激发学生探究的灵感，给笔者的教学带来出乎想象的收获。既要“举一”，又要“反三”，笔者认为应该从以下方面来看待此问题。

一题多解

一题多解，即一道题目有多种途径可以解决。比如，在《立体几何》中的证明问题，可以用空间图形解决，也可以用代数的方法即空间向量来解决。例一：如图，已知ABCD为矩形，AD=2AB，F分别是线段BC的中点，PA⊥平面ABCD。求证：DF⊥平面PAF。

方法一：要证明DF⊥平面PAF，只需证明DF⊥PA且DF⊥AF，易证PA⊥DF；而证明DF⊥AF，有两种途径可选：其一，可利用三角形勾股定理的逆定理（代数方法）；其二：可利用角的关系证明∠AFD=90°（几何方法）。方法二：（空间向量坐标法）可利用AB、AD、AP两两互相垂直，满足建系的要求；设出AD的长度，就可以写出各个点的坐标，利用向量数量积为零，可得直线间的相互垂直，从而得到线面垂直。

又如，证明三点共线的问题，可以通过证直线斜率相等、向量相等、点在直线上等多个方法解决。例二：求证三点A（-1，0），B（3，8），C（-4，-6）共线。方法一：斜率法。易得KAB=2，KAC=2，又AB、AC有公共点A，所以三点共线；方法二：向量法。易得，所以共线，又AB与AC有公共点A，即A、B、C三点共线。方法三：点在直线上。易得直线AB的方程，然后将C点坐标代入验证即可。

一题多变

一题多变，即一道题目，多种变式，借题发挥。如在学习抛物线后，在习题中出现了以下一题。例三：过抛物线y2=2px焦点的一条直线和这条抛物线相交，设两个交点纵坐标为y1，y2，求证：y1y2=-P2。（设线段AB为过抛物线焦点的弦）此题证明并不难，但其结论却很有用，关键是运用其结论。在布置此题给学生时，教师可以有针对性的演变，如变成以下3种证明。①证明：过抛物线焦点弦两端点的切线与抛物线的准线，三点共线。②证明：抛物线焦点弦中点与其端点切线的交点的连线，平行于抛物线的对称轴。③证明：抛物线焦点弦中点与其端点切线的交点连结线段，等于焦点弦长的一半，并且被这条抛物线平分。

一题多答

一题多答，即一道题目，多人作答，多种切入点。每个学生都有自己独特的思维方式，他们解决问题的角度和顺序均有不同，哪一种方法更适应自身，那才是最好的解答方法。例如，在解绝对值不等式中，就有好多学生有不同的思路，切入点不同，但取得的效果都很棒。通过解题，让学生们从不同角度认识了绝对值不等式的真实含义。以下就是笔者在教学中遇到的一个实例。

例四：解不等式∣x+2∣+∣x-1∣>3。

学生甲：根据绝对值的定义，观察数轴；如图，实数x，-2，1在数轴上对应的点分别为P，A，B，可知：只有当x不在（-2，1）的范围内，均能使得不等式成立。

学生乙：做出函数y=∣x+2∣+∣x-1∣图像，观察图像得到解集；

学生丙：根据分类讨论，用零点分段法。先讨论函数y=∣x+2∣+∣x-1∣的零点，零点可以将整个定义域分为三个区间：（-∞，-2），（-2，1）和（1，+∞），因此函数可以改写成分段函数：，即可分三类讨论，最后求出并集即为解集。

一题多思

一题多思，即一道题目，多次反复思考，触类旁通。顾名思义，所谓“一题多思”，就是在解好一道题后不能认为一切任务均已完成，而是要对这道题再进行多方向、多角度、多层次的思考和研究。看看除此种解法外，是否有其它解法；想想若将本题推广（或“收缩”）能得到什么结论；试试如把这题的题设、结论换一换，或是将题型变一变，又将得到什么结论。例如：试证以椭圆的焦点的弦为直径的圆必和椭圆相应的准线相离。证完这题后，可进一步引导学生分析和思考：把题目中的条件“椭圆”改为“双曲线”、改为“抛物线”，结论会又有何变化？学生在这三题的证明过程中发现，在不同曲线下可得不同的结论，椭圆是相离，抛物线是相切，双曲线是相交，看似不同的题目方法却都是相同的，都根据圆锥曲线的定义来证。

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为适应新课标的理念，让学生在高考中考出理想成绩，作为现行教育制度下的高中数学教师，笔者认为，合理地将知识分解、融会贯通并能运用于解题中是教师们应急切探究的出路。为此，在教学中进行了“举一反三”的尝试后，笔者感受到它既能让学生通过建模找到解题中的定式，又能激发学生探究的灵感，给笔者的教学带来出乎想象的收获。既要“举一”，又要“反三”，笔者认为应该从以下方面来看待此问题。

一题多解

一题多解，即一道题目有多种途径可以解决。比如，在《立体几何》中的证明问题，可以用空间图形解决，也可以用代数的方法即空间向量来解决。例一：如图，已知ABCD为矩形，AD=2AB，F分别是线段BC的中点，PA⊥平面ABCD。求证：DF⊥平面PAF。

方法一：要证明DF⊥平面PAF，只需证明DF⊥PA且DF⊥AF，易证PA⊥DF；而证明DF⊥AF，有两种途径可选：其一，可利用三角形勾股定理的逆定理（代数方法）；其二：可利用角的关系证明∠AFD=90°（几何方法）。方法二：（空间向量坐标法）可利用AB、AD、AP两两互相垂直，满足建系的要求；设出AD的长度，就可以写出各个点的坐标，利用向量数量积为零，可得直线间的相互垂直，从而得到线面垂直。

又如，证明三点共线的问题，可以通过证直线斜率相等、向量相等、点在直线上等多个方法解决。例二：求证三点A（-1，0），B（3，8），C（-4，-6）共线。方法一：斜率法。易得KAB=2，KAC=2，又AB、AC有公共点A，所以三点共线；方法二：向量法。易得，所以共线，又AB与AC有公共点A，即A、B、C三点共线。方法三：点在直线上。易得直线AB的方程，然后将C点坐标代入验证即可。

一题多变

一题多变，即一道题目，多种变式，借题发挥。如在学习抛物线后，在习题中出现了以下一题。例三：过抛物线y2=2px焦点的一条直线和这条抛物线相交，设两个交点纵坐标为y1，y2，求证：y1y2=-P2。（设线段AB为过抛物线焦点的弦）此题证明并不难，但其结论却很有用，关键是运用其结论。在布置此题给学生时，教师可以有针对性的演变，如变成以下3种证明。①证明：过抛物线焦点弦两端点的切线与抛物线的准线，三点共线。②证明：抛物线焦点弦中点与其端点切线的交点的连线，平行于抛物线的对称轴。③证明：抛物线焦点弦中点与其端点切线的交点连结线段，等于焦点弦长的一半，并且被这条抛物线平分。

一题多答

一题多答，即一道题目，多人作答，多种切入点。每个学生都有自己独特的思维方式，他们解决问题的角度和顺序均有不同，哪一种方法更适应自身，那才是最好的解答方法。例如，在解绝对值不等式中，就有好多学生有不同的思路，切入点不同，但取得的效果都很棒。通过解题，让学生们从不同角度认识了绝对值不等式的真实含义。以下就是笔者在教学中遇到的一个实例。

例四：解不等式∣x+2∣+∣x-1∣>3。

学生甲：根据绝对值的定义，观察数轴；如图，实数x，-2，1在数轴上对应的点分别为P，A，B，可知：只有当x不在（-2，1）的范围内，均能使得不等式成立。

学生乙：做出函数y=∣x+2∣+∣x-1∣图像，观察图像得到解集；

学生丙：根据分类讨论，用零点分段法。先讨论函数y=∣x+2∣+∣x-1∣的零点，零点可以将整个定义域分为三个区间：（-∞，-2），（-2，1）和（1，+∞），因此函数可以改写成分段函数：，即可分三类讨论，最后求出并集即为解集。

一题多思

一题多思，即一道题目，多次反复思考，触类旁通。顾名思义，所谓“一题多思”，就是在解好一道题后不能认为一切任务均已完成，而是要对这道题再进行多方向、多角度、多层次的思考和研究。看看除此种解法外，是否有其它解法；想想若将本题推广（或“收缩”）能得到什么结论；试试如把这题的题设、结论换一换，或是将题型变一变，又将得到什么结论。例如：试证以椭圆的焦点的弦为直径的圆必和椭圆相应的准线相离。证完这题后，可进一步引导学生分析和思考：把题目中的条件“椭圆”改为“双曲线”、改为“抛物线”，结论会又有何变化？学生在这三题的证明过程中发现，在不同曲线下可得不同的结论，椭圆是相离，抛物线是相切，双曲线是相交，看似不同的题目方法却都是相同的，都根据圆锥曲线的定义来证。

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