从“图导”走向“图构”：几何直观教学的新视域

许冰彬

【摘 要】“形”和“数”是数学大厦的基石，“形”又是构成几何的素材。《义务教育数学课程标准（2011年版）》将几何直观作为十个核心概念之一，充分体现了几何直观的价值。而几何直观的形成需要一个逐步的过程，尤其在小学阶段应该依托图形的引导和构建，培养学生的几何直观能力，发展学生的创造性思维。

【关键词】“图导” “图构” 几何直观 新视域

图形在我们生活中已占有越来越重要的地位。在教学中，教师应该通过对数学图形的导学、分析和构造，培养学生主动使用图形的意识和习惯，从而有效理解数学概念，发现数学规律，掌握数学方法，促进学生几何直观能力的发展。

一、“图导”——打好几何直观的基础

“图导”就是根据教材中提供的图，指导学生看图、读图、用图，挖掘图中的信息，为学生学习数学服务。

（一）强化用图意识，建立抽象与现实的联系

表象是几何直观思维的基础元素，学生大脑中的表象越丰富，越容易抓住问题的本质。例如，教学苏教版六上“长方体和正方体”单元，其中第34页的思考题（改编后）：将边长为3的红色正方体分割成边长为1的小正方体。分割后，三面、两面、一面有红色的小正方体各有多少个？可以通过多媒体演示让学生直观感受一面、二面、三面为红色的正方体分别在原正方体上所处的不同位置，引导学生分别以正方体的顶点、面、棱长为标准进行分类计数。通过对实物、模型、图形的观察、拼摆等活动，帮助学生积累丰富的几何表象。

（二）善用读图能力，实现表象与言语的转换

几何直观要求将抽象的数学语言与直观图形有机地结合起来，实现表象系统与言语系统的转换，进而促进学生的数学理解。例如，苏教版四下《解决问题的策略》一课，教学例题（小明家和小芳家分别在学校的西面和东面。小明每分钟走70米，小芳每分钟走60米，他俩同时从家里出发走向学校，经过4分钟两人在校门口相遇，他们两家相距多少米？）时，学生意识到题目中的信息纷杂，产生了画图或列表的需要。学生画出线段图后，教师可以引导学生从画出的图中分析数量关系，从而解决问题。通过“看”图“想”事，突出学生的思维过程；再由图“说”理，训练学生的数学表达。

二、“图构”——培养学生创造性思维的突破口

几何直观可以形象地描述几何特征或数学问题，借助直观领悟数学本质，诱发空间联想，从而揭示解题思路。因此，如何构建一个合理并有启发性的“图”显得非常重要。在教学中，教师应从用“图”导学逐步走向引导学生构“图”。

（一）关注运动想象，贯穿表征与概念的统一

几何变换或图形的运动是几何也是整个数学中的重要内容，它既是学生学习的对象，也是学生认识数学的方法。

1.以图形变换为主，拓展图像表征的深度。

在教学中，最基本的图形是轴对称图形，如圆、正多边形、长方形、菱形等。在认识、学习、研究不对称图形时，往往可以运用这些轴对称图形。例如，教学苏教版六下《圆柱和圆锥》一课时，练习中有这样一道题：

■

矩形以一边为轴旋转可以形成圆柱体，直角三角形以直角边为轴旋转可以形成锥体，半圆以直径为轴旋转可以形成球体。图形平移、旋转，可以使得“点动成线”“线动成面”“面动成体”。借助变换为主的图形教学可以引导学生经历观察、操作等具体的感知过程，培养他们灵活运用变式图形思考问题的能力。

2.以想象联想为主，提升图形表征的高度。

联想和想象是拓展学生几何直观思维空间的主渠道，是发展学生几何直观能力的重要手段。例如，苏教版五下《圆的面积》一课中，教材分别将圆分割为16份和64份，教师可以利用多媒体演示，将剪开后拼成的图形想象成一个近似的长方形，利用长方形的面积公式推导出圆的面积公式。在学习过程中，既可以沟通长方形和圆形的联系，也能够发挥学生对拼接后图形的想象并渗透极限思想。

（二）巧于构造图形，寻找代数与几何的平衡

笛卡尔创造了颇具直观意义的数学工具——直角坐标系，欧拉化抽象为直观的数学图（用点和线画出网络状图）解决了哥尼斯堡七桥问题。构造恰当的中介图形，将抽象的代数问题几何化，问题就会简易化。

1.抓住问题的几何特征，突破解题难点。

日常解题要寻找代数问题的几何表征，对于数学思考是有效的，既能实现问题形式化的表达，又强调了对数学本质的认识。抓住了数学本质，就可以打开数学模式或形式化的遮掩，理清解题思路或找到解题方法，实现解题突破和解题优化。例如，教学人教版五下“统计”单元中《打电话》一课时，出示下题：如果你是老师，有件紧急事情要用打电话的方式通知同学，每分钟通知1人，给你4分钟的时间，能使多少人收到通知？

■

教师可以引导学生利用线段、点等图形来描述题目信息，从而完成设计方案。从上图中可以清楚地看出：1分钟通知1个人，第二次通知的新的人数，就是第一次的两倍。通过构造图，可以把题目中复杂的数量关系简明直观地呈现出来，并能从中发现规律。这样的教学不仅能解决实际的问题，还可以借助图形教会学生抓住数学问题的本质。

2.数形有效结合，提升思维深度。

借助几何直观，可以加强学生对数学知识方法的理解，优化解题过程。学生的几何直观能力增强了，对其提高数学理解能力有很大的帮助。例如，教学苏教版六下《解决问题的策略》一课，计算“■+■+■+■”。

■

解题时，教师可以引导学生构造出一个边长为1的正方形（如上图），要计算的结果正好就是正方形的一部分面积，根据图形的引导，学生很容易就能得出计算的结果。计算题和图形看似没有任何关系，但将分数加法转化成图形表示后，不仅避开了复杂的运算，还提升了学生思维的深度，将数与形更好地结合了起来。

我们应该认识到，在教学中，图形是学生思维的脚手架。同时，我们也应该注意到，由数转化成形的方法虽好但不容易想到，所以我们不能盲目地使用“直观”。图形的导学可以为学生形成几何直观能力打下坚实的基础，而图形的构建从另一个方面体现了几何直观方法的实际运用，两者的辩证关系在数学教学活动中得到了完美的呈现。因此，我们的数学教学应该行进在“图导”走向“图构”的路上，通过适度的“图导”和巧妙的“图构”，适当地发挥图形的教学潜能，培养学生的数学素养。■

注：本文获2013年江苏省“教海探航”征文一等奖

（作者单位：江苏省连云港师范高等专科学校第一附属小学教育集团）

【摘 要】“形”和“数”是数学大厦的基石，“形”又是构成几何的素材。《义务教育数学课程标准（2011年版）》将几何直观作为十个核心概念之一，充分体现了几何直观的价值。而几何直观的形成需要一个逐步的过程，尤其在小学阶段应该依托图形的引导和构建，培养学生的几何直观能力，发展学生的创造性思维。

【关键词】“图导” “图构” 几何直观 新视域

图形在我们生活中已占有越来越重要的地位。在教学中，教师应该通过对数学图形的导学、分析和构造，培养学生主动使用图形的意识和习惯，从而有效理解数学概念，发现数学规律，掌握数学方法，促进学生几何直观能力的发展。

一、“图导”——打好几何直观的基础

“图导”就是根据教材中提供的图，指导学生看图、读图、用图，挖掘图中的信息，为学生学习数学服务。

（一）强化用图意识，建立抽象与现实的联系

表象是几何直观思维的基础元素，学生大脑中的表象越丰富，越容易抓住问题的本质。例如，教学苏教版六上“长方体和正方体”单元，其中第34页的思考题（改编后）：将边长为3的红色正方体分割成边长为1的小正方体。分割后，三面、两面、一面有红色的小正方体各有多少个？可以通过多媒体演示让学生直观感受一面、二面、三面为红色的正方体分别在原正方体上所处的不同位置，引导学生分别以正方体的顶点、面、棱长为标准进行分类计数。通过对实物、模型、图形的观察、拼摆等活动，帮助学生积累丰富的几何表象。

（二）善用读图能力，实现表象与言语的转换

几何直观要求将抽象的数学语言与直观图形有机地结合起来，实现表象系统与言语系统的转换，进而促进学生的数学理解。例如，苏教版四下《解决问题的策略》一课，教学例题（小明家和小芳家分别在学校的西面和东面。小明每分钟走70米，小芳每分钟走60米，他俩同时从家里出发走向学校，经过4分钟两人在校门口相遇，他们两家相距多少米？）时，学生意识到题目中的信息纷杂，产生了画图或列表的需要。学生画出线段图后，教师可以引导学生从画出的图中分析数量关系，从而解决问题。通过“看”图“想”事，突出学生的思维过程；再由图“说”理，训练学生的数学表达。

二、“图构”——培养学生创造性思维的突破口

几何直观可以形象地描述几何特征或数学问题，借助直观领悟数学本质，诱发空间联想，从而揭示解题思路。因此，如何构建一个合理并有启发性的“图”显得非常重要。在教学中，教师应从用“图”导学逐步走向引导学生构“图”。

（一）关注运动想象，贯穿表征与概念的统一

几何变换或图形的运动是几何也是整个数学中的重要内容，它既是学生学习的对象，也是学生认识数学的方法。

1.以图形变换为主，拓展图像表征的深度。

在教学中，最基本的图形是轴对称图形，如圆、正多边形、长方形、菱形等。在认识、学习、研究不对称图形时，往往可以运用这些轴对称图形。例如，教学苏教版六下《圆柱和圆锥》一课时，练习中有这样一道题：

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矩形以一边为轴旋转可以形成圆柱体，直角三角形以直角边为轴旋转可以形成锥体，半圆以直径为轴旋转可以形成球体。图形平移、旋转，可以使得“点动成线”“线动成面”“面动成体”。借助变换为主的图形教学可以引导学生经历观察、操作等具体的感知过程，培养他们灵活运用变式图形思考问题的能力。

2.以想象联想为主，提升图形表征的高度。

联想和想象是拓展学生几何直观思维空间的主渠道，是发展学生几何直观能力的重要手段。例如，苏教版五下《圆的面积》一课中，教材分别将圆分割为16份和64份，教师可以利用多媒体演示，将剪开后拼成的图形想象成一个近似的长方形，利用长方形的面积公式推导出圆的面积公式。在学习过程中，既可以沟通长方形和圆形的联系，也能够发挥学生对拼接后图形的想象并渗透极限思想。

（二）巧于构造图形，寻找代数与几何的平衡

笛卡尔创造了颇具直观意义的数学工具——直角坐标系，欧拉化抽象为直观的数学图（用点和线画出网络状图）解决了哥尼斯堡七桥问题。构造恰当的中介图形，将抽象的代数问题几何化，问题就会简易化。

1.抓住问题的几何特征，突破解题难点。

日常解题要寻找代数问题的几何表征，对于数学思考是有效的，既能实现问题形式化的表达，又强调了对数学本质的认识。抓住了数学本质，就可以打开数学模式或形式化的遮掩，理清解题思路或找到解题方法，实现解题突破和解题优化。例如，教学人教版五下“统计”单元中《打电话》一课时，出示下题：如果你是老师，有件紧急事情要用打电话的方式通知同学，每分钟通知1人，给你4分钟的时间，能使多少人收到通知？

■

教师可以引导学生利用线段、点等图形来描述题目信息，从而完成设计方案。从上图中可以清楚地看出：1分钟通知1个人，第二次通知的新的人数，就是第一次的两倍。通过构造图，可以把题目中复杂的数量关系简明直观地呈现出来，并能从中发现规律。这样的教学不仅能解决实际的问题，还可以借助图形教会学生抓住数学问题的本质。

2.数形有效结合，提升思维深度。

借助几何直观，可以加强学生对数学知识方法的理解，优化解题过程。学生的几何直观能力增强了，对其提高数学理解能力有很大的帮助。例如，教学苏教版六下《解决问题的策略》一课，计算“■+■+■+■”。

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解题时，教师可以引导学生构造出一个边长为1的正方形（如上图），要计算的结果正好就是正方形的一部分面积，根据图形的引导，学生很容易就能得出计算的结果。计算题和图形看似没有任何关系，但将分数加法转化成图形表示后，不仅避开了复杂的运算，还提升了学生思维的深度，将数与形更好地结合了起来。

我们应该认识到，在教学中，图形是学生思维的脚手架。同时，我们也应该注意到，由数转化成形的方法虽好但不容易想到，所以我们不能盲目地使用“直观”。图形的导学可以为学生形成几何直观能力打下坚实的基础，而图形的构建从另一个方面体现了几何直观方法的实际运用，两者的辩证关系在数学教学活动中得到了完美的呈现。因此，我们的数学教学应该行进在“图导”走向“图构”的路上，通过适度的“图导”和巧妙的“图构”，适当地发挥图形的教学潜能，培养学生的数学素养。■

注：本文获2013年江苏省“教海探航”征文一等奖

（作者单位：江苏省连云港师范高等专科学校第一附属小学教育集团）

【摘 要】“形”和“数”是数学大厦的基石，“形”又是构成几何的素材。《义务教育数学课程标准（2011年版）》将几何直观作为十个核心概念之一，充分体现了几何直观的价值。而几何直观的形成需要一个逐步的过程，尤其在小学阶段应该依托图形的引导和构建，培养学生的几何直观能力，发展学生的创造性思维。

【关键词】“图导” “图构” 几何直观 新视域

图形在我们生活中已占有越来越重要的地位。在教学中，教师应该通过对数学图形的导学、分析和构造，培养学生主动使用图形的意识和习惯，从而有效理解数学概念，发现数学规律，掌握数学方法，促进学生几何直观能力的发展。

一、“图导”——打好几何直观的基础

“图导”就是根据教材中提供的图，指导学生看图、读图、用图，挖掘图中的信息，为学生学习数学服务。

（一）强化用图意识，建立抽象与现实的联系

表象是几何直观思维的基础元素，学生大脑中的表象越丰富，越容易抓住问题的本质。例如，教学苏教版六上“长方体和正方体”单元，其中第34页的思考题（改编后）：将边长为3的红色正方体分割成边长为1的小正方体。分割后，三面、两面、一面有红色的小正方体各有多少个？可以通过多媒体演示让学生直观感受一面、二面、三面为红色的正方体分别在原正方体上所处的不同位置，引导学生分别以正方体的顶点、面、棱长为标准进行分类计数。通过对实物、模型、图形的观察、拼摆等活动，帮助学生积累丰富的几何表象。

（二）善用读图能力，实现表象与言语的转换

几何直观要求将抽象的数学语言与直观图形有机地结合起来，实现表象系统与言语系统的转换，进而促进学生的数学理解。例如，苏教版四下《解决问题的策略》一课，教学例题（小明家和小芳家分别在学校的西面和东面。小明每分钟走70米，小芳每分钟走60米，他俩同时从家里出发走向学校，经过4分钟两人在校门口相遇，他们两家相距多少米？）时，学生意识到题目中的信息纷杂，产生了画图或列表的需要。学生画出线段图后，教师可以引导学生从画出的图中分析数量关系，从而解决问题。通过“看”图“想”事，突出学生的思维过程；再由图“说”理，训练学生的数学表达。

二、“图构”——培养学生创造性思维的突破口

几何直观可以形象地描述几何特征或数学问题，借助直观领悟数学本质，诱发空间联想，从而揭示解题思路。因此，如何构建一个合理并有启发性的“图”显得非常重要。在教学中，教师应从用“图”导学逐步走向引导学生构“图”。

（一）关注运动想象，贯穿表征与概念的统一

几何变换或图形的运动是几何也是整个数学中的重要内容，它既是学生学习的对象，也是学生认识数学的方法。

1.以图形变换为主，拓展图像表征的深度。

在教学中，最基本的图形是轴对称图形，如圆、正多边形、长方形、菱形等。在认识、学习、研究不对称图形时，往往可以运用这些轴对称图形。例如，教学苏教版六下《圆柱和圆锥》一课时，练习中有这样一道题：

■

矩形以一边为轴旋转可以形成圆柱体，直角三角形以直角边为轴旋转可以形成锥体，半圆以直径为轴旋转可以形成球体。图形平移、旋转，可以使得“点动成线”“线动成面”“面动成体”。借助变换为主的图形教学可以引导学生经历观察、操作等具体的感知过程，培养他们灵活运用变式图形思考问题的能力。

2.以想象联想为主，提升图形表征的高度。

联想和想象是拓展学生几何直观思维空间的主渠道，是发展学生几何直观能力的重要手段。例如，苏教版五下《圆的面积》一课中，教材分别将圆分割为16份和64份，教师可以利用多媒体演示，将剪开后拼成的图形想象成一个近似的长方形，利用长方形的面积公式推导出圆的面积公式。在学习过程中，既可以沟通长方形和圆形的联系，也能够发挥学生对拼接后图形的想象并渗透极限思想。

（二）巧于构造图形，寻找代数与几何的平衡

笛卡尔创造了颇具直观意义的数学工具——直角坐标系，欧拉化抽象为直观的数学图（用点和线画出网络状图）解决了哥尼斯堡七桥问题。构造恰当的中介图形，将抽象的代数问题几何化，问题就会简易化。

1.抓住问题的几何特征，突破解题难点。

日常解题要寻找代数问题的几何表征，对于数学思考是有效的，既能实现问题形式化的表达，又强调了对数学本质的认识。抓住了数学本质，就可以打开数学模式或形式化的遮掩，理清解题思路或找到解题方法，实现解题突破和解题优化。例如，教学人教版五下“统计”单元中《打电话》一课时，出示下题：如果你是老师，有件紧急事情要用打电话的方式通知同学，每分钟通知1人，给你4分钟的时间，能使多少人收到通知？

■

教师可以引导学生利用线段、点等图形来描述题目信息，从而完成设计方案。从上图中可以清楚地看出：1分钟通知1个人，第二次通知的新的人数，就是第一次的两倍。通过构造图，可以把题目中复杂的数量关系简明直观地呈现出来，并能从中发现规律。这样的教学不仅能解决实际的问题，还可以借助图形教会学生抓住数学问题的本质。

2.数形有效结合，提升思维深度。

借助几何直观，可以加强学生对数学知识方法的理解，优化解题过程。学生的几何直观能力增强了，对其提高数学理解能力有很大的帮助。例如，教学苏教版六下《解决问题的策略》一课，计算“■+■+■+■”。

■

解题时，教师可以引导学生构造出一个边长为1的正方形（如上图），要计算的结果正好就是正方形的一部分面积，根据图形的引导，学生很容易就能得出计算的结果。计算题和图形看似没有任何关系，但将分数加法转化成图形表示后，不仅避开了复杂的运算，还提升了学生思维的深度，将数与形更好地结合了起来。

我们应该认识到，在教学中，图形是学生思维的脚手架。同时，我们也应该注意到，由数转化成形的方法虽好但不容易想到，所以我们不能盲目地使用“直观”。图形的导学可以为学生形成几何直观能力打下坚实的基础，而图形的构建从另一个方面体现了几何直观方法的实际运用，两者的辩证关系在数学教学活动中得到了完美的呈现。因此，我们的数学教学应该行进在“图导”走向“图构”的路上，通过适度的“图导”和巧妙的“图构”，适当地发挥图形的教学潜能，培养学生的数学素养。■

注：本文获2013年江苏省“教海探航”征文一等奖

（作者单位：江苏省连云港师范高等专科学校第一附属小学教育集团）