理解集合概念，品味范围意识

摘要：集合概念作为高中数学的基础概念和现代数学的基石，其抽象性令高中学生头痛不已。本文从生活实例出发，深入分析集合的实质——范围，并通过例题详述该理解在集合问题解决中的具体应用，以一种生活化的、易于理解的观点诠释集合概念。

关键词：集合；范围；空集

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2014）01-0006

人们日常逛超市、买苹果的时候，徒手可以拿几个苹果？不过五六个而已。超市的工作人员为了方便顾客购物，时常会准备购物袋，以方便顾客盛装物品。在数学中，我们也总想找到合适的“器具”，把零散的数学对象“装”在一起，以方便我们研究和应用。这样的一个工具，就是集合。

看过《动物世界》的同学们都知道这样一个事实：大型野生食肉动物，在离开母亲独立生活后，要找寻并建立自己的领地，而它们确定自己领地的办法，就是围绕着领地排泄，用自己的气味来划定疆域，告诉其他食肉动物，这里是我的领地，这里只有我能纵横驰骋，侵犯我领地者需要付出血的代价。

其实，在我们人类日常的生活中，类似的行为比比皆是，小学生同桌之间的“三八线”就是在宣告自己的势力范围；国家之间的国界线也是在宣告一个国家的主权范围；我们的家是我们自己的生活范围，别人未经允许私自闯入是违法的。而所有这些范围，都有一个共同特点：有明确的边界。国界有国界线，家有墙壁和房门，这些明确的边界是形成我们需要的范围的关键。

现在，我们来看看高中数学最基础的概念：集合

集合定义：研究对象统称为元素，一些元素组成的总体叫做集合。

生活观：集合的本质是范围

依据：元素的三要素：确定性、互异性、无序性中，最根本的是确定性，它决定一类事物的总体是否能成为集合。对于任意一个元素而言，它是否在某个总体内是明确的，要么是、要么不是，两者必居其一且只居其一，否则，这个总体就不能构成集合。例如：“年轻人”就不能构成集合，以一个三十岁的青年来说，对于其父母而言，他理所当然是年轻人，可是对于我们在读的高中生而言，这个家伙已经三十而立了，怎么能算是年轻人呢！而“三十岁以下的年轻人”就可以构成集合，因为对任何一个人而言，他是否在这个总体内是明确的、确定的。

这不正是我们形成范围的关键：明确的边界吗？换言之，集合中元素的确定性正是要求集合必须具备能够明确区分其内外的边界。所以，我们说，集合的实质是范围。

有了这样一个直观易懂的理解，关于集合的大多数题目，我们就可以快速解决了！

例1. A={圆}B={直线}，则A∩B=（ ）

A. 1个点 B. 1个或2个点

C. D. 0个或1个或2个点

解析：对于这个题目，很多高年级的同学都会错选D，何况我们刚进入高中学习生活的同学呢？请注意，集合A并不是圆，集合B也不是直线。如果集合A为圆，集合B为直线，那么A∩B理所当然应该选D。但事实上，集合A是圆的集合，是所有圆组成的范围；集合B是直线的集合，是所有直线组成的范围，A∩B就是问：既是圆又是直线的事物组成的范围。这样的事物存在吗？既然不存在，那么没有元素的集合当然为空集，即本题的正确答案为C。

从本例，我们还可以获得一个经验：不同类的集合是不能交的，一旦要进行交集运算，其结果必然为空集。又如：A={x 2x2-5x-3=0}，B={（x，y） y=2x2-5x-3=0}，则A∩B= 。集合A为数集，集合B为点集，无需多虑，其结果必然是 。

事实上，只有同类集合（范围）才能比较大小。比如：我们要比较集合A={人}与集合B{牛}哪个范围大？这怎么比？论数量，应该是人多，现在地球已经有人口六十多亿了；比体形，当然是牛的体形大。所以，非同类集合是不能比较大小的。而正是因为只有同类集合才能比较大小，这才产生了子集、补集的概念。

子集——母子公司，子公司的产品都是母公司的产品；交集——产研结合，科研院所与企业合作共同开发新产品，新产品是他们的公共产权；并集——院校合并，包头钢铁学院、包头师范学院、包头医学院三校合并成为内蒙古科技大学，原三校的学生都是合并后内蒙古科技大学的学生；补集——优势互补，中国为全集，港澳台为其子集，大陆也为其子集，双方优势互补，共同为中华民族的伟大复兴而奋斗。

例2. f（x）=x2+x-1，M={x x=f（x）}，N={y y=f（x）}则（ ）

A. M=N B. M∩N= C. M∪N=N D. M=R

解析：有了上述观点，有同学可能会不假思索地认为答案是B，因为M集合的元素是x，集合N的元素是y，根据刚才的观点，答案理所当然是B啊！事实上，集合M是数的集合，集合N亦为数的集合，虽然元素的代表符号不同，表达的内在含义不同，但它们是同类集合，交集不一定为 。

解法一：集合M的元素为实数，且这些实数为方程x=f（x）=x2+x-1的根，即得M={-1，1}，集合N的元素为实数，且这些实数为函数y=f（x）=x2+x-1的函数值，即集合N为函数y=x2+x-1的值域，即得N=[-■，+∞），即正确选项为C。

解法二：集合N为函数y=x2+x-1的值域，集合M的元素x=f（x）=x2+x-1，必为函数f（x）=x2+x-1的某些函数值，故M N

M∪N=N

解法二简洁有效，避免了一元二次方程求根和二次函数求最值，是范围观的一次成功应用。

在集合的学习中，我们还要特别注意空集的存在，很多同学往往是因为忽略的空集的存在，而导致解题错误的。

例3. A={x 2x2-5x-3=0}， B={x mx=1}，B A，则m可能的值有（ ）

A.2个 B.3个 C.1个 D.以上均不对

解析：本题其实不用一元二次方程求根，只需要判断出该一元二次方程△>0有两个不等的实根即可，B A即B中的元素均为A中的元素，即可知m的取值至少有两个，此时，请各位同学特别注意：B A，则B可以为 ，而此时m=0即可。故正确的答案为B。

通过例2、例3，我们还看到：其实数学试题并不是每道题都要动笔计算的，很多小题，完全没有必要小题大做，我们只需要用我们掌握的数学思想、数学理念稍作分析，即可“拨开迷雾见月明”，快速而简洁地得到正确答案。很多同学考试总是答不完题目，感觉自己计算能力差、基础不扎实，其实是没有深刻理解所学数学知识的思想内涵，没有小题小做的解题意识而导致的。

例4. A={x -2≤x≤3}，B={x m≤x≤2m-1}，A∪B=A，则m取值范围为 。

解：A∪B=A B A，利用范围意识，在数轴上画出集合A，显而易见应该有：m≥-22m-1≤3m≤2m-1 m≥-2m≤2 m∈[1，2]m≤1，此时切莫得意，再仔细观察B A，即B可以是 的，而此时只需要m>2m-1

m<1，综上，两者取并集，得m∈（-∞，2]

从例3、例4，我们又可以看到：在集合问题涉及B A，A∩B= ，A∪B=A时，我们要特别小心谨慎，务必要考察范围较小的集合A是否为 ，只有这样，我们才能避开空集的陷阱，使我们的解题能力、考试成绩更上一层楼。

综上所述，集合可以理解为特定对象的范围，而范围最大的特点是有边界，可以形象具体地画出来（韦恩图）。我们在后面函数部分学习的区间，其实就是画在实数轴上的范围，是集合。这样，我们就可以利用韦恩图形象具体快捷地解决集合问题。所以，如果学生们在解决集合问题的时候遇到了障碍，我们不妨画画韦恩图，这样，往往能收到出奇制胜之效。

作者简介：赵广乐（1981-），男，汉族，内蒙古包头市人，包头市数学会理事，包头市第一中学一级教师，研究方向：中学数学教育及奥林匹克竞赛数学。

（作者单位：内蒙古包头市第一中学 014040）

摘要：集合概念作为高中数学的基础概念和现代数学的基石，其抽象性令高中学生头痛不已。本文从生活实例出发，深入分析集合的实质——范围，并通过例题详述该理解在集合问题解决中的具体应用，以一种生活化的、易于理解的观点诠释集合概念。

关键词：集合；范围；空集

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2014）01-0006

人们日常逛超市、买苹果的时候，徒手可以拿几个苹果？不过五六个而已。超市的工作人员为了方便顾客购物，时常会准备购物袋，以方便顾客盛装物品。在数学中，我们也总想找到合适的“器具”，把零散的数学对象“装”在一起，以方便我们研究和应用。这样的一个工具，就是集合。

看过《动物世界》的同学们都知道这样一个事实：大型野生食肉动物，在离开母亲独立生活后，要找寻并建立自己的领地，而它们确定自己领地的办法，就是围绕着领地排泄，用自己的气味来划定疆域，告诉其他食肉动物，这里是我的领地，这里只有我能纵横驰骋，侵犯我领地者需要付出血的代价。

其实，在我们人类日常的生活中，类似的行为比比皆是，小学生同桌之间的“三八线”就是在宣告自己的势力范围；国家之间的国界线也是在宣告一个国家的主权范围；我们的家是我们自己的生活范围，别人未经允许私自闯入是违法的。而所有这些范围，都有一个共同特点：有明确的边界。国界有国界线，家有墙壁和房门，这些明确的边界是形成我们需要的范围的关键。

现在，我们来看看高中数学最基础的概念：集合

集合定义：研究对象统称为元素，一些元素组成的总体叫做集合。

生活观：集合的本质是范围

依据：元素的三要素：确定性、互异性、无序性中，最根本的是确定性，它决定一类事物的总体是否能成为集合。对于任意一个元素而言，它是否在某个总体内是明确的，要么是、要么不是，两者必居其一且只居其一，否则，这个总体就不能构成集合。例如：“年轻人”就不能构成集合，以一个三十岁的青年来说，对于其父母而言，他理所当然是年轻人，可是对于我们在读的高中生而言，这个家伙已经三十而立了，怎么能算是年轻人呢！而“三十岁以下的年轻人”就可以构成集合，因为对任何一个人而言，他是否在这个总体内是明确的、确定的。

这不正是我们形成范围的关键：明确的边界吗？换言之，集合中元素的确定性正是要求集合必须具备能够明确区分其内外的边界。所以，我们说，集合的实质是范围。

有了这样一个直观易懂的理解，关于集合的大多数题目，我们就可以快速解决了！

例1. A={圆}B={直线}，则A∩B=（ ）

A. 1个点 B. 1个或2个点

C. D. 0个或1个或2个点

解析：对于这个题目，很多高年级的同学都会错选D，何况我们刚进入高中学习生活的同学呢？请注意，集合A并不是圆，集合B也不是直线。如果集合A为圆，集合B为直线，那么A∩B理所当然应该选D。但事实上，集合A是圆的集合，是所有圆组成的范围；集合B是直线的集合，是所有直线组成的范围，A∩B就是问：既是圆又是直线的事物组成的范围。这样的事物存在吗？既然不存在，那么没有元素的集合当然为空集，即本题的正确答案为C。

从本例，我们还可以获得一个经验：不同类的集合是不能交的，一旦要进行交集运算，其结果必然为空集。又如：A={x 2x2-5x-3=0}，B={（x，y） y=2x2-5x-3=0}，则A∩B= 。集合A为数集，集合B为点集，无需多虑，其结果必然是 。

事实上，只有同类集合（范围）才能比较大小。比如：我们要比较集合A={人}与集合B{牛}哪个范围大？这怎么比？论数量，应该是人多，现在地球已经有人口六十多亿了；比体形，当然是牛的体形大。所以，非同类集合是不能比较大小的。而正是因为只有同类集合才能比较大小，这才产生了子集、补集的概念。

子集——母子公司，子公司的产品都是母公司的产品；交集——产研结合，科研院所与企业合作共同开发新产品，新产品是他们的公共产权；并集——院校合并，包头钢铁学院、包头师范学院、包头医学院三校合并成为内蒙古科技大学，原三校的学生都是合并后内蒙古科技大学的学生；补集——优势互补，中国为全集，港澳台为其子集，大陆也为其子集，双方优势互补，共同为中华民族的伟大复兴而奋斗。

例2. f（x）=x2+x-1，M={x x=f（x）}，N={y y=f（x）}则（ ）

A. M=N B. M∩N= C. M∪N=N D. M=R

解析：有了上述观点，有同学可能会不假思索地认为答案是B，因为M集合的元素是x，集合N的元素是y，根据刚才的观点，答案理所当然是B啊！事实上，集合M是数的集合，集合N亦为数的集合，虽然元素的代表符号不同，表达的内在含义不同，但它们是同类集合，交集不一定为 。

解法一：集合M的元素为实数，且这些实数为方程x=f（x）=x2+x-1的根，即得M={-1，1}，集合N的元素为实数，且这些实数为函数y=f（x）=x2+x-1的函数值，即集合N为函数y=x2+x-1的值域，即得N=[-■，+∞），即正确选项为C。

解法二：集合N为函数y=x2+x-1的值域，集合M的元素x=f（x）=x2+x-1，必为函数f（x）=x2+x-1的某些函数值，故M N

M∪N=N

解法二简洁有效，避免了一元二次方程求根和二次函数求最值，是范围观的一次成功应用。

在集合的学习中，我们还要特别注意空集的存在，很多同学往往是因为忽略的空集的存在，而导致解题错误的。

例3. A={x 2x2-5x-3=0}， B={x mx=1}，B A，则m可能的值有（ ）

A.2个 B.3个 C.1个 D.以上均不对

解析：本题其实不用一元二次方程求根，只需要判断出该一元二次方程△>0有两个不等的实根即可，B A即B中的元素均为A中的元素，即可知m的取值至少有两个，此时，请各位同学特别注意：B A，则B可以为 ，而此时m=0即可。故正确的答案为B。

通过例2、例3，我们还看到：其实数学试题并不是每道题都要动笔计算的，很多小题，完全没有必要小题大做，我们只需要用我们掌握的数学思想、数学理念稍作分析，即可“拨开迷雾见月明”，快速而简洁地得到正确答案。很多同学考试总是答不完题目，感觉自己计算能力差、基础不扎实，其实是没有深刻理解所学数学知识的思想内涵，没有小题小做的解题意识而导致的。

例4. A={x -2≤x≤3}，B={x m≤x≤2m-1}，A∪B=A，则m取值范围为 。

解：A∪B=A B A，利用范围意识，在数轴上画出集合A，显而易见应该有：m≥-22m-1≤3m≤2m-1 m≥-2m≤2 m∈[1，2]m≤1，此时切莫得意，再仔细观察B A，即B可以是 的，而此时只需要m>2m-1

m<1，综上，两者取并集，得m∈（-∞，2]

从例3、例4，我们又可以看到：在集合问题涉及B A，A∩B= ，A∪B=A时，我们要特别小心谨慎，务必要考察范围较小的集合A是否为 ，只有这样，我们才能避开空集的陷阱，使我们的解题能力、考试成绩更上一层楼。

综上所述，集合可以理解为特定对象的范围，而范围最大的特点是有边界，可以形象具体地画出来（韦恩图）。我们在后面函数部分学习的区间，其实就是画在实数轴上的范围，是集合。这样，我们就可以利用韦恩图形象具体快捷地解决集合问题。所以，如果学生们在解决集合问题的时候遇到了障碍，我们不妨画画韦恩图，这样，往往能收到出奇制胜之效。

作者简介：赵广乐（1981-），男，汉族，内蒙古包头市人，包头市数学会理事，包头市第一中学一级教师，研究方向：中学数学教育及奥林匹克竞赛数学。

（作者单位：内蒙古包头市第一中学 014040）

摘要：集合概念作为高中数学的基础概念和现代数学的基石，其抽象性令高中学生头痛不已。本文从生活实例出发，深入分析集合的实质——范围，并通过例题详述该理解在集合问题解决中的具体应用，以一种生活化的、易于理解的观点诠释集合概念。

关键词：集合；范围；空集

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2014）01-0006

人们日常逛超市、买苹果的时候，徒手可以拿几个苹果？不过五六个而已。超市的工作人员为了方便顾客购物，时常会准备购物袋，以方便顾客盛装物品。在数学中，我们也总想找到合适的“器具”，把零散的数学对象“装”在一起，以方便我们研究和应用。这样的一个工具，就是集合。

看过《动物世界》的同学们都知道这样一个事实：大型野生食肉动物，在离开母亲独立生活后，要找寻并建立自己的领地，而它们确定自己领地的办法，就是围绕着领地排泄，用自己的气味来划定疆域，告诉其他食肉动物，这里是我的领地，这里只有我能纵横驰骋，侵犯我领地者需要付出血的代价。

其实，在我们人类日常的生活中，类似的行为比比皆是，小学生同桌之间的“三八线”就是在宣告自己的势力范围；国家之间的国界线也是在宣告一个国家的主权范围；我们的家是我们自己的生活范围，别人未经允许私自闯入是违法的。而所有这些范围，都有一个共同特点：有明确的边界。国界有国界线，家有墙壁和房门，这些明确的边界是形成我们需要的范围的关键。

现在，我们来看看高中数学最基础的概念：集合

集合定义：研究对象统称为元素，一些元素组成的总体叫做集合。

生活观：集合的本质是范围

依据：元素的三要素：确定性、互异性、无序性中，最根本的是确定性，它决定一类事物的总体是否能成为集合。对于任意一个元素而言，它是否在某个总体内是明确的，要么是、要么不是，两者必居其一且只居其一，否则，这个总体就不能构成集合。例如：“年轻人”就不能构成集合，以一个三十岁的青年来说，对于其父母而言，他理所当然是年轻人，可是对于我们在读的高中生而言，这个家伙已经三十而立了，怎么能算是年轻人呢！而“三十岁以下的年轻人”就可以构成集合，因为对任何一个人而言，他是否在这个总体内是明确的、确定的。

这不正是我们形成范围的关键：明确的边界吗？换言之，集合中元素的确定性正是要求集合必须具备能够明确区分其内外的边界。所以，我们说，集合的实质是范围。

有了这样一个直观易懂的理解，关于集合的大多数题目，我们就可以快速解决了！

例1. A={圆}B={直线}，则A∩B=（ ）

A. 1个点 B. 1个或2个点

C. D. 0个或1个或2个点

解析：对于这个题目，很多高年级的同学都会错选D，何况我们刚进入高中学习生活的同学呢？请注意，集合A并不是圆，集合B也不是直线。如果集合A为圆，集合B为直线，那么A∩B理所当然应该选D。但事实上，集合A是圆的集合，是所有圆组成的范围；集合B是直线的集合，是所有直线组成的范围，A∩B就是问：既是圆又是直线的事物组成的范围。这样的事物存在吗？既然不存在，那么没有元素的集合当然为空集，即本题的正确答案为C。

从本例，我们还可以获得一个经验：不同类的集合是不能交的，一旦要进行交集运算，其结果必然为空集。又如：A={x 2x2-5x-3=0}，B={（x，y） y=2x2-5x-3=0}，则A∩B= 。集合A为数集，集合B为点集，无需多虑，其结果必然是 。

事实上，只有同类集合（范围）才能比较大小。比如：我们要比较集合A={人}与集合B{牛}哪个范围大？这怎么比？论数量，应该是人多，现在地球已经有人口六十多亿了；比体形，当然是牛的体形大。所以，非同类集合是不能比较大小的。而正是因为只有同类集合才能比较大小，这才产生了子集、补集的概念。

子集——母子公司，子公司的产品都是母公司的产品；交集——产研结合，科研院所与企业合作共同开发新产品，新产品是他们的公共产权；并集——院校合并，包头钢铁学院、包头师范学院、包头医学院三校合并成为内蒙古科技大学，原三校的学生都是合并后内蒙古科技大学的学生；补集——优势互补，中国为全集，港澳台为其子集，大陆也为其子集，双方优势互补，共同为中华民族的伟大复兴而奋斗。

例2. f（x）=x2+x-1，M={x x=f（x）}，N={y y=f（x）}则（ ）

A. M=N B. M∩N= C. M∪N=N D. M=R

解析：有了上述观点，有同学可能会不假思索地认为答案是B，因为M集合的元素是x，集合N的元素是y，根据刚才的观点，答案理所当然是B啊！事实上，集合M是数的集合，集合N亦为数的集合，虽然元素的代表符号不同，表达的内在含义不同，但它们是同类集合，交集不一定为 。

解法一：集合M的元素为实数，且这些实数为方程x=f（x）=x2+x-1的根，即得M={-1，1}，集合N的元素为实数，且这些实数为函数y=f（x）=x2+x-1的函数值，即集合N为函数y=x2+x-1的值域，即得N=[-■，+∞），即正确选项为C。

解法二：集合N为函数y=x2+x-1的值域，集合M的元素x=f（x）=x2+x-1，必为函数f（x）=x2+x-1的某些函数值，故M N

M∪N=N

解法二简洁有效，避免了一元二次方程求根和二次函数求最值，是范围观的一次成功应用。

在集合的学习中，我们还要特别注意空集的存在，很多同学往往是因为忽略的空集的存在，而导致解题错误的。

例3. A={x 2x2-5x-3=0}， B={x mx=1}，B A，则m可能的值有（ ）

A.2个 B.3个 C.1个 D.以上均不对

解析：本题其实不用一元二次方程求根，只需要判断出该一元二次方程△>0有两个不等的实根即可，B A即B中的元素均为A中的元素，即可知m的取值至少有两个，此时，请各位同学特别注意：B A，则B可以为 ，而此时m=0即可。故正确的答案为B。

通过例2、例3，我们还看到：其实数学试题并不是每道题都要动笔计算的，很多小题，完全没有必要小题大做，我们只需要用我们掌握的数学思想、数学理念稍作分析，即可“拨开迷雾见月明”，快速而简洁地得到正确答案。很多同学考试总是答不完题目，感觉自己计算能力差、基础不扎实，其实是没有深刻理解所学数学知识的思想内涵，没有小题小做的解题意识而导致的。

例4. A={x -2≤x≤3}，B={x m≤x≤2m-1}，A∪B=A，则m取值范围为 。

解：A∪B=A B A，利用范围意识，在数轴上画出集合A，显而易见应该有：m≥-22m-1≤3m≤2m-1 m≥-2m≤2 m∈[1，2]m≤1，此时切莫得意，再仔细观察B A，即B可以是 的，而此时只需要m>2m-1

m<1，综上，两者取并集，得m∈（-∞，2]

从例3、例4，我们又可以看到：在集合问题涉及B A，A∩B= ，A∪B=A时，我们要特别小心谨慎，务必要考察范围较小的集合A是否为 ，只有这样，我们才能避开空集的陷阱，使我们的解题能力、考试成绩更上一层楼。

综上所述，集合可以理解为特定对象的范围，而范围最大的特点是有边界，可以形象具体地画出来（韦恩图）。我们在后面函数部分学习的区间，其实就是画在实数轴上的范围，是集合。这样，我们就可以利用韦恩图形象具体快捷地解决集合问题。所以，如果学生们在解决集合问题的时候遇到了障碍，我们不妨画画韦恩图，这样，往往能收到出奇制胜之效。

作者简介：赵广乐（1981-），男，汉族，内蒙古包头市人，包头市数学会理事，包头市第一中学一级教师，研究方向：中学数学教育及奥林匹克竞赛数学。

（作者单位：内蒙古包头市第一中学 014040）